In einem Prospekt ist der Preis um 19% reduziert.
Wie viel kostet das Handy nun?
Finde verschiedene Möglichkeiten, den neuen Preis auszurechnen!
Hefteintrag
Erkläre die Aufgabe, fülle dazu die Lücken passend. Übertrage die Sätze in dein Heft.
Das Handy kostet ursprünglich . Das ist .
Der Preis wird mit dem Rabatt gesenkt. Das ist .
Du sparst . Das ist .
Der Preis wird des ursprünglichen Preises gesenkt. Du musst also noch des ursprünglichen Preises bezahlen. Das ist
Du musst also noch bezahlen. Das ist .
Familie Rabe wohnt in einem Haus zur Miete und zahlt monatlich 950€. Ab dem 01. Januar diesen Jahres verlangt der Vermieter 5% mehr.
Wie viel muss die Familie nun bezahlen?
Finde verschiedene Möglichkeiten, die Höhe der neuen Miete auszurechnen!
Hefteintrag
Erkläre die Aufgabe, fülle dazu die Lücken passend. Übertrage die Sätze in dein Heft.
Die Miete beträgt ursprünglich . Das ist .
Die Miete steigt . Das ist .
Die Familie muss nun mehr bezahlen. Das ist .
Die Miete wird des ursprünglichen Preises erhöht. Das ist
Die Familie muss nun also bezahlen. Das ist .
Übertrage die Beispiele von oben in dein Heft.
1. Möglichkeit: Rechnung mit Formel...
2. Möglichkeit: Rechnung mit Dreisatz...
Du kennst schon das Formeldreieck für die Prozentrechnung mit der Formel W = G ∙ p%. Nun ersetzt du in diesem Formeldreieck den Prozentwert W durch den vermehrten/verminderten Grundwert G+/-.
Formeldreieck für den vermehrten/verminderten Grundwert
Du kennst das Formeldreieck bereits aus der Prozentrechnung. Es ist auch eine Hilfe für das Umstellen der Formeln für den vermehrten Grundwert. Zeichne das Formeldreieck in dein Heft.
Merke dir die Anordnung der Größen im Dreieck. Halte die gesuchte Größe mit dem Finger zu, dann erhältst du die zugehörige Formel. Notiere die drei Formeln in dein Heft. Kontrolliere die Lösung.
Trage im nachfolgenden Quiz die veränderten Prozentsätze p+% bzw. p-% ein (Prozent- und Dezimalbruchschreibweise).
Übung 3
Löse die Aufgaben aus dem Buch mit der Formel. Notiere so:
geg: G = 150€, p% = 20%, also p-% = 100%-20% = 80% = 0,8
ges: G-
G- = G ∙ p-%
= 150 ∙ 0,8
= 120 [€]
Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 4 (bunt gemischt). Es ist immer p% angegeben, nicht der Zwischenschritt p-%. Falls nötig, berichtige oder notiere Fragen und hake mit einem andersfarbigen Stift ab.
Das Plakat verspricht, dass du bis zu 80% sparen kannst. Stimmt das?
geg: alter Preis G = 2900€; neuer Preis G-= 790€
ges: p% (Wie viel Prozent spare ich?)
Mit den gegebenen Werten kannst berechnest du zunächst p-%, also auf wie viel Prozent der Preis gesunken ist. In einer zweiten Rechnung bestimmst du dann p%.
p-% = = 0,272 = 27,2%
Der Preis wurde auf 27,2% des ursprünglichen Preises gesenkt.
Berechne nun p%, also, um wie viel Prozent der Preis reduziert wurde:
p% = 100% - p-% = 100% - 27,2% = 72,7%.
Du sparst also 72,7%. Das ist viel, aber nicht die versprochenen 80%. Sparst du bei den anderen Angeboten mehr?
Rechne ebenso.
Lösungen (bunt gemischt): 76%; 80%; 80,8%; 81,9%
Der Händler gibt also tatsächlich einen so hohen Rabatt!
Gegeben ist jeweils der alte Preis G und der reduzierte neue Preis G-.
Gesucht ist der Prozentsatz p%, nämlich, wie viel Prozent gespart wurde.
Berechne wie in den vorangegangenen Aufgaben zunächst p-% und damit dann p%.
Lösungen (bunt gemischt): 16,7%; 20,1%; 30,3%
2.3 Grundwert G aus dem vermehrten/verminderten Grundwert berechnen
Tischtennis
Mats möchte einen neuen Tischtennisschläger kaufen und findet folgendes Angebot:
Nun möchte er wissen, wie viel der Schläger ursprünglich gekostet hat. Wie könnte er vorgehen?
Notiere deine Ideen im Heft.
Das Video zeigt dir noch einmal anhand von zwei Beispielen, wie du rechnen kannst. Hier wird für den veränderten Prozentsatz p+/-% die Variable q verwendet.
Stelle dir eine Anwendungssituation zur Aufgabe vor: Beispiel:
Der Preis für ein Snowboard wurde um 18% erhöht, es kostet jetzt 513,30 €. Wie teuer war es ursprünglich?
Kannst du jetzt angeben, was gegeben und was gesucht ist?
Mehrwertsteuer: (Information zur Aufgabe 21)
Wenn du einkaufen gehst, sind die Preise in der Regel als Bruttopreis angegeben. Das bedeutet, dass in diesem Preis die Mehrwertsteuer enthalten ist. Der Bruttopreis ist also der Preis mit Mehrwertsteuer.
Der Nettopreis gibt den Preis ohne Mehrwertsteuer an.
Also gilt:
Bruttopreis = Nettopreis + Mehrwertsteuer
G+ = G + W
Die Abbildung verdeutlicht diesen Zusammenhang:
Übung 8 - Mehrwertsteuer
1) Nimm den Kassenbon deines letzten Einkaufs und prüfe die Angaben zur berechneten Mehrwertsteuer.
2) Bearbeite auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgabe
21
23
Übung 9
Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere deine Lösung ausführlich und übersichtlich (geg:...; ges:...).
Du hättest auch zuerst die Ersparnis ausrechnen können:
W = G ∙ p%
W = 1000 ∙ 0,19
W = 190 (€)
Du sparst also 190€.
Wie viel Mehrwertsteuer ist im Preis von 1000€ enthalten?
geg: G+ = 1000€ (Bruttopreis: Preis mit Mehrwertsteuer); p+% = 119% = 1,19
ges: G (Nettopreis)
G+ = G ∙ p+% |: p+% = G
G = 840,34 (€)
Der Preis ohne Mehrwertsteuer beträgt 840,34 €.
1000 - 840,34 = 159,66 (€)
Es sind also 159,66 € Mehrwertsteuer im Preis enthalten.
2.4 Vermischte Übungen - Anwendungsaufgaben
Übung 10
Lies die Aufgabe genau. Notiere, welche Größen gegeben sind und welche gesucht ist. Löse dann die Aufgabe mit der Formel oder dem Dreisatz. Vergleiche deine Lösungen mit den Lösungen hinten im Buch.
S. 115 Nr. 6
S. 115 Nr. 7
S. 115 Nr. 8 (Vorsicht: Druckfehler im Buch: p% = 5%, nicht 0,5%)
Welche Größen sind gegeben, welche gesucht?
G; G+; G-; p%; p+%; P-%
Berechne die fehlende Größe mit der Formel (diese musst du teils umstellen) und/oder mit dem Dreisatz.
Formel: G+ = G ∙ p+% bzw. G- = G ∙ p-%
(Kontrolliere deine umstellte Formel mithilfe des Formeldreiecks.)
Der Preis wird in zwei Schritten reduziert.
Nach der ersten Reduzierung kostet das Snowboard noch 180€, dies ist der neue Grundwert für die zweite Rechnung:
2. Schritt:
geg: G = 180€; p% = 50%, also p-% = 100% - 50% = 50% = 0,5
ges: G-
G- = G ∙ p-%
=180 ∙ 0,5
= 90 (€)
Also kostet das Snowboard nach der zweiten Reduzierung 90€.
Mehrfach veränderter Grundwert
Beispielaufgabe: Ein Preis von 50 € wird zweimal hintereinander um 10% ermäßigt.
Eine zweimalige Reduzierung um 10% ist aber nicht das Gleiche wie eine Reduzierung um 20%, da der Grundwert sich nach der ersten Ermäßigung verändert hat.
Im Vergleich dazu wäre der Endpreis bei einer Ermäßigung um 20%: G- = G ∙ p-% = 50 ∙ 0,8 = 40 (€).
Eine zweimalige Reduzierung um 10% entspricht einer einmaligen Ermäßigung um 19 %, denn der Endpreis beträgt 81% des ersten Grundwertes 0,9 ∙ 0,9 = 0,81 = 81%.
Rechne schrittweise:
Zuerst wird der Preis reduziert. Dieser reduzierte Preis wird dann aber wieder erhöht.
① geg: G = 2800€; p% = -8%, also p-% = 92% = 0,92
ges: G-
G- = G · p-%
... (Werte einsetzen)
... = 2576(€)
Nach der Reduzierung kostet der Kaffeevollautomat also noch 2576€. Dieser Preis wird nun wieder erhöht.
② geg: G = 2576€; p% = 5%, also p+% = 105% = 1,05
ges: G+
....
Der Preis nach der Erhöhung beträgt 2704,80 €. Nun kannst du den Unterschied zwischen diesem Preis und dem Anfangspreis berechnen.
Rechne schrittweise:
Zuerst wird der Preis erhöht. Dieser erhöhte Preis wird dann noch einmal erhöht.
① geg: G = 15€; p% = 8%, also p+% = 108% = 1,08
ges: G+
G+ = G · p+%
... (Werte einsetzen)
... = 16,20(€)
Nach der Erhöhung kostet der Kaffee also 16,20€. Dieser Preis wird nun wieder erhöht.
② geg: G = 16,20€; p% = 5%, also p+% = 105% = 1,05
ges: G+
....
Rechne schrittweise "rückwärts":
Er wiegt nach dem zweiten Abnehmen noch 69,92kg. Also gilt hier:
① geg: G-=69,92kg; p% = 5%, also p-% = 95% = 0,95
ges: G (Wie viel wog er vor dem Abnehmen)
G- = G·p-%
... (Formel umstellen, Werte einsetzen)
73,6(kg) = G
Er wog also vor dem zweiten Abnehmen 73,6 kg.
Dies ist also ebenso das Gewicht, das er nach dem ersten Abnehmen hatte.
② geg: G- = 73,6 kg; p% = 8%, also p-% = 92% = 0,92
ges: G
Berechne wie oben...
G = 80(kg)
Rechne schrittweise:
Leichter kannst du die Aufgabe lösen, wenn du eine bestimmte Anzahl für die Wahlberechtigten festlegst, z.B. 1000. (Dieser Wert ist natürlich viel zu klein, mit dieser Zahl kannst du aber leichter rechnen.)
① geg: G = 1000 (Wahlberechtigte); p% = 70,8% = 0,708
ges: W (Wie viele Wahlberechtigte haben tatsächlich gewählt?)
W = G · p%
... (Werte einsetzen)
W = 708 (haben ihre Stimme abgegeben)
Die Regierung wurde dann von 48,4% der Stimmen gebildet.
② geg: G =708 (Stimmen insgesamt); p% = 48,4% = 0,484
ges: W
Berechne wie oben...
W = 343 (Stimmen)
Wie viel Prozent sind dies von allen Wahlberechtigten?
③ geg: G = 1000 (Wahlberechtigte); W = 343
geg: G = 298,50€; erste Ermäßigung p% = 25%, also p-% = 100% - 25% = 75% = 0,75
Berechne den verminderten Grundwert G-.
Dies ist der neue Grundwert für die neue Reduzierung um 10%.
geg: G = 223,88 €; p% = 10%, also p-% = 100% - 10% = 90% = 0,90
Berechne erneut den verminderten Grundwert G-.
Die ursprünglichen Kosten werden zunächst um 40% reduziert, also p-% = 100% - 40% = 60% = 0,6
Dieser reduzierte Zwischenwert wird dann 35% reduziert, also also p-% = 100% - 35% = 65% = 0,65 und
dann wird dieser neue Wert nochmals um 35% reduziert, also also p-% = 65% = 0,65
Ursprüngliche Kosten G- Endpreis
Der ursprüngliche Preis wird also auf 0,6 ∙ 0,65 ∙ 0,65 = 0,2535 = 25,35% reduziert. Er spart also 100% - 25,35% = 74,65%.
1. Schritt:
Der angegebene Preis ist der um 10% ermäßige Preis, also G- = 899,10€ und p-% = 100% - 10% = 90% = 0,9. Bestimme zunächst den Preis ohne die Reduzierung, also den Grundwert G.
2. Schritt: Dieser Preis ist der Bruttopreis G+, darin sind also 19% Mehrwertsteuer enthalten. Also p+% = 119% = 1,19.
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