Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung

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Monotonie

Merksatz


Das Monotonieverhalten einer Funktion

…beschreibt den Verlauf des Graphen einer Funktion. Die Montonie gibt an, ob eine Funktion fällt, steigt oder konstant ist.


Sei eine Funktion und

-      Falls auf einem Intervall gilt, so ist die Funktion streng monoton steigend

-      Falls auf einem Intervall gilt, so ist die Funktion monoton steigend


-      Falls auf einem Intervall gilt, so ist die Funktion streng monoton fallend

-      Falls auf einem Intervall gilt, so ist die Funktion monoton fallend


MonotonieAbbildung.png


Aufgabe 1



So berechnest du das Monotonieverhalten einer Funktion


1. Erste Ableitung berechnen

2. Nullstellen der ersten Ableitung berechnen

3. Intervalle benennen

4. Monotonietabelle aufstellen

5. Vorzeichen der Intervalle berechnen

6. Ergebnis interpretieren


Beispiel: Monotonieverhalten für bestimmen

Zuerst berechnen wir die Ableitung . Anschließend berechnen wir die Nullstellen der Ableitung () und erhalten durch Umformungen als Nullstelle .

Damit sind die zu betrachtenden Intervalle für das Monotonieverhalten und . Darauffolgend stellen wir eine Monotonietabelle auf und berechnen die Vorzeichen für die Intervalle:
Tiefpunkt

Aus dem Ergebnis können wir schließen, dass die Funktion für streng monoton fallend und für streng monoton steigend ist.


Aufgabe 2

a) Auf dem Bild siehst du den Graphen einer Ableitungsfunktion . Welche Aussagen kannst du über das Monotonieverhalten von machen?

















Erinnere dich daran, wie du bei der Berechnung des Monotonieverhaltens vorgehst. Welche Aussagen zum Monotonieverhalten liefert dir ?
Die Nullstellen von definieren die verschiedenen Intervalle, in denen das Monotonieverhalten von verschieden ist. Nun kannst du betrachten, auf welchen Intervallen bzw. ist. Welche Aussagen kannst du damit über das Monotonieverhalten von machen?

Die Nullstellen von sind und .

Damit sind die zu betrachtenden Intervalle , , und . Nun kannst du auf den verschiedenen Intervallen anhand des Graphen ablesen, ob an diesen oder ist.

Für ist , somit ist auf diesem Intervall streng monoton fallend.

Für ist , somit ist auf diesem Intervall streng monoton steigend.

Für ist , somit ist auf diesem Intervall streng monoton fallend.

Für ist , somit ist auf diesem Intervall streng monoton steigend.


b) Zeichne nun mithilfe deiner Ergebnisse aus a) den Funktionsgraphen mithilfe deiner Kenntnisse über sein Monotonieverhalten in dein Heft.

Dein Graph könnte in etwa so aussehen:

Graph f(x).jpg












Möglich, weitere Lösungen für die Zeichnung des Graphen sind unter anderem Verschiebungen in Richtung der Ordinate, also nach unten und oben oder auch Streckungen bzw. Stauchungen.




Extrema

Wissen

Im vorherigen Kapitel konntest du etwas über das Monotonie-Verhalten einer Funktion erfahren. Dieses Wissen wird nun weiter vertieft und du lernst die sogenannten Extremstellen kennen, die in einem starken Zusammenhang mit dem Monotonie-Verhalten stehen.

Eine Funktion , die in einem ersten Abschnitt streng monoton wächst und im darauf folgenden Abschnitt streng monoton fällt, muss einen Punkt besitzen an dem die Funktion weder steigt noch fällt und dieser Punkt wird als Maximum beziehungsweise Minimum bezeichnet.

Extrema werden bei einer Funktionsuntersuchung weitergehend darin unterschieden, ob es sich dabei um ein globales oder lokales Extremum handelt. Wichtig ist es dabei, dass du dein Intervall berücksichtigst.

  • Es liegt ein lokales Extremum vor, wenn kein größerer oder kleinerer Funktionswert in einem betrachteten Intervall vorhanden ist.
  • Ein globales Extremum liegt vor, wenn kein größerer oder kleinerer Funktionswert des gesamten Graphen existiert.

Merke: Die globalen Extremstellen sind besonders dann wichtig für dich, wenn du die Randwerte überprüfen sollst. Die nachfolgende Übung soll Dir dabei den Unterschied verdeutlichen!


Aufgabe 1 - Extrema zuordnen

Ordne die Fachbegriffe den passenden Punkten der Funktion zu.


Nach dem du jetzt weißt was Extrema sind, sollst du erfahren, wie du diese schrittweise bestimmen kannst.


Extremstellenbestimmung

Das Vorgehen setzt sich aus zwei Teilen zusammen, das für jede Funktion gilt:

Notwendiges Kriterium: Für ein mögliches Extremum muss die Steigung 0 betragen. Im Folgenden wird diese als bezeichnet. Es muss gelten: .
Hinreichendes Kriterium: Die potentiellen Extremstellen werden in eingesetzt. Du musst darauf achten, dass dabei zwei Möglichkeiten entstehen. Für kann folgen:
  • Es liegt ein Hochpunkt vor.
  • Es liegt ein Tiefpunkt vor.
Ordinate bestimmen: Zu jeder Koordinate exisitert eine passende Ordinate. Dazu musst du in einsetzen. Zusammenfassend erhälst du alle Extremstellen der Form .

Achtung: Im hinreichenden Kriterium besteht die Möglichkeit folgendes Ergebnis zu erhalten: . Dabei kann es sich um eine sogenannte Sattelstelle handeln. Diese Sattelstelle stellt einen besonderen Fall eines Extremums dar. Die zu erfüllenden Kriterien für eine Sattelstelle kannst du aus der unten abgebildeten Tabelle entnehmen.


Die folgende Übersicht soll dir dabei helfen, die Kriterien der verschiedenen Extremstellen besser merken zu können:

Art der Extremstelle Notwendiges Kriterium Hinreichendes Kriterium
Hochpunkt und <
Tiefpunkt und >
Sattelpunkt und


Beispiel: Bestimmung von Extremstellen


Wir untersuchen die folgende Funktion auf Extremstellen.

  1. Zunächst bilden wir die erste Ableitung und setzen diese gleich null: . Umformungen dieser Gleichung liefern die möglichen Extremstellen und .
  2. Das bilden der zweiten Ableitung ergibt:
    • Hochpunkt an der Stelle .
    • Tiefpunkt an der Stelle .
  3. Es fehlen nun die Ordinaten, die wir durch das Einsetzen in bestimmen.
Wir erhalten: HP und TP .


In den beiden nachfolgenden Aufgaben kannst du dein Wissen nun überprüfen. In der 1. Aufgabe werden deine mathematischen Fähigkeiten unter Probe gestellt, um anschließend in Aufgabe 2 herausfinden zu können, ob du deine Ergebnisse auch im Sachzusammenhang interpretieren kannst.



Aufgabe 2 - Extrema bestimmen

Berechne die Extremstellen der folgenden Aufgabe. Jede Funktion besitzt einen unterschiedlich hohen Schwierigkeitsgrad. Wenn du dir noch nicht so sicher bist bei der Bestimmunng von Extremstellen, so solltest du die erste Aufgabe erarbeiten. Fühlst du dich jedoch gut vorbereitet und bist der Meinung du kannst auch komplexere Funktionen auf Extremstellen untersuchen. Dann versuche dein Können an der dritten Aufgabe.

a)

Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt:

Notwendiges Kriterium
, mit .
Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:

Hinreichendes Kriterium
oder , mit .
Wir erhalten durch einsetzen: Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei
Ordinate bestimmen

Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein: TP
b)

Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt:

Notwendiges Kriterium
, mit .
Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:
PQ-Formel anwenden

und
Hinreichendes Kriterium
oder , mit .
Wir erhalten durch einsetzen:
Es handelt sich um einen Hochpunkt bei
Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei
Ordinate bestimmen

Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein:
HP
TP
c) mit
GeoGebra

Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt:

Notwendiges Kriterium
, mit .
Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:
Ausklammern
Satz vom Nullprodukt

. und

Hinreichendes Kriterium
oder , mit .
Wir erhalten durch einsetzen:
Es handelt sich um einen Hochpunkt bei
Es handelt sich um einen möglichen Sattelpunkt bei Dies muss überprüft werden!
Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei
Achtung: Ob es sich um eine Sattelstelle bei handelt, wird durch die dritte Ableitung überprüft, indem wir zeigen, dass stimmt. Es gilt
Es liegt ein Sattelpunkt vor.
Ordinate bestimmen

Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein:
HP
SP
TP


Aufgabe 3 - Anwendungsaufgabe

Die Anzahl der Kunden eines Shopping-Centers wird für mit Hilfe der Funktion modelliert. Die Variable stellt dabei die Zeit in Stunden dar.

a) Bestimme die Uhrzeit, an der die Anzahl der Kunden am größten ist. Wie viele Besucher halten sich zu dieser Zeit im Shopping-Center auf?
Ableitungen bestimmen:
Notwendiges Kriterium:
. Hier ist nur der zweite Wert von Relevanz, da der erste außerhalb des Definitionsbereiches liegt.
Hinreichendes Kriterium:
Es liegt ein Hochpunkt vor.
Ordinate bestimmen:
Dieser Wert wird aufgerundet!
Antwortsatz:
Um 15:07 Uhr besuchen die meisten Kunden das Shopping Center. Insgesamt sind es 376 Personen.
b) Berechne und beschreibe was dieser Wert im Sachzusammenhang bedeutet.


Die Ableitungsfunktion beschreibt die Anzahl der Kunden, die zu der Uhrzeit das Shopping-Center betreten oder verlassen. Der Wert 67 bedeutet im Sachzusammenhang, dass um 12 Uhr 67 neue Kunden das Shopping-Center betreten.
c) Um 10 Uhr betritt eine bestimmte Anzahl an Kunden das Shopping-Center. Berechne den Zeitpunkt an dem genauso viele Kunden das Center verlassen, wie sie es um 10 Uhr betreten haben.
Überlege Dir, wie die Zunahme und Abnahme von Kunden mathematisch betrachtet werden kann. Erinnere dich daran, dass man von einer positiven Zunahme spricht.

Bestimme die Anzahl neuer Kunden um 10 Uhr:

Hier muss ein Vorzeichenwechsel stattfinden, denn die Zunahme von Kunden bedeutet im mathematischen Sinne eine positive Zunahme. Da nach einer Uhrzeit gesucht, bei der Kunden das Shopping-Center verlassen, muss aus +95 -95 werden.

Bestimme die Uhrzeit zu der 95 Kunden das Shopping-Center verlassen:

Antwortsatz: Um 18:10 verlassen 95 Kunden das Shopping-Center.




Verhalten im Unendlichen und nahe Null

Merke

Das Verhalten einer Funktion im Unendlichen beschreibt, wie sich der Funktionswert verhält, wenn gegen geht, also für sehr große positive und negative Werte von . Bei ganzrationalen Funktionen der Form kann man das Verhalten im Unendlichen untersuchen, indem man sich den Summanden des Funktionsterms mit dem größten Exponenten von anschaut. Betrachte also . Im Unendlichen verhalten sich und gleich, du musst also nur das Verhalten im Unendlichen von untersuchen. Es gibt vier Fälle, die du dabei unterscheiden musst:

gerade ungerade
gerade und :

verläuft "von links oben nach rechts oben",

für

ungerade und :

verläuft "von links unten nach rechts oben",

für , für

gerade und :

verläuft "von links unten nach rechts unten",

für

ungerade und :

verläuft "von links oben nach rechts unten",

für , für


Merke

Das Verhalten einer Funktion nahe Null beschreibt, wie sich der Funktionswert verhält, wenn gegen Null geht, also für sehr kleine Werte von . Eine ganzrationale Funktion der Form verhält sich nahe Null wie die Summe aus dem absoluten Glied und dem Summanden mit der geringsten Potenz von x, die im Funktionsterm auftaucht.


Beispiel 1

verhält sich im Unendlichen wie . Für geht und für geht , da eine gerade Zahl ist und . Nahe Null verhält sich wie . Wenn man sich ein kleines Intervall um anschaut, sieht der Graph von dort lokal also aus wie eine Gerade mit der Steigung -3 und dem y-Achsenabschnitt 4. Der y-Achsenabschnitt von ist daher auch 4.


Beispiel 2

verhält sich im Unendlichen wie . Für geht und für geht , da eine ungerade Zahl ist und . Nahe Null verhält sich wie , also wie eine um den Faktor 4 gestreckte, nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt (und y-Achsenabschnitt) bei .


Aufgabe 1: Quiz zum Verhalten im Unendlichen

Öffne das Quiz im Vollbildmodus und wähle die jeweils richtigen Antworten aus. Es können eine oder mehrere Antworten richtig sein. Es kann helfen, dir Notizen zu machen.


Aufgabe 2*: Beschreibe das Verhalten

Beschreibe in deinem Heft das Verhalten der nachfolgenden Funktionen und Funktionenscharen im Unendlichen. Gehe dazu vor wie in der Merkbox oben.

a)

Beachte, dass du manchmal den Funktionsterm erst zusammenfassen musst.
verhält sich im Unendlichen wie . Da eine gerade Zahl ist und , geht für . Der Graph von verläuft also von links unten nach rechts unten.

b)

Gehe bei Funktionenscharen genau so vor wie bei normalen Funktionen.
verhält sich im Unendlichen wie . Da eine ungerade Zahl ist und , geht für und für . Der Graph von verläuft also von links oben nach rechts unten.

c) mit

Überlege dir zunächst, welches Vorzeichen hat, wenn negativ ist.
verhält sich im Unendlichen wie . Da eine ungerade Zahl ist und , da ist, geht für und für . Der Graph von verläuft also von links unten nach rechts oben.