Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

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In diesem Kapitel kannst du die Idee und die Anwendung des Integrals wiederholen und durch gezielte Aufgaben üben und verbessern. Die Grundlage hierfür ist, dass du die Eigenschaften von Funktionen erkennst und untersuchen sowie ableiten kannst.

Du sollst hier für dich verinnerlichen, was überhaupt hinter dem Begriff des Integrals steckt und kannst darüber hinaus Grundlagen für die Anwendung mit Integralen wiederholen aber auch vertiefen.

Zum Einstieg findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels Änderungsrate und Änderungseffekt erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral bei denen es besonders auf den Zusammenhang von Differential- und Integralrechnung ankommt. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du Gelerntes wiederholen und vertiefen.

Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit. Und Aufgaben mit grüner Hinterlegung sind Knobelaufgaben.

Herleitung des Integrals

Konstante und lineare Funktionen

Beispiel 1: Jogger

Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion $f(x) = 3$, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt? Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen f(x) und der x-Achse in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m ($3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m$) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle $[0,b]$ auf der x-Achse fortführen. Probiere das in der Darstellung aus indem du die obere Grenze b verschiebst und versuche den Zusammenhang zum Integral zu erkennen.

Beispiel 2: Durchflussrate

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall $[0;9]$ dargestellt.

Figur 1

Es stellt sich die Frage wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann? Dass bedeutet, wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.

Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.

Im Intervall $[0;3]$ beträgt der Zufluss $2\frac{l}{min}$. In diesen 3 Minuten fließen $A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l$ in den Tank. Im Intervall $[3;5]$ beträgt die mittlere Zuflussrate $1\frac{l}{min}$. In diesen 2 Minuten kommen $A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l$ dazu. Im Intevall $[5;9]$ ist die Durchflussrate negativ. Es fließen $A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l$ ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall $[a;b]$ mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser orientierte Flächeninhalt beträgt beim Wassertank:

$A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)$

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

Merke: Orientierter Flächeninhalt

Ist der Graph einer momentanen Änderungsrate aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die Gesamtänderung der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral.

Allgemeine Herleitung und Definition

Idee für ganzrationale Funktionen

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den Änderungseffekt durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher? Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die Untersumme. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das Integral aktivieren. Im folgenden Applet spielt die Obersumme eine untergeordnete Rolle und beschreibt eine ähnliche Verfahrensweise wie die der Untersumme. Die Trapezsumme spielt hierbei keine Rolle und sollte nicht aktiviert werden.

• N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
• Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
• Die eingeblendete Summe gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.
• Die Obersumme führt zum selben Ziel. Man nähert sich der exakten Fläche nicht wie bei der Untersumme von unterhalb sondern oberhalb des Graphen an.

• Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
• Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
• Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
• Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.

Definition: Integral

Die Funktion $f$ sei auf dem Intervall $[a;b]$ stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und $A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x$ sei eine beliebige Rechtecksumme zu $f$ über dem Intervall $[a;b]$.

Dann heißt der Grenzwert $\textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n$ Integral der Funktion $f$ zwischen den Grenzen $a$ und $b$ .

Man schreibt dafür:

$\int_{a}^{b} f(x) dx$ (lies: Integral von $f(x)$ von $a$ bis $b$).

Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

Die Funktion $f$ sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall $[a;b]$. Dann gilt:

$\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$ für eine beliebige Stammfunktion $F$ von $f$ auf $[a;b]$.

Stammfunktionen bilden

Stammfunktion Definition

Eine Funktion $F$ heißt Stammfunktion zu einer Funktion $f$ auf einem Intervall $I$, wenn für alle $x$ in $I$ gilt: $F'(x) = f(x)$. Sind $F$ und $G$ Stammfunktionen von $f$ auf einem Intervall $I$, dann gibt es eine Konstante $c$, sodass für alle $x$ in $I$ gilt:

$F(x) = G(x)+c$

Satz: Bestimmung von Stammfunktionen

Zur Funktion $f$ mit $f(x)=x^r (r \neq -1)$ ist $F$ mit $F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}$ eine Stammfunktion. Zur Funktion $f$ mit $f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}$ ist $F$ mit $F(x)=\ln(|x|)$ eine Stammfunktion. Sind $G$ und $H$ Stammfunktionen von $g$ und $h$, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:

• $f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)$
• $f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)$
• $f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)$

Gelerntes Wiederholen und Vertiefen

Aufgabe 1: Integral und Flächeninhalt

Du erkennst, dass der orientierte Flächeninhalt nicht mit dem Wert des Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse übereinstimmt. Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit verschiedener Körper. Ermittel jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst ein Zettel und ein Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a)

Figur 1

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

• Fläche oberhalb der x-Achse: $16\ FE$
• Flächer unterhalb der x-Achse: $4\ FE$
• Integral/orientierter Flächeninhalt: $16 - 4 = 12\ FE$
• Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

b)

Figur 2

Auf dem Intervall $[4,7]$ musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.

• Fläche oberhalb der x-Achse: $20\ FE$
• Flächer unterhalb der x-Achse: $0\ FE$
• Integral/orientierter Flächeninhalt: $20\ FE$
• Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

c)

Figur 3

• Fläche oberhalb der x-Achse: $49,5\ FE$
• Flächer unterhalb der x-Achse: $5\ FE$
• Integral/orientierter Flächeninhalt: $44,5\ FE$
• Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

1. $f(x)=1$
2. $f(x)=x$
3. $f(x)=x^2$
4. $f(x)=x^3 + x^2 - 1$

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen

Bearbeite die folgenden Aufgabe. Ordne die Graphen der Funktion $f(x)$ mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion $F(x)$ zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Aufgaben mittlerer Schwierigkeit

Aufgabe 5: Kanalaufgabe

Der Boden eines 2km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1m in der Wirklichkeit.

Querschnitt des komplett gefüllten Kanals

• a) Erstelle eine Funktion f, die den Verlauf des Kanalgrundes angibt.
• b) Berechne den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals [in $m^2$]. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit $f(x)=1/4 \cdot x^2$ den Grundverlauf des Kanals darstellt.
• c) Wie viel Wasser [in m^3] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?
• d) Schwer: Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

Eine Parabel hat die Form $f(x)=a \cdot x^2+b \cdot x+c$ Es gibt 3 unbekannte Variablen, also benötigst du 3 Punkte des Graphen z.B. $P1(-4,4)$,$P2(0,0)$ und $P3(4,4)$. Damit stellst du 3 Gleichungen auf und kannst diese nach den einzelnen Variablen auflösen.

Es gibt 2 Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen.

1. Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen -4 und 4. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
2. Du erstellst eine zweite Funktion $g(x)=4$, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Anschließend berechnest du das Integral von $g-f$ mit den Grenzen -4 und 4, also $\int_{-4}^{4} g-f$.

Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot

• zu a) $f(x)=(1/4) \cdot x^2$
• zu b) $A= \int_{-4}^{4} f(x)-g(x) dx = 21,33$ A: Die Querschnittsfläche des Kanals $21.33 m^2$
• zu c) $21.33 \cdot 2000 = 42660$ A: Es befinden sich $42660 m^3$ Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
• zu d) $7.54 \cdot 2000 = 15080$ , $\frac{15080}{42660} \approx 0.35349$ , Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.

Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgenden Funktionen auf dem Intervall $I=[-5;5]$. Zeichne zunächst die Funktion und dann die Stammfunktion auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.

a)

$f(x)=x^3+2x^2-3$

$F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x$

b)

$g(x)=x^6+3x^4-5x^3$

$G(x)=\frac{1}{7}x^7+\frac{3}{5}x^5-\frac{5}{4}x^4$

Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln

Ordne den Funktionen ihre passende Stammfunktion zu. Ermittel dabei die Stammfunktion auf einem Zettel und ordne anschließend richtig zu.

Aufgabe 8: Bakterienwachstum

Die Funktion $f(t)=-t^2+6t$ gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, $t$ in Stunden, $f(t)$ in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden.

• a) Wie lautet die Funktion $g(t)$, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt $t$ angibt?
• b) Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

Figur 1

a) $g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt$ $F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2$

b) $g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7; 28,7 \cdot 100=28700$

$g(6) = 38 \rightarrow 38 \cdot 100=38000$

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 und nach 6 Stunden 38000 Bakterien.

Knobelaufgaben

Aufgabe 9:CO₂-Gehalt in Teichen

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate z(t) über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben.

Zeit t in h	0	3	6	9	12	15	18	21	24
Änderungsrate z(t) in ME/h	0,0	-0,041	-0,037	-0,026	-0,009	0,046	0,031	0,019	0,006

a) Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

b) Berechne für jede der angegebenen Zeiten die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.

Berechne die Flächen unter den Intervallen $[0,3],[0,6],[0,9],[0,12],[0,15]$, etc...

c) Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?

d) Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

1. $\int_{0}^{12} z(t) dt$
2. $\int_{12}^{24} z(t) dt$
3. $\int_{0}^{24} z(t) dt$

a) Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.

b)

1. Für $t=0$: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
2. Für $t=3$: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall $[0.3]$. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:$A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME$ ≈ $2,54 ME$ (aufgerundet)
3. Für $t=6$: Wir betrachten die Fläche $A_2$ auf dem Intervall $[0,6]$. Den Flächeninhalt auf dem Intervall $[0,3]$ kennen wir bereits als $A_1$. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall $[3,6]$ besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: $A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}$ ≈ $2,42 ME$ (aufgerundet).
4. Für $t=9, 12, 15, 18, 21, 24$ mit dem gleichen Verfahren.

Zeit t in h	0	3	6	9	12	15	18	21	24
Gesamtmenge CO₂ in ME	2,6	2,54	2,42	2,33	2,28	2,33	2,45	2,53	2,57

c) Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).

d)

1. Die Fläche liegt unterhalb der 1.Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
2. Die Fläche liegt oberhalb der 1.Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
3. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.

Aufgabe 10: Smartphone Aufgabe

Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: $f(x)=-x^3+4,5*x^2+34x-50$

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).

Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird

• a) Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.
• b) In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?
• c) Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

Es ist also die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse für die jeweiligen Zeitabschnitte zu bestimmen. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann! Was würde es in diesem Fall bedeuten, wenn das Integral für einen bestimmten Abschnitt negativ ist?

Hier solltest du zunächst die Nullstellen der Funktion berechnen (beachte dabei, dass du die richtigen wählst, evtl. gibt es mehrere Nullstellen). Die x-Koordinaten der entsprechenden Nullstellen benötigst du als Grenzen für das zu berechnende Integral.

Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben (solltest du natürlich nach jeder Aufgabe machen), und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.

a)

1. $\int_{0}^{2} f(x) dx = -33,69$
2. $\int_{0}^{7} f(x) dx = 397,25$
3. $\int_{0}^{9} f(x) dx = 380,25$

b) $\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = 465,71$

c) Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.

Aufgabe 11: 100m-Sprint

Bei einem Sprint über 100m treten zwei Läufer gegeneinander an. Läufer A sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion $v_a(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})$. Läufer B sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion $v_b(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2$.

$t$ ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und $v(t)$ die Geschwindigkeit der Läufer in Meter pro Sekunde.

• a) Geben sie die Funktionen an, die die zurückgelegte Strecke zum Zeitpunkt $t$ angibt.
• b) Zeige, dass Läufer A ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.
• c) Bestimme den Wert von r so, dass der Läufer B nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.
• d) Wie viel Meter sind die beiden Läufer nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

a) $V_a(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})$

$V_b(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3$

b) $\int_{0}^{9,8} v_a(t) dt = 100$

$\Leftrightarrow V_a(9,8)-V_a(0)$

$=\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0})$

$\approx 110,006-10 \approx 100$

c) $\int_{0}^{9,69} v_b(t) dt=100$

$\Leftrightarrow V_b(9,69)-V_b(0)$

$=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3$

$\approx 116,28+303,28r-12 = 100$

$\Leftrightarrow r\approx -0,0141$

d) $\int_{0}^{5} v_a(t) dt -\int_{0}^{5} v_b(t) dt = \int_{0}^{5} v_a(t)-v_b(t) dt = -4,3$

Antwort: Die Läufer sind 4,3 m voneinander entfernt.

Aufgabe 12: Corona Virus

Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

$f(x) = \frac{1}{2}x^2$ (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitg kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3-5 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Die Wirkung des Medikaments lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

$g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9$

Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können.

a) Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne, nach wie vielen Tagen (x = a) alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Ergebnis auf drei Kommastellen runden).

b) Die Fläche zwischen dem Graphen und der x- Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

a)

Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:

$h(x) = \frac{1}{2}x^2$ , für 0 ≤x ≤ 3 und $h(x) = \frac{1}{2}x^2 + 6x -9$ , für 3 ≤ x≤ a.

Bestimme die NST des zweiten Funktionsterms für x>3:

$h(x) = 0$ ↔ $\frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0$ ↔ $x^2 -12x + 18 = 0$

Anwendung der p/q Formel:

$x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}$, $x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}$ ≈ 10,243

$x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}$, $x_2$ ≈ 1,757 < 3

Antwort: Nach etwa 10,243 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.

b)

$W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx$

Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:

$\int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}$

$\int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}$

$W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}$ ≈ 52,459

Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.