Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Quadratische Funktionen

Aus ZUM Projektwiki
Info

In diesem Lernpfad geht es darum, dein Wissen im Bereich quadratischer Funktionen zu vertiefen.

Dazu werden dir Informationen und Aufgaben zur Scheitelpunktform, der Umwandlung zwischen Scheitelpunktform und Normalform sowie zur Berechnung von Nullstellen bereitgestellt. Zum Schluss erwartet dich noch eine Anwendungsaufgabe, in welcher du die zuvor gelernten Inhalte testen kannst.

In diesem Lernpfad findest du Aufgaben mit einem *. Bei diesen handelt es sich um Forderaufgaben. Aufgaben mit ** sind anspruchsvolle Knobelaufgaben. Hat eine Aufgabe kein *, dann ist die Aufgabe zur Wiederholung und Vertiefung der Inhalte geeignet.

Scheitelpunktform

1. Parameter der Scheitelpunktform
Fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die passenden Silben einfügst.

Wir schauen uns die Funktion an. Funktionen dieser Art heißen Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine . Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt . Liegt die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vor, wie es hier der Fall ist, dann kann der Scheitelpunkt S direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Der Parameter d ist die -Koordinate und der Parameter e ist die -Koordinate des Scheitelpunkts. S(d,e).
Ist der Parameter a kleiner als Null (a<0), dann ist der Graph der Funktion g nach geöffnet.
Ist a größer als Null (a>0), dann ist der Graph von g nach geöffnet.
Ist a größer als Eins (a>1) oder kleiner als minus Eins (a<-1), dann sieht der Graph von g aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph wird.
Liegt a zwischen minus Eins und Eins (-1<a<1), dann sieht der Graph von g aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph wird.

Ist d größer als Null (d>0), dann wird der Graph von g nach verschoben.
Ist d kleiner als Null (d<0), dann wird der Graph von g nach verschoben.

Ist e kleiner als Null (e<0), dann wird der Graph von g nach verschoben.
Ist e größer als Null (e>0), dann wird der Graph von g nach verschoben.

oraelerschmaxgepunktunrechtstendraterPaquagebenunstauchtotischbreiScheilinkstelstrecktbelbenyten


2.WANTED! Welche Punkte gehören nicht zu der Funktion f?

Gegeben seien die Funktion und die Punkte und .

a) Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte A, B, C, D und E auf dem Graphen von f liegen.

b) Zeichne den Graphen der Funktion f und die Punkte A-E in dein Heft. Vergleiche anschließend die Ergebnisse aus a) mit deiner Zeichnung


{{Box| 3. Welcher Graph hat mit welcher Funktionsgleichung ein Match?| Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den zugehörigen Graphen zu.</nowiki>
Hinweis: Du kannst das Bild der Funktionsgraphen vergrößern, indem du mit der Maus auf diese klickst.




4. Aus dem Graphen eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform aufstellen


Stell die zugehörigen Funktionsgleichungen in Scheitelpunktsform auf. Wähle im Anschluss die richtige Lösung aus.





5. Steinwurf

Jonas wirft einen Stein vom Ufer in einen See. Die Flugbahn des Steins lässt sich mit der quadratischen Funktion Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle -\frac{1}{10}\cdot(x-1)^2+\frac{5}{2 } beschreiben.

a) Wann erreicht der Stein seinen höchsten Punkt?

b)Zeichne die Flugbahn des Steins.

c) Wie weit fliegt der Stein?*



Umwandlung Scheitelpunktform und Normalform

Bisher hast du dich intensiv mit der Scheitelpunktform beschäftigt. In diesem Abschnitt wirst du auch mit der Normalform einer quadratischen Funktion arbeiten. Dafür benötigst du die ersten beiden Binomischen Formeln. In dem folgenden Merksatz sind diese dargestellt. Falls du bei den nachfolgenden Aufgaben Schwierigkeiten bei der Umwandlung der Binomischen Formeln hast, dann scroll bis zu diesem Merksatz hoch und schau ihn dir nochmal an.

Die ersten beiden Binomischen Formeln

1. Binomische Formel:

2. Binomische Formel:



5. Die Umwandlungen zwischen Scheitelpunktform und Normalenform

Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.



6. Wie ging noch einmal quadratische Ergänzung?


Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.




7. Finde die Paare*

Wandle in deinem Heft die Funktionen f und g in die Normalform um und die Funktionen i und j in die Scheitelpunktform. Ordne anschließend die gleichen Funktionen einander zu.
Hinweis: Es bleiben am Ende drei Funktionsgleichungen übrig.





8. Würdest du bei der Umwandlung zwischen der Scheitelpunktform und der Normalform auch Millionär werden?**

Wähle die Antwortmöglichkeit A,B,C oder D, welche die angefangene Gleichung zu einer korrekten quadratischen Gleichung ergänzt.



Nullstellen

9. Nullstellen berechnen


Bestimme jeweils die Nullstellen:

Da einige Rechenschritte notwendig sind, solltest du dein Heft benutzen.


Anwendungsaufgabe

10. Baseball


Batter beim Schlagen eines Balles

Baseball ist eine der beliebtesten Sportarten der Welt. Beim Wurf erreicht der Ball Geschwindigkeiten bis zu 160km/h. Wenn der Schlagmann den Ball richtig trifft, kann dieser über die Tribüne hinweg aus dem Stadion fliegen. Ein bestimmter Schlag kann durch die Funktion beschrieben werden, wobei die horizontale Entfernung zum Schlagmann und die Höhe des Balls, jeweils in Meter angibt.

a) Berechne j(0) und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet.





b) Ein Spieler des gegnerischen Teams befindet sich 158 Meter vom Schlagmann entfernt in der Flugbahn des Balls. Wenn er hochspringt, erreichen seine Händen eine Höhe von 3,20 Metern. Berechne, ob der Spieler es schafft, den Ball aus der Luft zu fangen.

c) Berechne, wie weit der Baseball fliegt, wenn er von keinem gegnerischen Spieler aus der Luft gefangen wird.

d) Nach wieviel Metern erreicht der Baseball seine maximale Höhe? Welche Höhe erreicht er?

e)** Berechne die horizontale Entfernung zum Schlagmann, in welcher der Baseball eine Höhe von 0,5 Metern hat.