Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Abstände von Objekten im Raum
In diesem Lernpfadkapitel kannst du das Thema "Abstände von Objekten im Raum" wiederholen und vertiefen.
Wie du im Inhaltsverzeichnis siehst, gibt es drei Abschnitte: einen zum Abstand zwischen einer Ebene und einem Punkt, einen zum Abstand zwischen einer Geraden und einem Punkt und einen dritten zum Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden. Suche dir einfach aus, was du üben möchtest. Es gibt auch Knobelaufgaben. Vorher kannst du noch die Einstiegsaufgabe machen, um deine generelle inhaltliche Vorstellung zu testen.
Dieses Thema ist nur für den LK gedacht, daher sind alle Aufgaben auch automatisch LK-Aufgaben und nicht noch jeweils mit einem ⭐ gekennzeichnet.
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
- In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
- Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
- Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
Inhaltsverzeichnis
Einstieg
Zu welcher Sachsituation passen die Rechenschritte jeweils? Ordne zu.
1. Zwei Kinder befinden sich im Klettergarten auf zwei verschiedenen Seilen. Wo auf ihrem Seil müssen sie sein, damit sie sich am nächsten sind? Wie nah sind sie sich dann?
2. Bei einem alten Haus soll bei der Renovierung ein Stützbalken vom Boden im Dachgeschoss zur oberen Dachkante gebaut werden. Er soll senkrecht auf dem Fußboden stehen. Wie lang muss er sein?
3. Luke Skywalker fliegt in seinem Raumschiff zum Auskundschaften am Todesstern vorbei. Dieser befindet sich im Verhältnis zur geradlinigen Bewegung des Raumschiffs in Ruhe. Der Sensor auf dem Todesstern hat eine Reichweite von . Wird Luke mit seinem Raumschiff entdeckt?
A. ist die zu
orthogonale Gerade durch einen Punkt von
. Wegen
, also
, erhält man den Lotfußpunkt
.
B. ist der Verbindungsvektor (in Abhängigkeit vom Geradenparameter
) zwischen dem Punkt
und einem allgemeinen Punkt
auf der Geraden
.
C. ist der Lotfußpunkt auf
und
ist der Lotfußpunkt auf
. Der Abstand ist dann
.
Die richtigen Zuordnungen sind:
1 und C (windschiefe Geraden)
2 und A (Punkt-Ebene)
3 und B (Punkt-Gerade)
Wenn du hier noch Schwierigkeiten hast oder einfach üben willst, schaue dir den jeweiligen Abschnitt des Lernpfadkapitels an.
Abstand eines Punktes von einer Ebene
Das Lotfußpunktverfahren
Bei dieser Aufgabe kannst du einen Überblick über die Bestimmung des Abstandes zwischen einem Punkt und einer Ebene mit dem Lotfußpunktverfahren bekommen. Es geht auch um wichtige Begriffe in diesem Zusammenhang.
Fülle die Lücken mit den richtigen Wörtern. Sie werden dir angezeigt, sobald du auf eine Lücke klickst. Wenn du fertig bist, klicke auf den Haken unten rechts.
Das Vorgehen aus Aufgabe 2 hier nochmal detalliert erklärt:
- Stelle die Gleichung für die zu
orthogonale Gerade
(also die Lotgerade) durch
auf. Dabei kannst du als Stützvektor
und als Richtungsvektor den Normalenvektor
von
nutzen:
.
- Bestimme den Schnittpunkt
von der Lotgeraden
und der Ebene
.
ist der Lotfußpunkt.
- Bestimme den Abstand zwischen den Punkten
und
, indem du den Betrag des Vektors
berechnest.
Berechne die Abstände der verschiedenen Ebenen zum Punkt
.
Ordne dann den Ebenen den jeweiligen Abstand
zu.
Ziehe dazu den passenden Abstand auf die jeweilige Ebene. Möchtest du eine Karte vergrößern, klicke auf die drauf. Klicke am Ende auf den Haken unten rechts, um dich selbst zu überprüfen.
Du kannst auch immer die Hesse´sche Normalenform zur Berechnung benutzten. Im Folgenden wurden die Abstände mit dem Lotfußpunktverfahren berechnet.
Abstand von und
:
Die Gleichung für die zu orthogonale Gerade
(also die Lotgerade) durch
aufstellen:
.
Den Lotfußpunkt bestimmen:
in
einsetzten:
Der Lotfußpunkt ist .
Den Abstand zwischen den Punkten und
bestimmen:
Abstand von und
:
in Koordinatenform umschreiben:
Wenn du hierbei noch Probleme hast, dann schau dir doch nochmal Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum an.
Zu senkrechte Gerade
durch
aufstellen:
Koordinaten der Geradengleichung in
einsetzten:
Der Lotfußpunkt ist .
Den Abstand zwischen den Punkten und
bestimmen:
Abstand von der zum Punkt
:
Sollst du den Abstand eines Punktes zu einer Koordinatenebene bestimmen, so kannst du diesen einfach ablesen und musst ihn nicht berechnen.
Der Abstand hier beträgt , da
die
Koordinate von
ist. Setzt man diesen Wert in Betrag, erhälz man den Abstand zur
.
Beachte: ein Abstand ist immer positiv und da ist der Abstand
.
a) Im Innenhof des Louvre-Museums in Paris befindet sich eine große Glaspyramide. Die quadratische Grundfläche liegt in einer Ebene, die durch die Ebenengleichung beschrieben werden kann. Die Spitze liegt im Punkt
. Eine Längeneinheit
im Koordinatensystem entpricht
.
Welche Höhe hat die Pyramide in ?
Die Höhe der Pyramide kann man bestimmen, indem man den Abstand zwischen der Spitze und der Ebene
bestimmt.
Zuerst wird die Geradengleichung der Lotgeraden zu
durch
aufgestellt. Wir nehmen den Ortsvektor von
als Stützvektor und den Normalenvektor von
als Richtungsvektor, also:
.
Wir bestimmen den Schnittpunkt von mit
. Einsetzen von einem allgemeinen Punkt von
in
ergibt
, also
. Durch Einsetzen in die Geradengleichung
erhalten wir den Lotfußpunkt
. Dies ist gleichtzeitig der Mittelpunkt der Grundfläche der Glaspyramide.
b) An einer anderen Stelle im Innenhof des Louvre befindet sich eine invertierte Glaspyramide. Das bedeutet, ihre quadratische Grundfläche liegt in der gleichen Ebene wie die Grundfläche der großen Glaspyramide, ihre Spitze ist aber unterhalb des Innenhofs. Man kann sie in einem Raum unterhalb des Innenhofs besichtigen. Die Länge der Kante von der Spitze bis zu einer Ecken der Grundfläche beträgt jeweils . Die Grundfläche hat
lange Diagonalen, die sich im Punkt
schneiden. In welchem Punkt
liegt die Spitze der umgedrehten Pyramide?
Weiter unten findest du eine Skizze der Pyramide, die du mit deiner Maus drehen und vergrößern kannst.
Wenn du die Höhe der Pyramide kennst, weißt du, welchen Abstand die Spitze von der Grundfläche hat. Du kennst auch schon den Mittelpunkt der Pyramiden und kannst entlang des Normalenvektors von zur Spitze gelangen.
Unten siehst du eine Skizze zum Lösungsweg. Die Höhe der Pyramide kann man mit dem Satz des Pythagoras und den Längenangaben für die Diagonale der Grundfläche und die Kanten berechnen: (siehe Zeichnung zu Tipp 2 zu b))
Es ist , also beträgt die Höhe der invertierten Pyramide
, was
im Koordinatensystem entspricht.
Die Spitze der umgedrehten Pyramide liegt also in einem Punkt, der einen Abstand von zur Pyramidengrundfläche hat. Es gibt genau zwei solche Punkte, die Spitze einer "normalen" Pyramide und die Spitze der invertierten Pyramide.
Damit man die Spitze der invertierten Pyramide erhält, geht man vom Mittelpunkt der Grundfläche aus
entlang der Geraden, die orthogonal zu
ist, und zwar in die andere Richtung als in Aufgabenteil a). Das heißt, man geht
in die entgegengesetzte Richung des Normalenvekotrs von
.
Es ist , also ist
.
Nun können wir bestimmen, in welchem Punkt die Spitze liegt:
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
Die Hesse´sche Normalenform
Um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene zu bestimmen, gibt es neben dem Lotfußpunktverfahren auch die Möglichkeit, dies mit der Hesse´schen Normalenform zu berechnen. In diesem Abschnitt lernst du, wie du die Normalenform aufstellst und sie zur Abstandsberechnung anwendest.
Den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene
kann mit einer Formel berechnet werden, der sogenannten Hesse´schen Normalenform (kurz:HNF).
Gegeben ist eine Ebene durch die Koordinatengleichung
bzw. durch die Normalenform
mit
und ein Punkt
.
1. Stelle nun die HNF der Ebene auf:
Lies dazu aus der Koordinatengleichung der Ebene den Normalenvektor ab.
Bestimme dann die Länge des Normalenvektors :
.
Die HNF lautet nun: .
2. Berechne den Abstand, indem du die Koordinaten des Punktes in die HNF einsetzt:
Über dem Schuldach schwebt eine Drohne an der Stelle und ein Falke schwebt auf der Stelle
. Finde heraus, wer den geringeren Abstand zum Schuldach hat. Das Schuldach lässt sich durch folgende Gleichung beschreiben:
.
Der Normalenvektor der Ebene ist:
Länge des Normalenvektors bestimmen:
Die HNF lautet nun: .
Nun werden die Koordinaten von eingesetzt:
Die Koordinaten von können in die selbe HNF eingesetzt werden:
.
Gegeben ist die Ebene . Bestimme zur Ebene
zwei parallele Ebenen, die von
den Abstand
haben.
Die gesuchten Ebenen haben den gleichen Normalenvektor wie .
Ansatz:
sei ein Punkt der Ebene
.
Es gilt: .
nach Aufgabenstellung. Daher gilt:
oder
.
Stelle nun beide Gleichungen nach um.
Es folgt:
und
.
Dies wird nun in die Ebenengleichung von eingesetzt:
und
Falls du noch nicht genug hast, kannst du auch versuchen, die Aufgaben vom Lotfußpunktverfahren mit der Hesse´schen Normalenform zu lösen.
Abstand eines Punktes von einer Geraden
Bewege den Punkt auf der Geraden
, um dir den jeweiligen Abstand zwischen den Punkten
und
anzeigen zu lassen. Rechts neben der Geraden siehst du, wie groß der Abstand jeweils ist.
Wann ist der Abstand vom Punkt zur Geraden
am kleinsten?
Wie groß ist der Winkel zwischen und der Geraden durch
und
?
Wie nennt man
dann?
Versuche es zuerst ohne die Hilfslinie. Überprüfe dich dann selbst.
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
Dies ist der Link zur GeoGebra App, falls die Anzeige bei dir nicht funktioniert:https://www.geogebra.org/material/show/id/cFTUcwnd#
Der Abstand ist am kleinsten, wenn
orthogonal zu
ist. Dies kannst du sehen, wenn du dir die Hilfslinie anzeigen lässt.
Der Abstand eines Punktes zu einer Geraden
ist der Abstand von
und
, wobei
der Lotfußpunkt von
auf
ist.
Für die Bestimmung des Abstandes gibt es zwei verschiedene Verfahren:
Verfahren Hilfsebene
- Stelle eine Hilfsebene
(in Koordinatenform) auf, die den Punkt
enthält und orthogonal zu zu
ist. Dafür kannst du als Stützvektor
und als Normalenvektor den Richtungsvektor von
nehmen.
- Bestimme den Schnittpunkt
von
und
durch Einsetzen.
- Berechne den Abstand
.
Verfahren Orthogonalität
- Bestimme einen allgmeinen Verbindungsvektor von
zu einem beliebigen Geradenpunkt
in Abhängigkeit vom Geradenparameter
.
- Wähle
so, dass der Verbindungsvektor orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden
ist.
- Berechne nun den Abstand
.
Für ein Stadtfest soll von der Spitze eines Restaurants eine Lichterkette auf kürzestem Weg zur nahen Uferlinie des Kanals
eine Lichterkette gespannt werden. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht
.
Berechne die Mindestlänge der Lichterkette auf Meter gerundet.
1. Stelle die Hilfsebene in Koordinatenform auf:
2. Schnittpunkt von und
bestimmen:
3. in
einsetzten, um
zu bestimmen:
4. Abstand bestimmen:
Im Folgenden wurde der Abstand von und
bestimmt.
Bringe die einzelnen Schritte in die richtige Reihenfolge.
Es sind die Punkte und
gegeben, durch sie verläuft die Gerade
. Die Strecke
bildet die Grundseite eines Dreiecks mit dem dritten Punkt
.
liegt auf der zu
parallelen Geraden
.
a) Stimmt die Behauptung "Der Flächeninhalt des Dreiecks
ändert sich, je nachdem wo
auf der Geraden
liegt"? Wenn ja, warum? Wenn nein, warum nicht?
Du kannst mit der Maus den Punkt verschieben.
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
Die Behauptung stimmt nicht. Den Flächeninhalt eines Dreiecks kann man bekanntermaßen mit der Formel
berechnen, wobei
die Länge der Grundseite ist.
b) Bestimme den Flächeninhalt des Dreicks .
Wir bestimmen zunächst die Länge der Grundseite:
Es
.
Nun bestimmen wir die Höhe , also den Abstand der parallelen Geraden
und
mithilfe des Verbindungsvektors von
zur Geraden
.(Da die Geraden parallel sind, ist es natürlich egal, welche der Geraden und welchen Punkt auf der anderen Geraden man nimmt. Ihr könntet ebenso mit dem anderen Verfahren, also mit einer Hilfsebene arbeiten):
Der Punkt ist ein allgemeiner Punkt auf
. Ein allgemeiner Verbindungsvektor zwischen
und
ist also gegeben durch
.
Damit orthogonal zum Richtungsvektor von
ist, muss gelten:
bzw.
, also
. Für
ist der Verbindungsvektor also am kürzesten. Somit ist
.
Abstand zweier windschiefer Geraden
Verschiebe die Punkte und
so, dass
die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen den windschiefen Geraden
und
ist.
Du kannst die Grafik mit deiner Maus drehen, um die Geraden aus anderen Perspektiven zu betrachten.
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
Der Abstand zweier windschiefer Geraden und
ist die kleinste Entfernung zwischen den Punkten von
und den Punkten von
. Diese kürzeste Verbindungsstrecke
zwischen den beiden Geraden ist sowohl orthogonal zu
als auch orthogonal zu
und heißt gemeinsames Lot der windschiefen Geraden
und
.
Für die Bestimmung des Abstandes berechnet man also die Länge des gemeinsamen Lotes der Geraden. Dafür gibt es wieder verschiedene Möglichkeiten. Hier werden zwei Verfahren noch einmal zusammengefasst:
Seien
und
die windschiefen Geraden.
Verfahren Gemeinsames Lot
- Bestimme die Geradenpunkte
und
in Abhängigkeit von dem jeweiligen Geradenparameter.
- Stelle den Verbindungsvektor
in Abhängigkeit von den Geradenparametern auf.
- Bestimme nun die Parameter
und
so, dass der Verbindungsvektor
orthogonal zu den Richtungsvektoren von
und
ist. Du löst also das lineare Gleichungssystem mit den beiden Gleichungen
und
.
- Mit diesen Parametern erhältst du die Lotfußpunkte
und
und kannst den Abstand
bestimmen.
Verfahren Hilfsebene
Es gibt eine Ebene , sodass
in
liegt und
parallel zu
ist. Für diese Ebene
ist dann der Abstand zwischen den Geraden
gleich dem Abstand zwischen
und einem beliebigen Punkt
auf
. Jeder Normalenvektor von dieser Ebene
ist orthogonal zu den Richtungsvektoren von
und
.
- Bestimme aus den Gleichungen
und
einen Normalenvektor.
- Stelle die Normalengleichung
der Ebene
auf.
- Bestimme mit der Hesse´schen Normalenform oder dem Lotfußpunktverfahren (siehe Abschnitt Abstand Punkt Ebene) den Abstand
.
Zwei Maulwürfe graben Tunnel mit einem Durchmesser von jeweils .
Der erste Maulwurf gräbt entlang der Geraden und der zweite entlang der Geraden
wobei diese Geraden jeweils in der Mitte des Tunnels liegen.
Die Geraden schneiden sich nicht, aber ihre Tunnel sind nur stabil, wenn sie überall mindestens Erde dazwischen sind. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht
. Wird das Tunnelsystem halten?
Da die Tunnel einen Radius von haben und die Geraden in dem Modell in der Mitte der jeweiligen Tunnel liegen, müssen die Geraden mindestens einen Abstand von
haben, damit die Tunnel nicht einstürzen.
Wir bestimmen den Abstand zwischen den Geraden mithilfe einer Hilfsebene , die parallel zur Geraden
ist und in der die Gerade
liegt.
Für den Normalenvektor
muss gelten:
und
. Es folgt
und
. Also ist
ein Normalenvektor von
.
Die Normalenform von
lautet nun
.
Nenne
.
Da der Abstand zwischen den Geraden gleich dem Abstand zwischen der Ebene
und einem beliebigen Punkt auf der zu
parallelen Geraden
ist, erhält man nun mit der Hesse'schen Normalenform
Die Geraden haben also einen kleineren Abstand als . Das heißt, die Tunnel sind nicht überall mindestens
voneinander entfernt und sie werden einstürzen.
Die Geraden haben einen Abstand von . Zwischen den Tunneln sind also an einer Stelle nur
Erde und sie werden einstürzen.
Bei dieser Aufgabe gibt es drei Geradenpaare und
, die jeweils windschief zueinander liegen. Schiebe zuerst die Geradenpaare auf das Feld mit der entsprechenden Nummer.
Ordne ihnen dann die jeweiligen Lotfußpunkte
und
sowie den entsprechenden Abstand zwischen den Geraden zu.
Ein paar Zettel bleiben übrig, diese schiebst du auf das letzte Feld.
Du kannst die Zettel vergrößern, indem du sie anklickst.
Tipp: Durch genaue Überlegungen, Rückwärtsrechnen und mithilfe von Skizzen kann man manchmal schnell erkennen, was zusammengehört, ohne alle Schritte des Verfahrens durchzugehen!
Wenn du auf den Haken klickst, kannst du überprüfen, ob du richtig zugeordnet hast.
Da entlang der
-Achse verläuft, liegt diese Gerade auch in der
-
-Ebene. Da
parallel zur
-Achse verläuft und nicht in der
-
-Ebene liegt (denn der Eintrag des Stützvektors in der Koordinate
ist nicht
), ist
parallel zur
-
-Ebene.
Deshalb haben alle Punkte auf der Geraden
die
-Koordinate
.
Also kann man den Abstand der Geraden direkt an der
-Koordinate des Stützvektors der Geraden
ablesen:
.