Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null

Merke: Verhalten einer Funktion im Unendlichen

Das Verhalten einer Funktion $f$ im Unendlichen beschreibt, wie sich der Funktionswert $f(x)$ verhält, wenn $x$ gegen plus oder minus unendlich geht, also wie f für sehr große positive und negative Werte von $x$ aussieht. Bei ganzrationalen Funktionen der Form $f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0$ kann man das Verhalten im Unendlichen untersuchen, indem man sich den Summanden des Funktionsterms mit dem größten Exponenten von $x$ anschaut. Betrachte also $g(x)=a_n x^n$. Im Unendlichen verhalten sich $f$ und $g$ gleich, man kann also einfach das Verhalten im Unendlichen von $g$ untersuchen. Es gibt vier Fälle, die dabei unterschieden werden:

	$n$ gerade	$n$ ungerade
$a_n>0$	$n$ gerade und $a_n>0$: $f$ verläuft "von links oben nach rechts oben", $f(x)\rightarrow \infty$ für $x\rightarrow\pm\infty$	$n$ ungerade und $a_n>0$: $f$ verläuft "von links unten nach rechts oben", $f(x)\rightarrow -\infty$ für $x\rightarrow -\infty$, $f(x)\rightarrow \infty$ für $x\rightarrow\infty$
$a_n>0$	$n$ gerade und $a_n<0$: $f$ verläuft "von links unten nach rechts unten", $f(x)\rightarrow -\infty$ für $x\rightarrow\pm\infty$	$n$ ungerade und $a_n<0$: $f$ verläuft "von links oben nach rechts unten", $f(x)\rightarrow \infty$ für $x\rightarrow -\infty$, $f(x)\rightarrow -\infty$ für $x\rightarrow\infty$

Merke: Verhalten nahe Null

Das Verhalten einer Funktion $f$ nahe Null beschreibt, wie sich der Funktionswert $f(x)$ verhält, wenn $x$ gegen Null geht, also für sehr kleine Werte von $x$. Eine ganzrationale Funktion der Form $f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0$ verhält sich nahe Null wie die Summe aus dem absoluten Glied $a_0$ und dem Summanden mit dem kleinsten Exponenten von $x$, die im Funktionsterm auftaucht.

Aufgabe 1 - Quiz zum Verhalten einer Funktion

Wähle die jeweils richtigen Antworten aus. Es können eine oder mehrere Antworten richtig sein. Achte darauf, ob das Verhalten im Unendlichen oder nahe Null gefragt ist. Es kann helfen, dir Notizen zu machen. Falls du einen Tipp benötigst, klicke links oben auf die Glühlampe.

Beispiel

• $f(x)=5x^2-3x+4$ verhält sich im Unendlichen wie $g(x)=5x^2$.
• Für $x\rightarrow -\infty$ geht $f(x)\rightarrow\infty$ und für $x\rightarrow \infty$ geht $f(x)\rightarrow\infty$, da $n=2$ eine gerade Zahl ist und $a_n=5>0$.
• Nahe Null verhält sich $f$ wie $h(x)=-3x+4$.
• Wenn man sich ein kleines Intervall um $x=0$ anschaut, sieht der Graph von $f$ dort lokal also aus wie eine Gerade mit der Steigung -3 und dem y-Achsenabschnitt 4. Der y-Achsenabschnitt von $f$ ist daher auch 4.

Falls du ein weiteres Beispiel sehen möchtest, klappe es auf:

Weiteres Beispiel

• $f(x)=x^5+4x^2-7$ verhält sich im Unendlichen wie $g(x)=x^5$.
• Für $x\rightarrow -\infty$ geht $f(x)\rightarrow -\infty$ und für $x\rightarrow \infty$ geht $f(x)\rightarrow\infty$, da $n=5$ eine ungerade Zahl ist und $a_n=1>0$.
• Nahe Null verhält sich $f$ wie $h(x)=4x^2-7$, also wie eine um den Faktor 4 gestreckte, nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt bei $(0|-7)$. Ihr y-Achsenabschnitt liegt daher bei $-7$.

Aufgabe 2 - Beschreibe das Verhalten

Beschreibe in deinem Heft das Verhalten der nachfolgenden Funktionen und Funktionenscharen im Unendlichen und nahe Null. Gehe dazu vor wie in den Merkboxen oben.

a) $f(x)=7x^5-2x^2$

Lösung: Verhalten im Unendlichen

$f$ verhält sich im Unendlichen wie $g(x)=7x^5$. Da $n=5$ eine ungerade Zahl ist und $a_n=7>0$, geht $f(x)\rightarrow-\infty$ für $x\rightarrow -\infty$ und $f(x)\rightarrow\infty$ für $x\rightarrow\infty$. Der Graph von $f$ verläuft also von links unten nach rechts oben.

Lösung: Verhalten nahe Null

$f$ verhält sich nahe Null wie $h(x)=-2x^2$, also wie eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt im Ursprung, die um den Faktor zwei gestreckt ist.

b) $f(x)=x^2-\frac{4}{3}x^2-3x+9$

Tipp

Beachte, dass du manchmal den Funktionsterm erst zusammenfassen musst.

Lösung: Verhalten im Unendlichen

Zusammengefasst ist $f(x)=-\frac{1}{3}x^2-3x+9$. $f$ verhält sich daher im Unendlichen wie $g(x)=-\frac{1}{3}x^2$. Da $n=2$ eine gerade Zahl ist und $a_n=-\frac{1}{3}<0$, geht $f(x)\rightarrow-\infty$ für $x\rightarrow \pm\infty$. Der Graph von $f$ verläuft also von links unten nach rechts unten.

Lösung: Verhalten nahe Null

$f$ verhält sich nahe Null wie $h(x)=-3x+9$, also wie eine fallende Gerade mit Steigung $-3$ und y-Achsenabschnitt $9$.

c) ⭐ $f_a(x)=-7x^5+ax^3$ mit $a>0$

Tipp

Gehe bei Funktionenscharen genau so vor wie bei normalen Funktionen.

Lösung: Verhalten im Unendlichen

$f_a$ verhält sich im Unendlichen wie $g(x)=-7x^5$. Da $n=5$ eine ungerade Zahl ist und $a_n=-7<0$, geht $f(x)\rightarrow\infty$ für $x\rightarrow -\infty$ und $f(x)\rightarrow-\infty$ für $x\rightarrow \infty$. Der Graph von $f$ verläuft also von links oben nach rechts unten.

Lösung: Verhalten nahe Null

$f_a$ verhält sich nahe Null wie $h_a(x)=ax^3$, also wie eine Funktion dritten Gerades, die von links unten nach rechts oben geht, da $a$ positiv ist. Der y-Achsenabschnitt ist $0$, da das absolute Glied im Funktionsterm von $f$ nicht auftaucht und daher Null ist.

d) ⭐ $f_a(x)=-ax^3+2x^2-\frac{4}{7}$ mit $a<0$

Tipp

Überlege dir zunächst, welches Vorzeichen $a_n$ hat, wenn $a$ negativ ist.

Lösung: Verhalten im Unendlichen

$f_a$ verhält sich im Unendlichen wie $g_a(x)=-ax^3$. Da $n=3$ eine ungerade Zahl ist und $a_n=-a>0$, da $a<0$ ist, geht $f(x)\rightarrow-\infty$ für $x\rightarrow -\infty$ und $f(x)\rightarrow\infty$ für $x\rightarrow \infty$. Der Graph von $f$ verläuft also von links unten nach rechts oben.

Lösung: Verhalten nahe Null

$f_a$ verhält sich nahe Null wie $h(x)=2x^2-\frac{4}{7}$, also wie eine nach oben geöffnete Parabel mit y-Achsenabschnitt $-\frac{4}{7}$.

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