Allgemeine Info
Zuerst erklären wir Dir wichtige Begriffe und Zusammenhänge. Danach kannst Du selbständig die Aufgaben bearbeiten. Du benötigst Papier und Stifte, Lineal und Taschenrechner. Zu jedem Kapitel wurden Aufgaben beigefügt, die Dir dabei helfen das Wissen besser zu verstehen und zu vertiefen. Bei diesen Aufgaben handelt es sich um 3 verschiedene Schwierigkeitsstufen, die farblich gekennzeichnet sind:
- Aufgaben mit gelbem Titel sind zum Wiederholen und Vertiefen
- Aufgaben mit blauem Titel sind von mittlerer Schwierigkeit
- Aufgaben mit grünem Titel sind Knobelaufgaben
Die mit einem Sternchen markierten Aufgaben sind insbesondere für den LK gedacht.
Viel Erfolg bei der Bearbeitung dieses Lernpfades!
Einführung: Integral
Was ist ein Integral?
Die Fläche unter einem Graphen kann durch den gemeinsamen Grenzwert von Ober- und Untersummenfolgen bestimmt werden. Dies nennt man das Integral von über das Intervall und schreibt dafür .
Die Funktion heißt dann über integrierbar. Dabei ist die untere und die obere Integrationsgrenze und die Rand- oder auch Integrandfunktion.
Betrachtet man die Werte von Integralen in Abhängigkeit von einer festen unteren Grenze und einer variablen (anstelle einer festen) oberen Grenze und verwendet deshalb als Variable der Integrandfunktion , so erhält man eine Integralfunktion
ist also eine Funktion, die jedem das Integral von über zuordnet. ist dabei die Funktionsvariable, in die eingesetzt werden darf, während eine gebundene Variable ist, in die nicht eingesetzt werden darf.
Eine Funktion
heißt
Stammfunktion zur Funktion
, wenn gilt
für alle
.
Rechnen mit Integralen
Aufgabe 1: Rechenregeln
Welche der folgenden Rechenregeln sind richtig und welche falsch?
Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen
Aufgabe 3: Bakterien
Hierfür benötigst du einen Zettel und einen Stift.
In einem Labor werden Bakterien gezüchtet. Die Anzahl der Bakterien innerhalb von 10 Tagen ist durch die Funktion
gegeben , wobei in Tagen mit .
a) Wie viele Bakterien gibt es am 8. Tag?
Setze für
ein
b) Wie viele Bakterien gibt es in den ersten 8 Tagen im Durchschnitt?
Nutze die Formel des Mittelwerts
c) Wie viele Bakterien werden durchschnittlich zwischen dem 2. und 4. Tag gezüchtet?
Nutze die Formel des Mittelwerts. Bedenke dass du nun ein anderes Intervall als bei b) hast.
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Die Verbindung zwischen Integralen und Differentialen
Der Hauptsatz beschreibt, wie sich Ableitung und Integration umkehren lassen. Durch ihn lassen sich beispielsweise Integrale leichter ausrechnen. Der Hauptsatz besteht aus zwei Teilen, die es zu unterscheiden gilt.
Der erste Teil des Hauptsatzes
Wenn f eine stetige Funktion auf dem Intervall ist, so gilt für jede Stammfunktion F auf dem Intervall die Formel:
, wobei ist.
Mit dieser Variante lässt sich auch die Stammfunktion F (re-)konstruieren, wenn du deren Ableitung und einen Anfangswert a kennst. Dies kannst du mit dieser Formel machen:
Der zweite Teil des Hauptsatzes
Die zweite Variante des Hauptsatzes ist sozusagen die Umkehrung der ersten Variante. Nun gehen wir vom Integral, also der Stammfunktion aus und bestimmen . Hierbei gilt:
Aufgabe 4: Integrieren mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Hierfür benötigst du einen Zettel und einen Stift, um die Aufgabe zu bearbeiten.
Die Abbildung zeigt das Schaubild der Funktion mit
Abbildung der Funktion f(x)
a) Welchen Wert erhältst du für das Integral im Intervall ?
Berechne zunächst die Stammfunktion
b) Wie lautet der Mittelwert?
Nutze das Intervall von Aufgabe a)
Aufgabe 5: Das Kirchenfenster
Partielle Integration
Partielle Integration
Die partielle Integration ist eine Methode, die die Integration von Produkten zweier Funktionen ermöglicht. Sie beruht auf der Produktregel und wird daher auch Produktintegration genannt. Dabei ist es von Vorteil, wenn die eine Funktion leicht abzuleiten und die andere leicht zu integrieren ist.
Allgemein definiert man die Formel der partiellen Integration so:
Dabei ist das ursprüngliche Integral.
ist die leicht zu integrierende Funktion.
ist die leicht abzuleitende Funktion.
Integration durch Substitution
Integration durch Substitution
Aufgabe 6: Integration von komplexeren Funktionen
Wie lautet die Stammfunktion dieser Funktionen? Hierfür benötigt ihr einen Zettel und einen Stift, um die Funktion schriftlich zu integrieren.
a)
Nutze die partielle Integration
Setze die leicht abzuleitende Funktion
und die leicht zu integrierende Funktion
b) im Intervall
Nutze den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Bilde die Stammfunktion von f(x), betrachte die Grenzen zunächst einzeln und denke an die binomischen Formeln
c)
Nutze die Integration durch Substitution
Setze die innerer Funktion
und leite sie nach x ab
d)
Nutze die Integration durch Substitution
Setze die innerer Funktion
und leite sie nach x ab
e) im Intervall
Nutze den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Bilde die Stammfunktion von f(x) und betrachte die Grenzen zunächst einzeln
Aufgabe 7: Integration von komplexeren Funktionen
Wie lautet die Stammfunktion dieser Funktionen?
Flächeninhalte von Integralen
Aufgabe 8: Flächeninhalte berechnen
Aufgabe 9: Zahnlogo
In einer Zahnarztpraxis soll ein neues Logo entworfen werden. Dazu wurde die nebenstehende Zeichnung angefertigt, welche durch die Funktionen
und
das Zahnlogo bildet. Dabei entspricht eine Längeneinheit in dem Graphen 1 cm. Nun soll dieses Logo mit einer Dicke von 1 mm aus Silber (
Silber wiegt 10,5 g) produziert werden. Wie schwer wird das Logo dann werden?
Bearbeite diese Textaufgabe am besten schriftlich auf einem Zettel.
Zuerst soll die Fläche des Logos berechnet werden. Dazu wird dieses Integral genötigt:
.
Hast du daran gedacht, alle Einheiten einheitlich anzupassen? Die Dicke von
muss auf jeden Fall noch in
umgerechnet werden.
Wenn du die Fläche des Logos
wie in Tipp 1 berechnet hast, kannst du das
nun durch das Produkt von
und der Dicke (beachte Tipp 2!) berechnen.
Das fertige Logo aus Silber wiegt .
Zunächst wird der Flächeninhalt berechnet:
Wenn ihr die Fläche des Logos berechnet habt, könnt ihr mit Hilfe der angegebenen Dicke des Logos das Volumen berechnen:
Das Gewicht wird dann wie folgt angegeben:
Rotationskörper (Zusatz: nur für LK's)
⭐ Rotationskörper und Raumintegrale
Lässt man den Graphen einer Funktion um die x-Achse rotieren, so entsteht ein sogenannter Rotationskörper. Für seinen Rauminhalt gilt .
Als Beispiel betrachten wird das Volumen einer Kugel mit Radius
, die durch die Rotation des Graphen der Funktion
mit
im Intervall
um die
-Achse entsteht. Mit der Formel für den Rotationskörper erhält man nun das Volumen der Kugel:
.
Hier ein weiteres Beispiel einer Sinus-Funktion, das veranschaulicht, wie du dir Rotationskörper vorstellen kannst.
⭐ Aufgabe 10: Rotationskörper und Raumintegrale0
Funktionsgraph von
Bearbeite diese Aufgabe am besten schriftlich auf einem Zettel.
Gegeben sei die Funktion mit . Die Fläche von rotiere um die -Achse.
Berechne den Inhalt des entstehenden Drehkörpers:
a) im Intervall
Nutze die Formel zur Inhaltsberechnung von Rotationskörpern
und setze die Funktion
sowie die Grenzen
und
ein.
b) im Intervall
Nutze die Formel zur Inhaltsberechnung von Rotationskörpern
und setze die Funktion
sowie die Grenzen
und
ein.
.
⭐ Aufgabe 11: Rotationskörper und Raumintegrale
Funktionsgraphen von
(orange) und
(lila)
Sei eine Funktion
gegeben mit
sowie die Funktion
mit
.
Die Graphen von und begrenzen mit der -Achse eine Fläche.
Berechne den Inhalt des Körpers, der entsteht, wenn diese Fläche um die -Achse rotiert.
Bearbeite diese Aufgabe am besten schriftlich auf einem Zettel.
Überlege dir, wie die Formel aussieht, die du zur Berechnung des Inhalts zwischen zwei Funktionen nutzen kannst.
Die Formel zur Inhaltsberechnung lautet:
, wobei
die Schnittstelle von
und
ist. Berechne also zunächst die Schnittstelle.
Die Schnittstelle von
und
ist
. Setze dies nun als obere Grenze in deine Formel (siehe Tipp 2) ein und berechne die Integrale. Nutze dafür die Substitution sowie dein Wissen über Potenzregeln und Linearität.
1. Schnittstelle berechnen:
Für uns interessant ist nur der Wert im positiven -Bereich, da die Fläche links von der -Achse laut Aufgabenstellung nicht betrachtet wird.
2. Integrale berechnen:
Substituiere
Nun wird die Potenzregel angewendet und resubstitutiert. Im zweiten Term kann zudem die Linearität des Integrals ausgenutzt werden. Insgesamt gilt dann: