Hier entsteht das Lernpfadkapitel "Lagebeziehungen und Winkel (Gerade und Ebene, 2 Ebenen)".
Info
In diesem Lernpfadkapitel <Kurzbeschreibung des Kapitelziels>
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
- In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
- Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
- Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
- Aufgaben und Kapitel, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.
Viel Erfolg!
Lagebeziehung Gerade-Ebene
Mögliche Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene
Aufgabe: Lückentext zur Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene
Merke: Lagebeziehung von Gerade und Ebene untersuchen mit Ebene in Parameterform.
Beispielaufgabe: Untersuchung der Lagebeziehung von Gerade und Ebene
Gegeben sind eine Ebene
und eine Gerade
. Untersuche die Lagebeziehung der Gerade und der Ebene und bestimme gegebenenfalls den Schnittpunkt.
1. Schritt: Setze die Geraden- und Ebenengleichung gleich.
2. Schritt: Stelle das zugehörige lineare Gleichungssystem auf.
3. Schritt: Löse das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren oder dem Taschenrechner.
4. Schritt: Interpretiere die Lösung des Gleichungssystems anhand der Anzahl der Lösungen. Da das Gleichungssystem nur eine Lösung hat, besitzen die Ebene
und die Gerade
nur einen gemeinsamen Punkt. Also schneidet die Gerade die Ebene.
5. Schritt: Da sich die Ebene
und die Gerade
schneiden, kannst du den Schnittpunkt der beiden berechnen. Setze dafür den Parameter
in die Geradengleichung ein.
Aufgabe: Untersuchung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene
Gegeben ist eine Ebene
.
1. Setze die Geradengleichung mit der Ebenengleichung gleich.
2. Stelle ein LGS auf.
3. Löse das LGS mit dem Gaußverfahren oder dem Taschenrechner.
4. Die Anzahl der Lösungen zeigt dir, wie viele gemeinsamen Punkte die Gerade und die Ebene haben. Daran kannst du die Lagebeziehung erkennen.
⭐Merke: Lagebeziehung von Gerade und Ebene untersuchen mit Ebene in Koordinatenform.
Beispiel: Lagebeziehung einer Gerade und einer Ebene in Koordinatenform
Aufgabe: Bestimme den Parameter
Gegeben ist eine Ebene
.
Bestimme
und
in den folgenden Geraden so, dass die entsprechende Lagebeziehung erfüllt ist.
a) Die Gerade
soll parallel zur Ebene
verlaufen.
Damit die Gerade
![{\displaystyle g}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d&mode=mathml)
und die Ebene
![{\displaystyle E}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da&mode=mathml)
parallel zueinander sind, müssen der Richtungsvektor von
![{\displaystyle g}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d&mode=mathml)
und der Normalenvektor von
![{\displaystyle E}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da&mode=mathml)
orthogonal zueinander sein.
.
Damit die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind, muss das Skalarprodukt
![{\displaystyle 0 }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=1704c55a9996089ebb7088458a60e8c0&mode=mathml)
sein:
![{\displaystyle 8-m = 0 \Rightarrow m = 8 }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=9dd31095510471c32d94c272b9edf273&mode=mathml)
.
b) Die Gerade
soll in der Ebene
liegen.
Damit die Gerade
![{\displaystyle g}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d&mode=mathml)
in der Ebene
![{\displaystyle E}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da&mode=mathml)
liegt, muss der Richtungsvektor von
![{\displaystyle g}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d&mode=mathml)
und der Normalenvektor von
![{\displaystyle E}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da&mode=mathml)
orthogonal zueinander sein.
Wenn die Gerade
![{\displaystyle g}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d&mode=mathml)
in der Ebene
![{\displaystyle E}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da&mode=mathml)
liegt, liegt jeder Punkt auf der Gerade
![{\displaystyle g}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d&mode=mathml)
auch in der Ebene
![{\displaystyle E}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da&mode=mathml)
. Prüfe mit der Punktprobe, ob der Stützvektor von
![{\displaystyle g}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d&mode=mathml)
in der Ebene
![{\displaystyle E}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da&mode=mathml)
liegt.
Finde zuerst m:
.
Damit die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind, muss das Skalarprodukt
sein:
.
Finde danach l durch eine Punktprobe: Setze
![{\displaystyle \vec(a) = \left( \begin{matrix} l\\ 5,1\\ 0,4 \end{matrix} \right) }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5063cd7fa7bd9f2ec7540a3ab7e3b3c2&mode=mathml)
in die Ebenengleichung ein und löse nach l auf:
![{\displaystyle -2l + 3 \cdot 5,1 - 0,4 = 3 \Leftrightarrow l = 5,95}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e8dbc09ac876dde35e6c61790b2afe39&mode=mathml)
.
c) Die Gerade
soll die Ebene
schneiden.
Es gibt keine eindeutige Lösung! Der Richtungsvektor
![{\displaystyle \vec{u} }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=19835aed54b4a15cbc2200e4fa7ec287&mode=mathml)
von
![{\displaystyle g}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d&mode=mathml)
darf nur nicht orthogonal zum Normalenvektor von
![{\displaystyle E}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da&mode=mathml)
liegen.
Für
![{\displaystyle m = 3 }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=080f4fc08fdfc1815c51e28b77a0f2d0&mode=mathml)
ist der Richtungsvektor von
![{\displaystyle g}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d&mode=mathml)
orthogonal zum Normalenvektor von
![{\displaystyle E}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da&mode=mathml)
und die Gerade
![{\displaystyle g}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d&mode=mathml)
liegt parallel zur Ebene
![{\displaystyle E}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da&mode=mathml)
. Jeder andere Wert für
![{\displaystyle m}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=6f8f57715090da2632453988d9a1501b&mode=mathml)
ist eine richtige Lösung.
⭐Berechnung des Winkels zwischen Gerade und Ebene
Abbildung: Winkel zwischen Gerade und Ebene
Erläuterung: Winkel berechnen zwischen Gerade und Ebene
Wenn eine Gerade g eine Eben E schneidet, kannst du nicht nur den Schnittpunkt berechnen, sondern auch den Schnittwinkel. Dafür benötigen wir den Normalenvektor. Wenn du nicht mehr genau weißt, wie man diesen abliest oder berechnet, schau noch einmal in Kapitel...
Merksatz: Winkel berechnen zwischen Gerade und Ebene
Sei
eine Ebene mit dem Normalenvektor
und
eine Gerade mit dem Richtungsvektor
. Der Schnittwinkel
zwischen
und
kann mit folgender Formel berechnet werden:
Wenn du wissen möchtest, warum du nicht wie beim Winkel zwischen zwei Geraden den Kosinus benutzt, kannst du das hier nachlesen:
Der Normalenvektor
![{\displaystyle \vec{n}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=70dbf96567025389d8854f1aea4e62ad&mode=mathml)
einer Ebene steht in einem 90 Winkel zur Ebene
![{\displaystyle E}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da&mode=mathml)
. Wenn wir den Winkel zwischen einer Gerade
![{\displaystyle g}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d&mode=mathml)
und einer
![{\displaystyle E}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da&mode=mathml)
berechnen wollen, können wir wie beim Winkel zwischen zwei Geraden mit der Kosinusfunktion den Winkel zwischen dem Richtungsvektor von
![{\displaystyle g}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d&mode=mathml)
und dem Normalenvektor von
![{\displaystyle E}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da&mode=mathml)
berechnen. In Abbildung ... ist dieser Winkel mit
![{\displaystyle \beta}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b0603860fcffe94e5b8eec59ed813421&mode=mathml)
bezeichnet. Um nun den Winkel
![{\displaystyle \alpha}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7b7f9dbfea05c83784f8b85149852f08&mode=mathml)
zwischen
![{\displaystyle g}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d&mode=mathml)
und
![{\displaystyle E}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da&mode=mathml)
zu erhalten, müssen wir
![{\displaystyle \beta}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b0603860fcffe94e5b8eec59ed813421&mode=mathml)
von
![{\displaystyle 90 ^\circ }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=61e63acedd4a30707a897506e30879ee&mode=mathml)
abziehen. Dies entspricht der obigen Formel mit der Sinusfunktion.
Beispiel: Berechnen des Winkels zwischen Gerade und Ebene
Aufgabe <Nummer>: <Name>
Inhalt
Aufgabe <Nummer>: Gerade gesucht
Lagebeziehung Ebene-Ebene
Basiswissen
Aufgabe: Lückentext zur Lagebeziehung zwischen Ebene und Ebene
Untersuchung der Lagebeziehung zwischen zwei Ebenen
Seien E und F zwei Ebenen im Raum. Um die Lagebeziehung dieser Ebenen zu untersuchen, müssen eine Reihe bestimmter Rechenschritte durchgeführt werden:
Schritt 1: Die beiden Ebenengleichungen gleichsetzen
Schritt 2: LGS interpretieren
Schritt 3: Schnittgerade bestimmen
Aufgabe: Ergebnisse interpretieren
Interpretiere die jeweilige Situation geometrisch.
a)
b)
c)
Aufgabe: Lagebeziehungen berechnen
Untersuche die Lagebeziehung der jeweiligen Ebenen.
a)
b)
c)
Aufgabe: Schnitt von zwei Zeltflächen
Die beiden Seitenflächen eines Zeltes liegen in den Ebenen
und
. Berechne die Geradengleichung der oberen Zeltkante.
⭐Berechnung des Winkels zwischen Ebene und Ebene
Merke: Winkel berechnen zwischen zwei Ebenen
Wenn sich zwei Ebenen schneiden, kann der Schnittwinkel bestimmt werden, den sie einschließen. Wie in Abbildung ... zu sehen ist, kannst du dazu die Normalenvektoren betrachten. Sie schließen denselben Winkel ein, wie die beiden Ebenen. Betrachten wir die Normalenvektoren, so können wir ähnlich vorgehen, wie beim Berechnen des Winkels zwischen zwei Geraden.
Um den Schnittwinkel zu berechnen, musst du zunächst die Normalenvektoren der Ebenen bestimmen. Wenn du nicht mehr genau weißt, wie das geht, schaue nochmal in Kapitel
Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum
Merksatz: <Name>
Seien
![{\displaystyle E}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da&mode=mathml)
und
![{\displaystyle F}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=800618943025315f869e4e1f09471012&mode=mathml)
zwei sich schneidende Ebenen mit den Normalenvektoren
![{\displaystyle n}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1&mode=mathml)
und
![{\displaystyle m}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=6f8f57715090da2632453988d9a1501b&mode=mathml)
. Der Schnittwinkel
![{\displaystyle \alpha}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7b7f9dbfea05c83784f8b85149852f08&mode=mathml)
zwischen
![{\displaystyle E}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da&mode=mathml)
und
![{\displaystyle F}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=800618943025315f869e4e1f09471012&mode=mathml)
kann mit folgender Formel berechnet werden:
![{\displaystyle cos(\alpha)=\frac{ n \ast m}{|n| \cdot |m|}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=08ba55f37ee905f72fed583e4f3d5cbb&mode=mathml)
Beispiel: Winkel berechnen zwischen zwei Ebenen
Inhalt
Aufgabe <Nummer>: Fehlerbeschreibung
Inhalt
Aufgabe <Nummer>: Bank am Wanderweg
Tipp 1 anzeigen
Überlege genau, welchen Winkel du berechnet hast. Vielleicht kann dir eine Skizze helfen.
Als Normalenvektor der Ebene
erhält man
und als Normalenvektor der Ebene
.
Einsetzen in die Formel liefert:
Umstellen der Formel ergibt:
Wie in Abbildung ... zu sehen wurde der Winkel
![{\displaystyle \alpha }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=9845198045ec71aa8304372c28b24630&mode=mathml)
berechnet. Der Winkel zwischen der Sitzfläche und der Rückenlehne wird aber durch den Winkel
![{\displaystyle \beta }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2fa6e1a5937d65ac9e67f692cebcddef&mode=mathml)
beschrieben.
![{\displaystyle \beta}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b0603860fcffe94e5b8eec59ed813421&mode=mathml)
erhält man, indem man
![{\displaystyle 180 ^\circ - \alpha }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=64113c6facef186d82f1b08563d65fb6&mode=mathml)
berechnet:
![{\displaystyle 180 ^\circ - 68,2 ^\circ = 111,8 ^\circ }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e320b5b1e0e0e0b7963bbf7e46f67cbe&mode=mathml)
. Mit einem Wert von
![{\displaystyle 111,8 ^\circ }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d8210e67c1ce9bd5d7d602b89c91dda5&mode=mathml)
liegt der Winkel zwischen Rückenlehne und Sitzfläche etwas über dem optimalen Winkel.
b) Da der Wanderweg sehr beliebt ist, soll noch eine zweite Bank aufgestellt werden. Sie wird so ausgerichtet, dass beide Bänke mit den Rückenlehnen aneinander stehen. Auch bei der zweiten Bank können die Sitzfläche und die Rückenlehne durch Ebenen beschrieben werden. Die Sitzfläche entspricht der Ebene
und die Rückenlehne der Ebene
Berechne den Winkel, unter dem die beiden Rückenlehnen der Bänke aufeinander treffen.
Gesucht ist der Winkel zwischen der Ebene
![{\displaystyle R_1}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b7000dd9eb57a731c41f8c85a55ff36a&mode=mathml)
und der Ebene
![{\displaystyle R_2}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=dcaf993833e8825e80c88a3a9eef9ed3&mode=mathml)
. Nutze zur Berechnung die Normalenvektoren der Ebenen.
Es soll der Winkel zwischen den beiden Rückenlehnen
und
berechnet werden. Die Normalenvektoren der Ebenen lauten
und
.
Einsetzen in die Formel liefert:
Umstellen der Formel ergibt:
![{\displaystyle \alpha=cos^{-1} \left( \frac{21}{29} \right) \Leftrightarrow \alpha \approx 43,6 ^\circ }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d6a91da576d9b56ec41979b8d0467734&mode=mathml)
. Der Winkel zwischen den beiden Rückenlehnen beträgt
![{\displaystyle 43,6 ^\circ }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5dd252175acbd5ecebd0dde248db64b3&mode=mathml)
.
| Arbeitsmethode}}