Die Form der Parabelgleichung ist f(x) = ax² + c.
Diese Parabel ist also symmetrisch zur y-Achse. Der Parameter a muss negativ sein, denn die Parabel ist nach unten geöffnet. Zudem muss -1<a<0 sein, denn die Parabel ist gestaucht.
Der Parameter c muss positiv sein, denn der Scheitelpunkt ist entlang der y-Achse nach oben verschoben.
Wie hoch reicht das Kuppeldach über das Dach des Reichstags?
Wie groß ist der Durchmesser der Kuppel?
...
Um die Frage nach dem Durchmesser des Kuppeldaches zu beantworten, müssen wir herausfinden, wo die Parabel die x-Achse schneidet.
Diese besonderen Stellen heißen Nullstellen der Funktion.
Nullstellen quadratischer Funktionen
Die Schnittpunkte einer Funktion mit der x-Achse heißen Nullstellen,
denn die y-Koordinate dieser Punkte hat immer den Wert Null. N(xN|0)
Um die Nullstellen zu berechnen, setze also immer f(x) = 0 !!
7.1 Anzahl der Nullstellen quadratischer Funktionen erkennen
Ist die Parabelgleichung in der Scheitelpunktform gegeben, kannst du die Anzahl der Nullstellen erkennen. Je nach Lage des Scheitelpunktes und der Öffnung der Parabel hat diese keine, eine oder zwei Nullstellen:
Übung 1: Anzahl der Nullstellen
Wie viele Nullstellen hat die Parabel jeweils? Ordne in der LearningApp und im Quiz passend zu.
Tipp: Bestimme zunächst die Lage des Scheitelpunktes und die Öffnungsrichtung der Parabel. Ordne dann passend zu:
7.2 Nullstellen quadratischer Funktionen in der Scheitelpunktform berechnen
Um den Durchmesser der Reichstagskuppel zu berechnen, müssen wir die Nullstellen der Funktion f(x) = -0,05875x² + 23,5 berechnen.
Da die y-Koordinate der Nullstellen immer 0 ist, setzen wir dies in die Gleichung ein:
Natürlich hat jede Parabel mit der Funktionsgleichung f(x) = ax² die Nullstelle N(0|0), denn ihr Scheitelpunkt liegt im Ursprung. Der Scheitelpunkt ist also die Nullstelle.
Der Scheitelpunkt der Parabel liegt immer in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen. Die x-Koordinate des Scheitelpunktes muss also -2 heißen. (x-Koordinate zwischen x = -5 und x = 1).
Dies passt zum Scheitelpunkt S(-2|-18), der aus der Parabelgleichung abgelesen werden kann.
Prüfe deine Lösungen, indem du die Funktionsgleichungen bei GeoGebra eingibst und schaust, ob die Parabel tatsächlich diese Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse) hat.
Aus einer negativen Zahl kann keine Wurzel gezogen werden! Also hat diese Parabel kein Nullstellen. Begründe dies mithilfe der Lage des Scheitelpunktes und der Öffnung.
Lies den Scheitelpunkt ab, gib dann die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform an und berechne die Nullstellen wie in Beispiel 3:
A: S(2|-1), also ist f(x) = (x-2)² - 1.
Nullstellen: f(x) = 0
...
Du kannst deine rechnerische Lösung prüfen mit der Zeichnung im Buch!
Überprüfe deine Lösungen mit GeoGebra
Prüfe deine Lösungen, indem du die Funktionsgleichungen bei GeoGebra eingibst und schaust, ob die Parabel tatsächlich diese Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse) hat.
Übung 3 - Mathe kreativ: keine, eine oder zwei Nullstellen
Zeichne jeweils ein Beispiel einer verschobenen Normalparabel in dein Heft die keine, eine bzw. zwei Nullstellen hat und gib die Funktionsgleichung an.
Berechne die Nullstellen und vergleiche mit deiner Zeichnung.
Übung 4
Wandel in die Scheitelpunktform um und berechne anschließend die Nullstellen. Prüfe deine Lösung mit GeoGebra.
Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei S(-1|-4), also unterhalb der x-Achse und die Parabel ist nach oben geöffnet, also gibt es zwei Nullstellen. Prüfe mit GeoGebra!
Übung 5
Die x-Koordinate des Scheitelpunktes liegt aus Symmetriegründen immer mittig zwischen den Nullstellen.
7.3 Nullstellen quadratischer Funktionen in der Normalform berechnen mit der p-q-Formel
Du kannst die Nullstellen von Parabeln in der Normalform berechnen, indem du die Normalform zunächst in die Scheitelpunktform umwandelst und dann die Nullstellen berechnest (wie im Beispiel 4 oben)
Eine weitere, schnellere Möglichkeit ist die Anwendung der Lösungsformel: Die p-q-Formel.
Damit diese Formel angewendet werden darf, muss die Gleichung in der sogenannten Normalform gegeben sein: x² + px + q = 0
Die Struktur muss also so sein, dass die Zahl 1 der Koeffizient von x² ist (also "nichts" vor x² steht, die 1 können wir uns denken) und die andere Seite der Gleichung 0 ist. Dann ist p der Koeffizient von x (also die Zahl vor x) und q ist die Zahl ohne Variable.
Die Lösungsformel (pq-Formel) wird hergeleitet mithilfe der quadratischen Ergänzung. Wir leiten die Formel parallel zu einer Beispielaufgabe oben her:
Lösen mit der Lösungsformel: pq-Formel
Jede quadratische Gleichung lässt sich mit der p-q-Formel lösen. Dazu muss die Gleichung zunächst in die
Normalform x² + px + q = 0 umgeformt werden. Dann werden die Werte für p und q bestimmt und in die Formel eingesetzt:
x1/2 = -
Achte dabei auf die Vorzeichen von p und q.
Präge dir die Lösungsformel ein mit dem Lied von Dorfuchs. Höre es so oft, bis es ein Ohrwurm wird:
Bestimme p und q, achte auf die Vorzeichen!
1a) p=8, also - = -4; q=7 Setze diese Werte in die p-q-Formel ein.
1b) p=7, also - = -3,5; q=10
1c) p=2, also - = -1; q=-3 Tipp: Unter der Wurzel steht also ...-(-3)!
1d) p=-5, also - = +2,5; q=-24
1e) p=10, also - = -5; q=-11
1f) p=-22, also - = +11; q=72
1g) p=2,5, also - = -1,25; q=1
1h) p=-5,2, also - = +2,5; q=1
Prüfe deine Lösungen mithilfe des GeoGebra-Applets. Erinnerung: Die Lösungen der Gleichung sind die Nullstellen der zugehörigen Funktion.
7.4 Nullstellen von quadratischen Funktionen in der allgemeinen Form berechnen
Allgemein quadratische Gleichungen sind Gleichungen in der Form ax² + bx + c = 0.
Im Unterschied zur Normalform ist hier der Koeffizient von x² eine beliebige Zahl a.
Ordne in der nachfolgenden LearningApp, ob es sich um die Normalform oder die allgemeine Form quadratischer Gleichungen handelt.
Jede quadratische Gleichung lässt sich in die Normalform x² + px + q = 0 umformen. Dann können wir wieder die pq-Formel zur Lösung anwenden.
Allgemein quadratische Gleichungen lösen
Allgemein quadratische Gleichungen sind Gleichungen in der Form ax² + bx + c = 0. Alle quadratischen Gleichungen lassen sich umformen in die Normalform x² + px + q = 0. Dann kann wieder die pq-Formel zur Lösung angewendet werden.
1. Schritt: Forme in die Normalform x² + px + q = 0 um. (| : a)
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