Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Lineare Funktionen

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In diesem Lernpfad kannst du dein Wissen über lineare Funktionen anwenden und erweitern und dein Verständnis vertiefen. Das Kapitel behandelt die Zusammenhänge zwischen linearen Funktionen, ihren Funktionsgleichungen, ihren Funktionsgraphen und darauf liegenden Punkten.

In Aufgaben, die gelb gefärbt sind, kannst du Gelerntes wiederholen und vertiefen.

Aufgaben in blauer Farbe sind Forderaufgaben.

Und Aufgaben mit grüner Hinterlegung sind besonders anspruchsvolle Knobelaufgaben.

Das Kapitel beginnt mit einem kurzen Lückentext zur Wiederholung und endet mit drei Anwendungsaufgaben.

Eine lineare Gleichung einer Geraden zuordnen

Aufgabe 6a): Funktionen zeichnen

Zeichne die folgenden drei Funktionen alle in ein Koordinatensystem. Überlege dir vorher, wie groß das Koordinatensystem für diese Funktionen sein muss, damit man jeden Schnitt zwischen jeweils zwei Geraden erkennt.

a) $f(x) = 4x + 1$

b) $g(x) = 0,5x - 2,5$

c) $h(x) = -3x + 1$

Für $f(x) = mx + n$ ist $n$ der $y$-Achsenabschnitt und $m$ die Steigung.

Aufgabe 6b): Finde Paare

Ordne den gegebenen linearen Gleichungen die zugehörige Gerade zu. Beachte: Nicht zu jeder Gleichung ist eine Gerade gegeben.

Nicht vergessen: Für $f(x) = mx + n$ ist $n$ der $y$-Achsenabschnitt und $m$ die Steigung. Vielleicht erkennst du alleine anhand des $y$-Achsenabschnitts schon einige der Funktionen?

Den Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen

Aufgabe 7: Bestimme den Schnittpunkt

Zeichne zunächst beide Graphen in ein Koordinatensystem in dein Heft. Bestimme anschließend den x-Wert des Schnittpunktes der beiden Geraden.

Um die Geraden zu zeichnen, betrachte zunächst den y-Achsenabschnitt. Falls du dir unsicher bist, was der y-Achsenabschnitt ist, scrolle hoch zum Lückentext in Aufgabe 1.

Anschließend betrachte die Steigung der Geraden. Zeichne ein Steigungsdreieck (Hilfe im Lückentext in Aufgabe 1) und zeichne die Gerade mit Hilfe der Steigung und des y-Achsenabschnitts.

Um die Koordinaten des Schnittpunktes zu bestimmten, setzte die beiden Geraden gleich und löse dann nach x auf.

a) Gegeben sind die beiden Geraden $f(x)=2x+4$ und $g(x)=3x$.

Der Schnittpunkt liegt bei x= 4

b) Gegeben sind die beiden Geraden $f(x)=4x-5$ und $g(x)=-3x+9$.

Der Schnittpunkt liegt bei x= 2

c) Gegeben sind die beiden Geraden $f(x)= \frac{3}{2}x-3$ und $g(x)= \frac{1}{2}x+17$.

Der Schnittpunkt liegt bei x= 20

Textaufgabe: Schulbus

Aufgabe 10: Schulbus

Nach der Schule verpasst Isolde den Bus und müsste nun den Weg von 11km nach Hause laufen. Sie ruft ihre Mutter an und bittet sie, sie abzuholen. Ihre Mutter fährt ihr auf der Landstraße mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 72 km/h entgegen. Isolde geht ihrer Mutter entgegen und geht dabei durchschnittlich 75m pro Minute. Beide machen sich gleichzeitig nach dem Telefonat auf den Weg.

a) Stelle eine Funktionsvorschrift für Isoldes Entfernung von zu Hause und eine Funktionsvorschrift für die Entfernung der Mutter von zu Hause in Abhängigkeit von der Zeit auf.

Lineare Funktionen haben immer die Form $f(x)= mx + n$. Hierbei ist $m$ die Steigung und $n$ der $y$-Achsenabschnitt. Welche Informationen aus der Aufgabe entsprechen welchen Eigenschaften der gesuchten Funktionen?

Achte auch darauf, dass die Funktionen die Entfernung in der gleichen Einheit angeben und auch für die Zeit beide die gleiche Einheit verwenden sollten. Das erleichtert das spätere Rechnen mit den Funktionen.

Wir geben die Zeit in Minuten und die Entfernung in Metern an. Die Funktion $f(x)=ax+b$ soll Isoldes Entfernung von zu Hause und die Funktion $g(x)=cx+d$ die Entfernung der Mutter von zu Hause beschreiben.
Isolde ist zu Beginn 11km, also 11000m von zu Hause entfernt. Der y-Achsenabschnitt von f ist demnach a=11000. Isolde legt pro Minute 75m zurück. Dabei entfernt sie sich nicht von zu Hause, sondern nähert sich. Die Steigung b ist deshalb negativ und beträgt -75. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift $f(x)=-75x+11000$.
Die Mutter startet zu Hause, der y-Achsenabschnitt d von g(x) ist also gleich 0. Sie fährt mit einer Geschwindigkeit von 72km/h, was 1200m pro Minute entspricht. Damit entfernt sie sich von zu Hause, die Steigung d ist deshalb positiv und beträgt 1200. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift $g(x)=1200x$.

b) Berechne, wie lange es dauert, bis die beiden sich treffen.

Welchem Punkt der Funktionsgraphen von f und g entspricht dem Treffpunkt der beiden Funktionen? Wie berechnet man diesen Punkt?

Erinnere dich daran, dass die x-Achse die Zeit angibt, die verstrichen ist, seitdem Isolde losgegangen ist. Die y-Achse gibt den Abstand an, den die Mutter ihrer Tochter bereits entgegen gefahren ist. Dieser Abstand verringert sich dadurch, dass Isolde ihrer Mutter entgegengeht, somit hat die Funktion von Isolde eine negative Steigung. Der Schnittpunkt beider Funktionsgraphen gibt auf dem x-Wert an, wann sich die beiden treffen. Wir setzen die Funktionsvorschriften gleich, um den x-Wert des Schnittpunktes zu bestimmen.
$\begin{align} -75x+11000 & = 1200x \quad | +75x \\ 11000 & = 1275x \quad | : 1275 \\ \frac{440}{51} & = x \approx 8,6\end{align}$.

Es dauert ungefähr 9 Minuten, bis die beiden sich treffen.