Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, Änderungsrate und Änderungseffekt, erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral.
In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
Und Aufgaben mit grüner Hinterlegung sind Knobelaufgaben.
Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.Inhaltsverzeichnis
Herleitung des Integrals
Konstante und lineare Funktionen
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion , wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt? Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen f(x) und der x-Achse in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (
) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle
auf der x-Achse fortführen.
Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion F(x) mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall dargestellt.
Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet: Wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?
Im Intervall beträgt der Zufluss
. In diesen 3 Minuten fließen
in den Tank. Im Intervall
beträgt die mittlere Zuflussrate
. In diesen 2 Minuten kommen
dazu. Im Intevall
ist die Durchflussrate negativ. Es fließen
ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall
mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser orientierte Flächeninhalt beträgt beim Wassertank:
Allgemeine Herleitung und Definition
Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den Änderungseffekt durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die Untersumme. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das Integral aktivieren.
Hinweise:
- N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
- Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
- Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.
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- Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
- Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
- Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
- Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
Die Funktion sei auf dem Intervall
stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und
sei eine beliebige Rechtecksumme zu
über dem Intervall
.
Dann heißt der Grenzwert Integral der Funktion
zwischen den Grenzen
und
.
Man schreibt dafür:
(lies: Integral von
von
bis
).
Die Funktion sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall
. Dann gilt:
Stammfunktionen bilden
Eine Funktion heißt Stammfunktion zu einer Funktion
auf einem Intervall
, wenn gilt:
.
Sind
und
Stammfunktionen von
auf einem Intervall
, dann gibt es eine Konstante
, sodass gilt:
Zur Funktion mit
ist
mit
eine Stammfunktion.
Zur Funktion
mit
ist
mit
eine Stammfunktion.
Sind
und
Stammfunktionen von
und
, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.
Gelerntes Wiederholen und Vertiefen
Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.
In einem Gezeitenkraftwerk strömt bei Flut das Wasser in einen Speicher und bei Ebbe wieder heraus. Das durchfließende Wasser treibt dabei Turbinen zur Stromerzeugung an. Der Graph zeigt vereinfacht die Durchflussrate d vom Meer in den Speicher.
a) Was bedeutet eine Kästchenfläche in der Abbildung im Sachzusammenhang?
b)In welchem Zeitraum nimmt die Wassermenge im Speicher am schnellsten zu und wann am schnellsten ab?
Die schnellste Zunahme passiert im Intervall
c)Wie viel Wasser befindet sich nach 6h und nach 12h im Speicher?
Nach 6h:
Antwort: Nach 6h befinden sich Wasser im Speicher.
Zwischen 6h und 12h:
Nach 12 h:
d)Wie geht es nach 12h vermutlich weiter?
Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit einer Murmel. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.
a)- Fläche oberhalb der x-Achse:
- Flächer unterhalb der x-Achse:
- Integral/orientierter Flächeninhalt:
- Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.
- Fläche oberhalb der x-Achse:
- Flächer unterhalb der x-Achse:
- Integral/orientierter Flächeninhalt:
- Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.
- Fläche oberhalb der x-Achse:
- Flächer unterhalb der x-Achse:
- Integral/orientierter Flächeninhalt:
- Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.
Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.
Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?
Dir sollte folgendes auffallen:
- Nullstellen bei
sind Extremstellen bei
. Beachte hier den Vorzeichenwechsel um sagen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.
- Extremstellen bei
sind Wendestellen bei
- Wenn
negativ bzw. positiv ist so ist bei
die Steigung negativ bzw. positiv.
kann durch eine beliebige Konstante nach oben oder unten verschoben werden, bleibt aber eine Stammfunktion von
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
Ordne die Graphen der Funktion mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion
zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?
Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
Aufgaben mittlerer Schwierigkeit
Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)
a)
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit den Grundverlauf des Kanals darstellt.
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
- Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen
. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung 1). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
- Du erstellst eine zweite Funktion
, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen
entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von
mit den Grenzen
, also
berechnen, was der gleichen Fläche entspricht (siehe Abbildung 2).
- Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen (siehe Abbildung 3).
Beachte: Es wird zunächst nur Abbildung 1 angezeigt. Wenn du Abbildung 2 und Abbildung 3 ansehen möchtest, musst du die Pfeile über der Abbildung nutzen, um zur nächsten Abbildung zu gelangen.
und
b)
Wie viel Wasser [in ] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?
c) Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?
,
Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall . Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
Ermittle die zugehörige Stammfunktion der Funktion .
In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und Stammfunktionen besser lesbar.
Solltest du beim bilden der Stammfunktion Probleme haben, schau dir nochmals die Definition der Stammfunktion, den Satz zur Bestimmung der Stammfunktion und die Beispiele dazu an. Dies findest du zu Beginn dieses Lernpfades.
Die Funktion gibt die Wachstumsrate von Bakterien an,
in Stunden,
in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)
a) Wie lautet die Funktion , die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt
angibt?
Die Stammfunktion gibt die Anzahl der Bakterien an, wenn zu Beginn null Bakterien vorhanden sind.
b) Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?
Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 Bakterien.
Knobelaufgaben
Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe einen Zettel und Stift)
Zeit t in h | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 |
Änderungsrate z(t) in ME/h | 0,0 | -0,041 | -0,037 | -0,026 | -0,009 | 0,046 | 0,031 | 0,019 | 0,006 |
a) Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.
b) Berechne für die Zeiten die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Zeit t in h | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 |
Gesamtmenge CO₂ in ME | 2,33 | 2,33 | 2,45 | 2,53 |
- Für
: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
- Für
: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall
. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0{,}041) und damit -0{,}041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:
≈
(aufgerundet)
- Für
: Wir betrachten die Fläche
auf dem Intervall
. Den Flächeninhalt auf dem Intervall
kennen wir bereits als
. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall
besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet:
≈
(aufgerundet).
- Für
mit dem gleichen Verfahren.
Zeit t in h | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 |
Gesamtmenge CO₂ in ME | 2,6 | 2,54 | 2,42 | 2,33 | 2,28 | 2,33 | 2,45 | 2,53 | 2,57 |
c) Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?
d) Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?
Das Integral in dieser Aufgabe gibt den Bestand zu einem gegebenen Zeitintervall an. Was bedeutet das in diesem Kontext?
Falls dir die allgemeine Bedeutung nicht mehr präsent ist, schau dir die Beispiele und Definition zu Beginn des Lernpfadkapitels an.- Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
- Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
- Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.
Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden:
Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
a) Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.
Stammfunktion:
b) Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben, und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (Warum? plausible Begründung).
Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.c) In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?
Nullstellen berechnen:
Es kommen aufgrund des Aufgabenkontextes nur die Nullstellen und
in Betracht. Diese wählt man als Grenzen für das zu berechnende Integral.
Beachte: Diese Aufgabe ist erfunden und entspricht nicht der Realität! Es ist eine rein hypothetische Aufgabe!
Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:
(x: Anzahl der Tage)
Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitig kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3 Tage.
Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können. Die Abnahme der Viren bei Einnahme des Medikaments zum Zeitpunkt Tagen lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:
,
≥
a) Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).
Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:
, für 0 ≤ x ≤ 3 und
, für 3 ≤ x ≤ a.
Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für x≥3:
↔
↔
Anwendung der p/q Formel:
,
≈
,
≈
<
b) Die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.
Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:
≈
Um diese Aufgabe lösen zu können, musst du mit e-Funktionen vertraut sein.
Bei einem Sprint über 100 m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion .
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion
.
ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und
die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.
a) Gib die Funktionen an, die den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt angibt.
Bedenke: Die Ableitung des Weges gibt die Geschwindigkeit an. Die Ableitung der Geschwindigkeit gibt die Beschleunigung an. Folgende Abbildung verdeutlicht dies.
b) Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.
Es muss also folgendes gelten:
c) Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.
Es muss also folgendes gelten:
d) Wie viel Meter sind Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?