Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Steckbriefaufgaben

Anwendungsaufgaben

Arbeitsmethode

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Im Januar befällt ein neuartiges Virus Deutschland. Mittlerweile ist es Oktober und du suchst im Internet nach Informationen über die Infektionszahlen. Dort triffst du auf folgende Informationen:

• Im Dezember des Vorjahres befinden sich noch keine infizierten Personen in Deutschland
• Im April leben 2.000.000 infizierte Personen in Deutschland
• Im August leben 4.000.000 infizierte Personen in Deutschland
• Durch entsprechende Maßnahmen ist die Zahl infizierter Personen ab August rückläufig

a)

Stelle alle relevanten Informationen in einem geeigneten Koordinatensystem graphisch dar und skizziere einen möglichen Graphen. Beachte hierbei die geeignete Wahl der Einheiten.

Kann man den Monaten Zahlen zuweisen, um sie entlang einer Achse anzuordnen? Welche Einheit ist für die Anzahl infizierter Personen geeignet?

Der Graph hat bei entsprechender Wahl der Einheiten eine Nullstelle bei $t = 0$, er verläuft durch den Punkt $(4 | 2)$ und hat den Hochpunkt $(8 | 4)$

Unterer Graph ist nur eine Möglichkeit einer ungefähren Modellierung der Virusinfektion!

b)

Die Anzahl infizierter Personen lässt sich durch eine kubische Funktion der Form $f(t) = at^3 + bt^2 + ct + d$ beschreiben. Stelle die Gleichung von $f$ auf.

Um die vier Unbekannten $a$,$b$,$c$ und $d$ eindeutig zu bestimmen, benötigst du vier Bedingungen aus den Informationen. Nutze dafür Teilaufgabe a).

$f(0) = 0$, $f(4) = 2$, $f(8)=4$, $f'(8)=0$

$f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2)$

$\begin{array}{rlll} f(t) &=& at^3 + bt^2 + ct + d \\ f'(t) &=& 3at^2 + 2bt + c \\ \end{array}$



$\begin{array}{rlll} &&f(0) &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& a \cdot 0^3 + b \cdot 0^2 + c \cdot 0 + d &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& d &=& 0 \\ \end{array}$



$\Rightarrow f(t) = at^3 + bt^2 + ct$



$\begin{array}{rlll} &&f(4) &=& 2 \\ &\Leftrightarrow& a \cdot 4^3 + b \cdot 4^2 + c \cdot 4 &=& 2 \\ &\Leftrightarrow& 64a + 16b + 4c &=& 2 \\ \end{array}$



$\begin{array}{rlll} &&f(8) &=& 4 \\ &\Leftrightarrow& a \cdot 8^3 + b \cdot 8^2 + c \cdot 8 &=& 4 \\ &\Leftrightarrow& 512a + 64b + 8c &=& 4 \\ \end{array}$



$\begin{array}{rlll} &&f'(8) &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& 3a \cdot 8^2 + 2b \cdot 8 + c &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& 192a + 16b + c &=& 0 \\ \end{array}$





Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{rlll} &I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\ &II\quad& &512a& + &64b& + &8c& &=& &4& \\ &III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\ \end{array}$

Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem Gauß-Verfahren:

$II - 8 \cdot I$

$\begin{array}{rlll} &I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\ &II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\ &III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\ \end{array}$



$III - 3 \cdot I$

$\begin{array}{rlll} &I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\ &II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\ &III\quad& && - &32b& - &11c& &=& &-6& \\ \end{array}$



$III - \frac{1}{2} \cdot II$

$\begin{array}{rlll} &I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\ &II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\ &III\quad& && && &21c& &=& &0& \\ \end{array}$



Gleichung $III$ liefert uns nun

$\begin{array}{rlll} &III\quad&&& 21c &=& 0 &\mid : 21 \\ &&&\Rightarrow& c &=& 0 \\ \end{array}$

Setzen wir $c = 0$ in Gleichung $II$ ein, erhalten wir

$\begin{array}{rlll} &II\quad&&& -64b + 24c &=& -12 &\mid c = 0 \, \textrm{einsetzen} \\ &&&\Rightarrow& -64b + 24 \cdot 0 &=& -12 \\ &&&\Rightarrow& -64b &=& -12 &\mid : (-64) \\ &&&\Rightarrow& b &=& \frac{3}{16} \\ \end{array}$

Setzen wir $c = 0$ und $b = \frac{3}{16}$ in Gleichung $I$ ein, erhalten wir

$\begin{array}{rlll} &I\quad&&& 64a + 16b + 4c &=& 2 &\mid c = 0 \, \textrm{und} \, b = \frac{3}{16} \, \textrm{einsetzen}\\ &&&\Rightarrow& 64a + 16 \cdot \frac{3}{16} + 4 \cdot 0 &=& 2 \\ &&&\Rightarrow& 64a + 3 &=& 2 &\mid -3 \\ &&&\Rightarrow& 64a &=& -1 &\mid : 64 \\ &&&\Rightarrow& a &=& -\frac{1}{64} \\ \end{array}$



und damit insgesamt

$f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2)$

c)

Forscher gehen nun (im Oktober) davon aus, dass noch im selben Jahr alle jemals infizierten Personen in Deutschland geheilt sind und entsprechend keine Fälle mehr in Deutschland auftreten. Prüfe diese Vorhersage anhand der Informationen.

Zu den Zeitpunkten, zu denen keine infizierten Personen in Deutschland leben, hat der Graph seine Nullstellen.

Gleichungen, die nur Summanden mit der Variable $t$ enthalten, lassen sich durch Faktorisieren lösen .

$f$ hat Nullstellen bei $t_{1} = 0$ und $t_{2} = 12$. Im Dezember treten also keine infizierten Fälle mehr in Deutschland auf, sodass alle jemals infizierten Personen in Deutschland noch im selben Jahr geheilt sind. Die Vorhersage ist demnach richtig.

$\begin{array}{rlll} &&f(t) &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2) &=& 0 &\mid :\frac{1}{64} \\ &\Leftrightarrow& -t^3 + 12t^2 &=& 0 &\mid \textrm{Faktorisieren} \\ &\Leftrightarrow& t^2 (-t + 12) &=& 0 \\ &\Rightarrow& t^2 = 0 & \textrm{und}& && -t + 12 &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& t_{1} = 0 & \textrm{und}& && t_{2} &=& 12 \\ \end{array}$

d)

Forscher behaupten weiterhin, dass die milden Temperaturen im Frühling dafür sorgen, dass sich der temperaturempfindliche Virus optimal ausbreiten kann und deshalb die stärkste Zunahme infizierter Personen im Frühling nachzuweisen ist. Prüfe diese Behauptung anhand der Informationen.

Der Wendepunkt ist der Punkt der stärksten Zunahme (oder stärksten Abnahme) des Funktionsgraphen, der an dieser Stelle sein Krümmungsverhalten ändert.

$\begin{array}{rlll} &\textrm{notwendige} \, \textrm{Bedingung:}& f''(t) &=& 0 \\ &\textrm{hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}& f'''(t) &\neq& 0 \\ \end{array}$

Der Graph der Funktion $f$ hat einen Wendepunkt bei $t = 4$. Die stärkste Zunahme infizierter Personen ist also im April (bzw. im Frühling) nachzuweisen. Die Behauptung ist demnach richtig.

$\begin{array}{rlll} f(t) &=& -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 \\ f'(t) &=& -\frac{3}{64} t^2 + \frac{3}{8} t \\ f''(t) &=& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} \\ f'''(t) &=& -\frac{3}{32} \\ \end{array}$

$\begin{array}{rlll} \textrm{Notwendige} \, \textrm{Bedingung:} && f''(t) &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} &=& 0 &\mid +\frac{3}{32} t\\ &\Leftrightarrow& \frac{3}{32} t &=& \frac{3}{8} &\mid :\frac{3}{32} \\ &\Leftrightarrow& t &=& 4 \\ \end{array}$

$\begin{array}{rlll} \textrm{Hinreichende} \, \textrm{Bedingung:} &&f''(4) &=& 0 &&\textrm{und} \\ &&f'''(4) &=& -\frac{3}{32} &\neq& 0 \end{array}$

e)

Skizziere nun den Graphen von $f$ anhand der Informationen und vergleiche ihn mit dem Graphen aus Teilaufgabe a). Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet?

Da die Funktionswerte von $f$ für $t > 12$ negativ sind, ist der Graph nur für $0 \leq t \leq 12$ als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet.

Arbeitsmethode