Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion

Einführung: Integral

Was ist ein Integral?

Die Fläche unter einem Graphen kann durch den gemeinsamen Grenzwert von Ober- und Untersummenfolgen bestimmt werden. Dies nennt man das Integral von $f$ über das Intervall $[a; b]$ und schreibt dafür $\int_{a}^{b} f(x) dx$.

Die Funktion $f$ heißt dann über $[a; b]$ integrierbar. Dabei ist $a$ die untere und $b$ die obere Integrationsgrenze und $f$ die Integrandfunktion.

Betrachtet man die Werte von Integralen in Abhängigkeit von einer festen unteren Grenze $a$ und einer variablen (anstelle einer festen) oberen Grenze $x$ und verwendet deshalb $t$ als Variable der Integrandfunktion $f$, so erhält man eine Integralfunktion $F_a(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt, x\in [a; b].$

$F_a$ ist also eine Funktion, die jedem $x \in [a; b]$ das Integral von $f$ über $[a; x]$ zuordnet. $x$ ist dabei die Funktionsvariable, in sie darf eingesetzt werden, während $t$ eine gebundene Variable ist, in die nicht eingesetzt werden darf.

Eine Funktion $F$ heißt Stammfunktion zur Funktion $f$, wenn gilt $F'(x) = f(x)$ für alle $x \in (a; b)$.

Rechnen mit Integralen

Übung 1

Welche der folgenden Rechenregeln sind richtig und welche falsch?

Additivität des Integrals:

1 $\int_{a}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx - \int_{b}^{c} f(x) dx$

	Wahr
	Falsch

2 $\int_{a}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx$

	Wahr
	Falsch

3 $\int_{a}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{a}^{c} f(x) dx$

	Wahr
	Falsch

Regel vom konstanten Faktor:

1 $\int_{a}^{b} c\cdot f(x) dx = c\cdot \int_{a}^{b} f(x) dx$

	Wahr
	Falsch

2 $\int_{a}^{b} c\cdot f(x) dx = c^2\cdot \int_{a}^{b} f(x) dx$

	Wahr
	Falsch

3 $\int_{a}^{b} c\cdot f(x) dx = c + \int_{a}^{b} f(x) dx$

	Wahr
	Falsch

Summenregel:

1 $\int_{a}^{b} ( f(x) + g(x) ) dx = \int_{a}^{\frac{b}{2}} f(x) dx + \int_{a}^{\frac{b}{2}} g(x) dx$

	Wahr
	Falsch

2 $\int_{a}^{b} ( f(x) + g(x) ) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{a}^{b} g(x) dx$

	Wahr
	Falsch

3 $\int_{a}^{b} ( f(x) + g(x) ) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{a} g(x) dx$

	Wahr
	Falsch

Differenzregel:

1 $\int_{a}^{b} ( f(x) - g(x) ) dx = \int_{a}^{\frac{b}{2}} f(x) dx - \int_{a}^{\frac{b}{2}} g(x) dx$

	Wahr
	Falsch

2 $\int_{a}^{b} ( f(x) - g(x) ) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{a}^{b} g(x) dx$

	Wahr
	Falsch

3 $\int_{a}^{b} ( f(x) - g(x) ) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx - \int_{a}^{b} g(x) dx$

	Wahr
	Falsch

Weitere wichtige Regeln:

1 $\int_{a}^{b} f(x) dx = -\int_{a}^{b} f(x) dx$

	Wahr
	Falsch

2 $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} \frac{1}{f(x)} dx$

	Wahr
	Falsch

3 $\int_{a}^{b} f(x) dx = -\int_{b}^{a} f(x) dx$

	Wahr
	Falsch

1 $\int_{a}^{b} f(x) dx$ ≤ $\int_{a}^{b} g(x) dx$, wenn $f(x)$ ≤ $g(x)$ für alle $x\in [a; b]$

	Wahr
	Falsch

2 $\int_{a}^{b} f(x) dx$ ≥ $\int_{a}^{b} g(x) dx$, wenn $f(x)$ ≤ $g(x)$ für alle $x\in [a; b]$

	Wahr
	Falsch

3 $\int_{a}^{b} f(x) dx$ ≤ $\int_{a}^{b} g(x) dx$, wenn $f(x)$ ≥ $g(x)$ für alle $x\in [a; b]$

	Wahr
	Falsch

1 $|\int_{a}^{b} f(x) dx| = \int_{a}^{b} f(x) dx$

	Wahr
	Falsch

2 $|\int_{a}^{b} f(x) dx|$ ≥ $\int_{a}^{b} |f(x)| dx$

	Wahr
	Falsch

3 $|\int_{a}^{b} f(x) dx|$ ≤ $\int_{a}^{b} |f(x)| dx$

	Wahr
	Falsch

1 $\int_{a}^{a} f(x) dx = 1$

	Wahr
	Falsch

2 $\int_{a}^{a} f(x) dx = 0$

	Wahr
	Falsch

3 $\int_{a}^{a} f(x) dx = \sqrt{f(x)}$

	Wahr
	Falsch

Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen

Der Mittelwert einer Funktion lässt sich über das Integral bestimmen.

Bezeichnen wir mit f eine Funktion. Der Mittelwert einer Funktion f lässt sich auf dem Intervall $[a; b]$ berechnen. Hierzu benötigst du folgende Formel: $M= \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx$

Beispiel

Ein Auto beschleunigt 40 Sekunden lang. Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $f(t)= \frac{5}{4} * t$, wobei t in Sekunden und die Funktion f(t) in m/s angegeben wird. Wie groß ist die Durchschnittsgeschwindigkeit?

Vorgehen zur Bearbeitung der Testaufgabe

1. Benutzung der Formel: $M= \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx$
2. Einsetzen der Gegebenheiten in die Formel: $M= \frac{1}{40-0} \int_{40}^{0} \frac{5}{4} * t \,dt$
3. Ausrechnen: $M= \frac{1}{40-0} \int_{40}^{0} \frac{5}{4} * t \,dt= \frac{1}{30} * [\frac{5}{8} * t^2]_{40}^{0}=\frac{1}{40} * \frac{1}{40} * 40^2 = 25$
4. Antwortsatz formulieren: Die Durchschnittsgeschwindigkeit betrug beim Auto 25 m/s.

Aufgaben zum Berechnen von Mittelwerten

Löse die Textaufgaben.

1. Berechne eine Zahl b so, dass die Funktion $f(x)= - \frac{1}{2} * x^2 - x + \frac{3}{2}$ den Wert $11$ als Mittelwert annimmt.

2. a) Zeichne das Bild der Funktion f mit $f(x) = \frac{4}{x}$ für $1 \leq \ x, x \geq \ 4$ b)Begründe, dass es zu f eine Integralfunktion $F_1$ gibt.

c) Bestimme F_1(4) näherungsweise, indem du den Mittelwert bestimmst.

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Die Verbindung zwischen Integralen und Differentialen

Der Hauptsatz beschreibt, wie sich Ableitung und Integration umkehren lassen. Durch ihn lassen sich beispielsweise Integrale leichter ausrechnen. Der Hauptsatz besteht aus zwei Teilen, die es zu unterscheiden gilt.

Der erste Teil des Hauptsatzes

Wenn f eine stetige Funktion auf dem Intervall $[a; b]$ ist, so gilt für jede Stammfunktion F auf dem Intervall $[a; b]$ die Formel: $\int_{a}^{b} f(x)\, dx = F(b) - F(a)$, wobei $F'(x) = f(x)$ ist. Mit dieser Variante lässt sich auch die Stammfunktion F (re-)konstruieren, wenn du deren Ableitung und einen Anfangswert a kennst. Dies kannst du mit dieser Formel machen: $F(x) = F(a) + F(x) - F(a) = F(a) + \int_{a}^{x} f(t)\, dt$

Beispiel

Gegeben ist die Funktion $f(x) = x^3 - 6 * x + 11\frac{3}{4} * x - 5\frac{1}{2}$ auf dem Intervall $[1; 3]$ 1 Schritt: Ermittle das unbestimmte Integral, also die Stammfunktion F: $F(x) = \int x^3 - 6x^2 +11\frac{3}{4}x - 5\frac{1}{2} = \frac{1}{4}x^4 - 2x^3 + 5\frac{7}{8}x^2 - 5\frac{1}{2}x + C$ 2 Schritt: Berechne F(a) und F(b) durch Einsetzen der unteren bzw. oberen Intervallgrenzen in F(x): $F(1) = \frac{1}{4} * 1^4 - 2 * 1^3 + 5\frac{7}{8} * 1^2 - 5\frac{1}{2} * 1 + C = - 1\frac{3}{8} + C$ $F(3) = 2\frac{5}{8} + C$ 3 Schritt: Bilde die Differenz $F(b-F(a)$: $F(3) - F(1) = 2\frac{5}{8} + C - (- 1\frac{3}{8} + C) = 4$

Der zweite Teil des Hauptsatzes

Die zweite Variante des Hauptsatzes ist sozusagen die Umkehrung der ersten Variante. Nun gehen wir vom Integral, also der Stammfunktion F aus und bestimmen f(x). Hierbei gilt:

$f(x) = F'(x) = F'(F(a) + \int_{a}^{x} f(t)\, dt = F'(a) + F'(\int_{a}^{x} f(t)\, dt) = F'(\int_{a}^{x} f(t)\, dt) = F'( F(x) - F(a))$

Aufgaben zur Mittelwertsberechnung und dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Löse die Textaufgaben.

Die Abbildung zeigt das Schaubild der Funktion f mit $f(x) = \frac{3}{4}x^3 - 2x^2 + 2x + 1$ a) Ermittle einen Näherungswert für $\int_{3}^{-1} f(x)\, dx$, indem du den Mittelwert der Ober- und Untersumme für 8 gleich lange Teilintervalle Berechnen. Schätze dazu die orientierten Rechtecksinhalte. b) Berechne einen Näherungswert für $\int_{3}^{-1} f(x)\, dx$.

c) Welchen exakten Wert für das Integral erhältst du mithilfe des Hauptsatzes?

Partielle Integration

Partielle Integration

Die partielle Integration ist eine Methode, die die Integration von Produkten zweier Funktionen ermöglicht. Sie beruht auf der Produktregel und wird daher auch Produktintegration genannt. Dabei ist es von Vorteil, wenn die eine Funktion leicht abzuleiten und die andere leicht zu integrieren ist.

Allgemein definiert man die Formel der partiellen Integration so:$\int f'(x)*g(x)\,dx = [f(x) * g(x)] - \int f(x)*g'(x)\,dx$

Dabei ist $\int f'(x)*g(x)\,dx$ das ursprüngliche Integral.

$f'(x)$ ist die leicht zu integrierende Funktion.

$g(x)$ ist die leicht abzuleitende Funktion.

Beispiel

Die Beispielfunktion lautet: $h(x) = e^x * x$

$e^x$ lässt sich leicht integrieren. Also $f(x)=e^x$ und $f'(x)=e^x$

$x$ lässt sich leicht ableiten. Also $g(x)=x$ und $g'(x)=1$

Nun müssen unsere Funktionen und deren Ableitungen in die oben genannte Formel eingesetzt werden: $\int f'(x)*g(x)\,dx = [f(x) * g(x)] - \int f(x)*g'(x)\,dx$ $\int e^x*x\,dx = [e^x * x] - \int e^x*1\,dx = [e^x * x] - [e^x] = e^x * (x-1)$

Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von $h(x) = e^x * x$ lautet somit:$H(x) = e^x * (x-1)$

Integration durch Substitution

Integration durch Substitution

Die Integration durch Substitution ist eine weitere Methode der Integration, welche auf der Kettenregel beruht. Dabei muss eine Verknüpfung zweier Funktionen innerhalb dieses Integrals vorhanden sein. Allgemein wird ihre Formel folgendermaßen definiert:$\int_a^b f(g(x))*g'(x)\, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(z)\, dx$

Vorgehen

1. Zunächst wird die innere Funktion $g(x)$ dieser verknüpften Funktion durch eine Variable z ersetzt. Also $z = g(x)$
2. Die Gleichung wird nach x abgeleitet. Also $z = g(x) \Longrightarrow dz = g'(x) dx$
3. und dann nach dx umgeformt: $dz = g'(x) dx \Longrightarrow dx = \frac{dz}{g'(x)}$
4. Falls im Integral die Grenzen a und b angegeben wurden, müssen diese durch Einsetzen in die Gleichung $g(x)$ angepasst werden: $a \longrightarrow g(a)$ neue untere Grenze $b \longrightarrow g(b)$ neue obere Grenze
5. Die nach dx umgeformte Gleichung und die neuen Grenzen werden nun in das Integral eingesetzt.
6. Nun folgt das normale Integrationsverfahren.
7. Resubstitution: Zuletzt wird für z wieder die Funktion $g(x)$ eingesetzt.

Beispiel

Die zu integrierende Funktion lautet: $h(x)=e^{2x}$

Zu bestimmen: $H(x) = \int_a^b e^{2x}\, dx$

1. Die innere Funktion ist $g(x) = 2x = z$
2. Ableitung der Funktion: $g'(x)=2 *dx=dz$
3. Umformen nach dx: $2*dx= dz \Longrightarrow dx = \frac{dz}{2}$
4. Anpassung der alten Grenzen $a \longrightarrow g(a)$ $b \longrightarrow g(b)$
5. Einsetzen in das Integral: $\int_{g(a)}^{g(b)} e^z\, \frac{dz}{2} = \frac{1}{2} * \int_{g(a)}^{g(b)} e^z\, dz$
6. Integration: $\frac{1}{2} * \int_{g(a)}^{g(b)} e^z\, dz = \frac{1}{2} \left[e^z\right]^{g(b)}_{g(a)}$
7. Die Funktion $g(x)$ für die Variable $z$ ersetzen: $\frac{1}{2} \left[e^z\right]^{g(b)}_{g(a)} = \frac{1}{2} \left[e^{2x}\right]^{g(b)}_{g(a)}$

Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von $h(x)=e^{2x}$ lautet: $H(x) = \frac{1}{2} * e^{2x}$

Aufgaben zur partiellen Integration und Integration durch Substitution

Übung 1: Integration von komplexeren Funktionen

Wie lautet die Stammfunktion dieser Funktionen?

a) $f(x) = x*sin(2x)$

Nutze die partielle Integration

Setze die leicht abzuleitende Funktion $g(x)=x$ und die leicht zu integrierende Funktion $f'(x)=sin(2x)$

$F(x)= \frac{sin(2x)}{4} - \frac{x*cos(2x)}{2} + C$

b) $f(x)=x*e^{x^2}$

Nutze die Integration durch Substitution

Setze die innerer Funktion $g(x)=x^2 = z$ und leite sie nach x ab

$\int x*e^z\, \frac{dz}{2x} = \int \frac{e^z}{2}\, dz = \frac{1}{2} \int e^z\, dz$

$F(x)= \frac{e^{x^2}}{2} + C$

c) $f(x)= \frac{e^x}{a-e^x}$

Nutze die Integration durch Substitution

Setze die innerer Funktion $g(x)= a-e^x = z$ und leite sie nach x ab

$F(x)= - ln(|a-e^x|) + C$

weiterführende Aufgaben: Flächeninhalte von Integralen

Textaufgabe: Zahn-Logo für eine Praxis

Skizze des Zahn-Logos

In einer Zahnarztpraxis soll ein neues Logo entworfen werden. Dazu wurde die nebenstehende Zeichnung angefertigt, welche durch die Funktionen $f(x)=- \frac{x^2}{2} + 2$ und $g(x)= x^4- \frac{15}{4} * x^2 - 1$ das Zahnlogo bildet. Dabei entspricht eine Längeneinheit in dem Graphen 1 cm. Nun soll dieses Logo mit einer Dicke von 1 mm aus Silber ($1 cm^2$ Silber wiegt 10,5 g) produziert werden. Wie schwer wird das Logo dann werden?

Zuerst muss die Fläche des Logos berechnet werden. Dazu wird dieses Integral genötigt: $\int_{-2}^2 f(x) + g(x)\, dx$

Hast du daran gedacht, alle Einheiten einheitlich anzupassen? Die Dicke von 1 mm muss auf jeden Fall noch in cm umgerechnet werden.

Wenn du die Fläche des Logos $A_{Logo}$ wie in Tipp 1 berechnet hast, kannst du das $V_{Logo}$ nun durch das Produkt von $A_{Logo}$ und der Dicke (beachte Tipp 2!) berechnen

$A_{Logo} = 3,2 cm^2$

$V_{Logo}= A_{Logo} * Dicke_{Logo} = 3,2 {cm}^2 * 0,1 cm = 0,32 {cm}^3$

$V_{Logo}*Gewicht_{Silber}= 0,32 [{cm}^3] * 10,5 [g] = 3,36 [g]$

Das fertige Logo aus Silber wiegt 3,36 g.

Rotationskörper (Zusatz nur für LKs*)

Rotationskörper und Raumintegrale

Lässt man den Graphen einer Funktion um die x-Achse rotieren, so entsteht ein sogenannter Rotationskörper. Für seinen Rauminhalt gilt $V_{rot} = \pi \int_{a}^{b} ( f(x) )^2 dx$.

Beispiel

Als Beispiel betrachten wird das Volumen einer Kugel mit Radius $r$, die durch die Rotation des Graphen der Funktion $f$ mit $f(x) = \sqrt{r^2-x^2}$ im Intervall $[-r; r]$ um die $x$-Achse entsteht. Mit der Formel für den Rotationskörper erhält man nun das Volumen der Kugel: $V = \pi\int_{-r}^{r}(r^2-x^2) dx = \left[\pi(r^2\cdot x - \frac{1}{3}x^3)\right]_{-r}^{r} = \frac{4}{3}\pi\cdot r^3$

Aufgaben

Übungsaufgabe 1: Rotationskörper und Raumintegrale

Funktionsgraph von $f(x)$

Gegeben sei die Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{7}{1+x}, x \in\mathbb{R}_+$. Die Fläche von f rotiere um die $x$-Achse.

Berechne den Inhalt des entstehenden Drehkörpers:

a) im Intervall $[0; a]$

b) im Intervall $[0; 6]$

Nutze die Formel zur Inhaltsberechnung von Rotationskörpern $V_{rot} = \pi \int_{a}^{b} ( f(x) )^2 dx$ und setze die Funktion $f(x)$ sowie die Grenzen $0$ und $a$ ein.

a) $V_{rot}= \pi \int_{a}^{b} ( f(x) )^2 dx = \pi \int_{0}^{a} ( \frac{7}{1+x} )^2 dx = \pi \int_{0}^{a} \frac{49}{(1+x)^2} dx = 49\pi \int_{0}^{a} (1+x)^{-2} dx = 49\pi \left[ -(1+x)^{-1} \right]_{0}^{a} = -\frac{49\pi}{1+a} + \frac{49\pi}{1} = 49\pi - \frac{49\pi}{1+a}$.

b) Für das Intervall $[0; 6]$ gilt dann nach Aufgabenteil a): $V_{rot} = 49\pi - \frac{49\pi}{1+6} = 49\pi - 7\pi = 42\pi$.

Übungsaufgabe 2: Rotationskörper und Raumintegrale

Funktionsgraphen von $g(x)$ (orange) und $h(x)$ (lila)

Sei eine Funktion $g$ gegeben mit $g(x) = \frac{1}{6} x^2 + 1, x\in\mathbb{R}$ sowie die Funktion $h$ mit $h(x) = -\frac{1}{3} x + 5, x\in\mathbb{R}$.

Die Graphen von $g$ und $h$ begrenzen mit der $y$-Achse eine Fläche.

Berechne den Inhalt des Körpers, der entsteht, wenn diese Fläche um die $x$-Achse rotiert.

Überlege dir, wie die Formel aussieht, die du zur Berechnung des Inhalts zwischen zwei Funktionen nutzen musst.

Die Formel zur Inhaltsberechnung lautet: $V_{rot} = \pi \int_{0}^{b} ( h(x) )^2 dx - \pi \int_{0}^{b} ( g(x) )^2 dx$, wobei $b$ der Schnittpunkt von $h(x)$ und $g(x)$ ist. Berechne also zunächst den Schnittpunkt.

Der Schnittpunkt von $h(x)$ und $g(x)$ ist $\frac{11}{3}$. Setze dies nun als obere Grenze in deine Formel (siehe Tipp 2) ein und berechne die Integrale. Nutze dafür die Substitution sowie dein Wissen über Potenzregeln und Linearität.

1. Schnittpunkt berechnen:

$g(x) = h(x) \Leftrightarrow \frac{1}{6} x^2 + 1 = -\frac{1}{3} x + 5 \Leftrightarrow \frac{1}{6} x^2 + \frac{1}{3} x - 4 = 0 \Leftrightarrow x^2 + 2x - 24 = 0 \Leftrightarrow x_{1,2} = -1 \pm \sqrt{1^2+24} = -1 \pm 5 \Rightarrow x_1 = 4, x_2 = -6$ Für uns interessant ist nur der Wert im positiven $x$-Bereich, da die Fläche links von der $y$-Achse laut Aufgabenstellung nicht betrachtet wird.

Setze $x_1 = 4$ in $h(x)$ oder $g(x)$ ein. Dann folgt bspw. für $h(x)$: $h(4) = -\frac{1}{3} \cdot 4 + 5 = \frac{11}{3}$

2. Integrale berechnen:

$V_{rot} = \pi \int_{0}^{b} ( h(x) )^2 dx - \pi \int_{0}^{b} ( g(x) )^2 dx = V_{rot} = \pi \int_{0}^{\frac{11}{3}} ( -\frac{1}{3} x + 5 )^2 dx - \pi \int_{0}^{\frac{11}{3}} ( \frac{1}{6} x^2 + 1 )^2 dx = \pi \int_{0}^{\frac{11}{3}} ( 5 -\frac{x}{3} )^2 dx - \pi \int_{0}^{\frac{11}{3}} ( \frac{x^4}{36} + \frac{x^2}{3} + 1 ) dx$

$\rightarrow$ Substituiere $u = 5 - \frac{x}{3} \Rightarrow \frac{du}{dx} = -\frac{1}{3} \rightarrow -3\pi\int u^2 du$

Nun muss die Potenzregel angewendet und resubstitutiert werden. Im zweiten Term kann zudem die Linearität des Integrals ausgenutzt werden. Insgesamt gilt dann:

$V_{rot} = \left[ \frac{(x-15)^3}{27} \right]_{0}^{\frac{11}{3}} - \left[ \frac{x^5+20x^3}{180}+x \right]_{0}^{\frac{11}{3}} \approx 58,26$