Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lagebeziehungen und Winkel (Gerade und Ebene, 2 Ebenen)
Hier entsteht das Lernpfadkapitel "Lagebeziehungen und Winkel (Gerade und Ebene, 2 Ebenen)".
In diesem Lernpfadkapitel <Kurzbeschreibung des Kapitelziels>
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
- In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
- Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
- Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
- Aufgaben und Kapitel, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.
Inhaltsverzeichnis
Lagebeziehung Gerade-Ebene
Mögliche Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene
Untersuchung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene
Gegeben sind eine Ebene und eine Gerade . Untersuche die Lagebeziehung der Gerade und der Ebene und bestimme gegebenenfalls den Schnittpunkt.
1. Schritt: Setze die Geraden- und Ebenengleichung gleich:
2. Schritt: Stelle das zugehörige lineare Gleichungssystem auf:
3. Schritt: Löse das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren oder dem Taschenrechner:
4. Schritt: Interpretiere die Lösung des Gleichungssystems anhand der Anzahl der Lösungen. Da das Gleichungssystem nur eine Lösung hat, besitzen die Ebene und die Gerade nur einen gemeinsamen Punkt. Also schneidet die Gerade die Ebene.
5. Schritt: Da sich die Ebene und die Gerade schneiden, kannst du den Schnittpunkt der beiden berechnen. Setze dafür den Parameter in die Geradengleichung ein:
Gegeben ist eine Ebene .
1. Setze die Geradengleichung mit der Ebenengleichung gleich.
2. Stelle ein LGS auf.
3. Löse das LGS mit dem Gaußverfahren oder dem Taschenrechner.
4. Die Anzahl der Lösungen zeigt dir, wie viele gemeinsamen Punkte die Gerade und die Ebene haben. Daran kannst du die Lagebeziehung erkennen.
Da es Frau Meier im Sommer auf ihrer Terrasse gerne schattig haben möchte, spannt sie ein dreieckiges Segeltuch auf. Die Eckpunkte des Segeltuchs sind und . Die Terrasse wird modelliert durch die -Ebene. Die Sonne scheint aus Richtung . In welchem Bereich hat Frau Meier nun Schatten?
1. Schritt: Stelle die Geradengleichungen durch die Eckpunkte des Sonnensegels in Richtung der Sonnenstrahlen auf: , ,
2. Schritt: Berechne die Schnittpunkte der Geraden mit der -Ebene. Da du weißt, dass jeder Punkt in dieser Ebene von der Form ist, kannst du diesen Punkt mit der Geradengleichung gleichsetzen.
Berechnung von :
.
Berechnung von :
.
Berechnung von :
.
Die Schattenfläche wird also durch das Dreieck mit den Eckpunkten und begrenzt.
Bei der Bestimmung der Lagebeziehung zwischen einer Gerade und einer Ebene kann dir der Normalenvektor der Ebene helfen.
Wenn der Richtungsvektor der Gerade und der Normalenvektor der Ebene orthogonal zueinander sind und Gerade und Ebene keinen gemeinsamen Punkt besitzen, so sind sie parallel zueinander.
Wenn der Richtungsvektor der Gerade und der Normalenvektor der Ebene orthogonal zueinander sind und Gerade und Ebene unendlich viele gemeinsame Punkte besitzen, so liegt die Gerade in der Ebene.
Wenn der Richtungsvektor der Gerade und der Normalenvektor der Ebene nicht orthogonal zueinander sind, dann schneiden sich die Gerade und die Ebene und es kann ein Schnittpunkt bestimmt werden.
Gegeben sind eine Ebene und eine Gerade . Bestimme die Lagebeziehung von Gerade und Ebene.
1. Schritt: Prüfe, ob der Richtungsvektor der Gerade orthogonal zum Normalenvektor der Ebene liegt:
2. Schritt: Prüfe durch eine Punktprobe, ob der Stützvektor der Gerade in der Ebene liegt:
Der Stützvektor liegt nicht in der Ebene. Daher verlaufen die Gerade und die Ebene parallel zueinander.
Gegeben ist eine Ebene . Bestimme und in den folgenden Geraden so, dass die entsprechende Lagebeziehung erfüllt ist.
a) Die Gerade soll parallel zur Ebene verlaufen.
.
Damit die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind, muss das Skalarprodukt sein: .b) Die Gerade soll in der Ebene liegen.
Finde zuerst m: . Damit die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind, muss das Skalarprodukt sein: .
Finde danach durch eine Punktprobe: Setze in die Ebenengleichung ein und löse nach l auf: .c) Die Gerade soll die Ebene schneiden.
Luca hält einen Vortrag vor seiner Klasse. Mit einem Laserpointer möchte er auf einer Karte an der Wand etwas zeigen. Die Wand des Klassenraums wird durch die Ebene dargestellt. Der Strahl des Laserpointes wird durch die Gerade modelliert. Berechne ohne Taschenrechner, wo der Strahl aus Lucas Laserpointer auf die Karte an der Wand trifft.
Berechne den Schnittpunkt, indem du s in die Geradengleichung einsetzt:
⭐Berechnung des Winkels zwischen Gerade und Ebene
Sei eine Ebene mit dem Normalenvektor und eine Gerade mit dem Richtungsvektor . Der Schnittwinkel zwischen und kann mit folgender Formel berechnet werden:
Wenn du wissen möchtest, warum du nicht wie beim Winkel zwischen zwei Geraden den Kosinus benutzt, kannst du das hier nachlesen:
Gegeben sind die Gerade und die Ebene . Bestimme den Winkel unter dem sich die Gerade und die Ebene schneiden.
1. Schritt: Notiere den Richtungvektor der Gerade und den Normalenvektor der Ebene.
und .
2. Schritt: Setze die Vektoren in die Formel ein.
3. Schritt: Umformen der Gleichung
Eine Gerade soll die in einem Winkel von schneiden. Über die Gerade ist nur bekannt, dass sie im Punkt beginnt und sie in Richtung des Vektors verläuft. Stelle die Gerade auf.
Bisher wurde mit der Formel zu Winkelberechnung nur der Winkel berechnet. Die Formel kann jedoch auch genutzt werden, um bei einem vorgegebenen Winkel die Lage der Gerade oder Ebene zu bestimmen.
Dafür muss zuerst der Normalenvektor der Ebene bestimmt werden. Da es sich um die -Ebene handelt, lautet der Normalenvektor .
Nun können der Normalenvektor der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade und der vorgegebene Winkel in die Formel zur Berechnung eingesetzt werden:
Löst man die Gleichung mithilfe des Taschenrechners, erhält man das Ergebnis: .
Somit kann im letzten Schritt die Gerade aufgestellt werden. Man erhält .
Lagebeziehung Ebene-Ebene
Gegeben sind eine Ebene und eine Ebene .
Untersuche die Lagebeziehung der beiden Ebenen.
1. Schritt: Setze die beiden Ebenengleichungen gleich.
2. Schritt: Stelle das zugehörige lineare Gleichungssystem auf.
3. Schritt: Löse das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren oder dem Taschenrechner:
4. Schritt: Interpretiere die Lösung des Gleichungssystems:
In der dritten Zeile der Lösungsmatrix befindet sich ein Widerspruch. Somit hat das LGS keine Lösung und die beiden Ebenen sind parallel
Interpretiere die jeweilige Situation geometrisch.
a)
b)
c)
Gegeben sind eine Ebene und eine Ebene . Untersuche die Lagebeziehung der beiden Ebenen.
1. Schritt: Prüfe, ob die Richtungsvektoren und der Ebene orthogonal zum Normalenvektor der Ebene liegen. Hierfür muss gelten, dass und .
2.Schritt: Interpretiere die Lösung des Skalarproduktes:
Da das Skalarprodukt der Vektoren 0 ist, liegen sie orthogonal zueinander. Das bedeutet, das die Ebenen sich nicht in einer Schnittgeraden schneiden, sondern entweder identisch oder parallel sind.
3. Schritt: Überprüfe die Lagebeziehung mithilfe der Punktprobe. Setze hierfür den Ortsvektor (Aufpunkt) der Ebene in die Ebenengleichung der Ebene ein.
4. Schritt: Interpretiere die Lösung der Punktprobe. Da der Aufpunkt die Koordinatengleichung von erfüllt, liegt in und die Ebenen sind identisch.
Untersuche die Lagebeziehung der jeweiligen Ebenen.
a)
b)
c)
Gegeben sind eine Ebene und eine Ebene . Untersuche die Lagebeziehung der beiden Ebenen.
1. Schritt: Prüfe, ob der Normalenvektor der Ebene ein Vielfaches des Normalenvektors der Ebene ist.
2. Schritt: Interpretiere die Lösung des LGS.
Da das LGS nicht lösbar ist, sind die beiden Gleichungen linear unabhängig und die Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden.
3. Schritt: Bestimme die Schnittgerade.
Setze hierfür die beiden Ebenengleichungen gleich und löse das dazugehörige LGS.
Gegeben ist eine Ebene .
Vergleiche die Gleichungen der zwei Ebenen miteinander. Die Ebenen schneiden sich, wenn die beiden Gleichungen linear unabhängig voneinander sind. Die Ebenen sind parallel, wenn die Normalenvektoren identisch oder Vielfache voneinander sind, aber das LGS keine Lösung besitzt.
DIe Ebenen sind identisch, wenn die Normalenvektoren identisch oder Vielfache voneinander sind und das LGS somit unendlich viele Lösungen hat.
Die beiden Seitenflächen eines Zeltes liegen in den Ebenen und . Berechne die Geradengleichung der oberen Zeltkante.
⭐Berechnung des Winkels zwischen Ebene und Ebene
Wenn sich zwei Ebenen schneiden, kann der Schnittwinkel bestimmt werden, den sie einschließen. Wie in Abbildung ... zu sehen ist, kannst du dazu die Normalenvektoren betrachten. Sie schließen denselben Winkel ein, wie die beiden Ebenen. Betrachten wir die Normalenvektoren, so können wir ähnlich vorgehen, wie beim Berechnen des Winkels zwischen zwei Geraden.
Um den Schnittwinkel zu berechnen, musst du zunächst die Normalenvektoren der Ebenen bestimmen. Wenn du nicht mehr genau weißt, wie das geht, schaue nochmal in Kapitel Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum
Gegeben sind zwei Ebenen und mit und . Berechne den Schnittpunkt zwischen den Ebenen.
1. Schritt: Bestimmte die Normalenvektoren von und .
Der Normalenvektor von kann mithilfe des ... bestimmt werden als . Der Normalenvektor von lautet .
2. Schritt: Einsetzen der Normalenvektoren in die Formel.
3. Schritt: Auflösen der Gleichung.
Der Winkel zwischen den Ebenen und beträgt ca. .
Sei eine Ebene mit ,
eine Ebene mit .
und eine Ebene mit .
Berechne den Winkel zwischen E und F, F und H und E und H.
Bei der Ebene handelt es sich um die Ebene. Der Normalenvektor ist also . Der Normalenvektor der Ebene kann abgelesen werden: .
Einsetzen in die Formel liefert:
Nun muss die Formel mit Hilfe des Taschenrechners aufgelöst werden:
Der Winkel zwischen den Ebenen und beträgt ca. .Die Normalenvektor der Ebenen <amth>F</math> und können abgelesen werden als und
Einsetzen in die Formel liefert:
.
Nun muss die Formel mit Hilfe des Taschenrechners aufgelöst werden:
Der Winkel zwischen den Ebenen und beträgt ca. .Bei der Ebene handelt es sich um die Ebene. Der Normalenvektor ist also . Der Normalenvektor der Ebene kann abgelesen werden: .
Einsetzen in die Formel liefert:
Nun muss die Formel mit Hilfe des Taschenrechners aufgelöst werden:
Der Winkel zwischen den Ebenen und beträgt ca. .
Der Winkel zwischen den beiden Vektoren und beträgt .
Gib die Gleichungen zweier Ebenen und an, die sich in einem Winkel von schneiden.
Der Winkel zwischen zwei Ebenen entspricht dem Winkel zwischen ihren Normalenvektoren. Da der Winkel zwischen den beiden angebenen Vektoren und genau dem Winkel entspricht, den die Ebenen einschließen sollen, können sie als Normalenvektoren der Ebenen verwendet werden. Die Punkte durch die die Ebenen laufen, können frei gewählt werden.
Eine mögliche Lösung für die Ebenen lautet daher:
und .
An einem Wanderweg soll eine Holzbank aufgestellt werden. Die Bank wird so ausgerichtet, dass die Sitzfläche durch die Ebene und die Rückenlehne durch die Ebene beschrieben werden kann.
a) Um eine bequeme Sitzposition zu ermöglichen, sollte der Winkel zwischen Rückenlehne und Sitzfläche zwischen 100 und 110 liegen. Überprüfe, ob die auf die neue Bank zutrifft.
Als Normalenvektor der Ebene erhält man und als Normalenvektor der Ebene .
Einsetzen in die Formel liefert:
Umstellen der Formel ergibt:
Wie in Abbildung ... zu sehen wurde der Winkel berechnet. Der Winkel zwischen der Sitzfläche und der Rückenlehne wird aber durch den Winkel beschrieben. erhält man, indem man berechnet: . Mit einem Wert von liegt der Winkel zwischen Rückenlehne und Sitzfläche etwas über dem optimalen Winkel.b) Da der Wanderweg sehr beliebt ist, soll noch eine zweite Bank aufgestellt werden. Sie wird so ausgerichtet, dass beide Bänke mit den Rückenlehnen aneinander stehen. Auch bei der zweiten Bank können die Sitzfläche und die Rückenlehne durch Ebenen beschrieben werden. Die Sitzfläche entspricht der Ebene und die Rückenlehne der Ebene Berechne den Winkel, unter dem die beiden Rückenlehnen der Bänke aufeinander treffen.