Info
In diesem Lernpfadkapitel wiederholen wir mit dir die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen.
In diesem Kapitel ..., ...
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
- In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
- Aufgaben in pinker Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
- Und Aufgaben mit lilanem Streifen sind Knobelaufgaben.
- Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines Fragezeichen oder eine Glühlampe. Wenn du die Aufgabenstellung nochmal lesen möchtest, klicke auf das Fragezeichen. Wenn du einen Tipp brauchst, klicke auf die Glühlampe.
Viel Spaß!
Einführung
Dezimalzahlen tauchen in unserem Alltag fast überall auf. Wenn wir in den Supermarkt gehen oder unsere Größe messen, du merkst schnell, dass unser Alltag bei natürlichen Zahlen und Brüchen nicht Halt macht. Deswegen kannst du die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen in diesem Lernpfad mit den wichtigsten Begriffen und Rechengesetzen wiederholen.
Erinnerst du dich noch an die Dezimalzahlen?
Dezimalzahlen sind Zahlen mit einem Komma. Nach dem Komma kommen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ...
Dezimalzahlen kannst du in eine erweiterte Stellenwerttafel eintragen. Dezimalzahlen sind Brüche in einer anderen Schreibweise.
Dezimalzahlen kannst du als Brüche mit den Nennern 10, 100, 1000, ... schreiben und andersherum.
Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.
Aufgabe 1 (*): Vor- und Nachkommastellen einer Dezimalzahl
Vor- und Nachkommastelle in der Stellenwerttafel
Aufgabe 2 (*): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
Trage die Ziffern der Zahl an die richtigen Stellen der Stellenwertttafel. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
Aufgabe 3 (**): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
Schreibe die Zahl aus der Stellenwerttafel als Dezimalzahl auf. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
Größen sind Geld, Gewicht (Masse), Länge und Zeit. Größen bestehen aus Maßzahl und Einheit.
Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.
Aufgabe (*): Größen im Alltag
Merksatz: Größeneinheiten
Geld: Euro (€), Cent (ct)
1€ = 100ct
Gewicht: Tonne (t), Kilogramm (kg), Gramm (g), Milligramm (mg)
1t = 1000kg, 1kg = 1000g, 1g = 1000mg
Länge: Kilometer (km), Meter (m), Dezimeter (dm), Zentimeter (cm), Millimeter (mm)
1km = 1000m, 1m = 10dm, 1dm = 10cm, 1cm = 10mm
Zeit: Jahre, Tage (d), Stunden (h), Minuten (min), Sekunden (s)
1 Jahr = 365 Tage, 1 Tag = 24 Stunden, 1 Stunde = 60 Minuten, 1 Minute = 60 Sekunden
Dezimalzahlen in der Welt der Größen
Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl
Merksatz 1: Dezimalzahlen, Brüche, Prozentzahlen
Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie lässt sich als jedoch auch als Bruch oder Prozentzahl darstellen.
Beispiel: Dezimalzahl: 0,5, Bruch: ½, Prozentzahl: 50% --> 0,5 = ½ = 50%
Wechsel vom Bruch zur Dezimalzahl:
Kürzere oder erweitere den Nenner der Zahl auf 10, 100, 1000 ... (Hinweis: bei der Dezimalzahl denkst du dir, dass sie eine 1 im Nenner hat). Wechsele dann in die Dezimalschreibweise.
Beispiel: 4/5 = 8/10 = 0,8
Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch:
Erweitere den Nenner der Dezimalzahl (du denkst dir, dass die Dezimalzahl zunächst den Nenner 1 hat) auf 10, 100, 1000 usw. je nachdem, wie viele Nachkommastellen du hast. D.h. wenn du drei Nachkommastellen hast, erweiterst du auf den Nenner 1000.
Beispiel: 2,67 (= 2,67/1) = 267/100
Wenn möglich, kannst du den Bruch dann noch kürzen.
Wechsel von Dezimalzahlen oder Brüchen zu Prozentzahlen:
Das Prozent-Zeichen % steht für Hundertstel (1 von 100). D.h. du kannst einen Bruch, der als Nenner die 100 hat auch als Prozentangabe schreiben.
Beispiele: 1/100 = 0,01 = 1%; 3/10 = 30/100 = 0,3 = 30%, 2/5 = 40/100 = 0,4 = 40%
Aufgabe 1.1 (*): Wechsel der Darstellungsformen
Aufgabe 1.2 (**/***): Wechsel und Ordnung der Darstellungsformen
Das Geheimnis des Rundens von Dezimalzahlen
Merksatz 2: Runden und Überschlage bei Dezimalzahlen
Vor dem Runden von Dezimalzahlen muss du festlegen, wie viele Stellen nach dem Komma die gerundete Zahl haben soll.
Vervollständige den Merksatz.
Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 0; 1; 2; 3 oder 4, so wird abgerundet.
Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird aufgerundet.
Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.
Aufgabe 2.1 (**): Dezimalzahlen runden
Aufgabe 2.2 (***): Runden von Dezimalzahlen
a) Gib an, auf welche Stelle gerundet wurde: 0,982 ≈ 0,98
b) Runde 27,943 auf Zehntel.
c) Nenne drei Dezimalzahlen, die gerundet 4,75 ergeben.
d) Gib die größte Zahl mit vier Nachkommastellen an, die auf Hundertstel gerundet 2,67 ergibt.
Es wurde auf Hundertstel gerundet.
27,943 ≈ 27,9
Folgende Zahlen ergeben 4,75 gerundet auf Hundertstel: 4,745; 4,746; 4,747; 4,748; 4,749; 4,750; 4,751; 4,752; 4,753; 4,754
Die größte Zahl mit vier Nachkommastellen, die auf Hundertstel gerundet 2,67 ergibt lautet 2,6749.
Rechengesetze
Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen
Merksatz 3a: Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen
Wie bei den ganzen Zahlen addiert und subtrahiert man auch Dezimalzahlen stellenweise. Dies gilt ebenso, wenn die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich ist. Damit gleiche Stellen beim schriftlichen Rechnen untereinander stehen, muss Komma unter Komma stehen.
Tipp: Nullen ergänzen und Fehler vermeiden!
Aufgabe 3.1 (*): Dezimalbrüche addieren
Aufgabe 3.2 (**): Dezimalbrüche addieren und subtrahieren
Multiplikation von Dezimalzahlen
Merksatz 3b: Multiplikation von Dezimalzahlen
- Bestimme das Vorzeichen (+ und + --> +; + und - --> -; - und - --> +).
- Multipliziere zuerst, ohne auf das Komma zu achten.
- Verschiebe beim Ergebnis das Komma um so viele Stellen nach links wie die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren.
Tipp: Runde zunächst die Dezimalzahlen und überschlage das Ergebnis im Kopf, so vermeidest du Fehler in der Größenordnung des Ergebnisses!
Leichtere Aufgabe zur Multiplikation
Aufgabe 3.3 (***): Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen
Max kauft 1,034 kg Möhren, 1,497 kg Kartoffeln und 0,731 kg Tomaten.
Wie viel muss er zahlen? Runde sinnvoll.
Preise für Möhren, Kartoffeln und Tomaten
Für die Möhren muss Max 1,034 kg * (0,79 € pro kg) = 0,82 € bezahlen.
Für die Kartoffeln muss Max 1,497 kg * (2,49 € pro kg) = 3,73 € bezahlen.
Für die Tomaten muss Max 0,731 kg * (2,99 € pro kg) = 2,19 € bezahlen.
Insgesamt muss er also 0,82 € + 3,73 € + 2,19 € = 6,74 € bezahlen.
Info: Bei Geld ist es sinnvoll, auf zwei Nachkommastellen zu runden, weil dies den Cent-Betrag beschreibt und wir bei Geld keine kleinere Einheit als Cent haben.
Verhältnisse von Größen
Merksatz 4: Größen und Verhältnisse von Größen
Du kennst bereits die verschiedenen Größen Gewicht, Länge, Geld und Zeit. Ein Vergleich kann immer nur innerhalb einer Größe stattfinden, d.h. du kannst nicht 3 kg mit 50 m vergleichen. Die Größen werden durch verschiedene Einheiten angegeben, die du beim Vergleich beachten musst. Erinnerung:
- Gewicht: ... mg < g < kg < t ..., wobei die Einheiten sich jeweils um den Faktor 1000 unterscheiden
- Länge: mm < cm < dm < m < km ..., wobei sich die Einheiten von mm bis m jeweils um den Faktor 10 unterscheiden und m und km um den Faktor 1000
- Geld: ct < €, wobei 100ct = 1€
- Zeit: ... s < min < h < d (Tage) < Jahre, wobei 60 s = 1 min, 60 min = 1 h, 24 h = 1 d und 365 d = 1 Jahr
Tipp: Wenn du zwei Größen vergleichen willst, z.B. 1500 g und 2 kg, so bringe alle Größen auf dieselbe Einheit und vergleiche dann: 2 kg = 2000 g --> 1500 g < 20000 g = 2 kg
Aufgabe 4.1 (*): Objekte nach Größe sortieren
Merksatz 5: Dezimalschreibweise von Größen
Vervollständige den Merksatz.
Bei der Dezimalschreibweise von Größen entspricht der Wechsel zu einer größeren Maßeinheit einer Kommaverschiebung nach links. Der Wechsel zu einer kleineren Maßeinheit entspricht einer Kommaverschiebung nach rechts. Das Komma wird um eine, um zwei, um drei Stellen verschoben, wenn die eine Maßeinheit das 10fache, das 100fache, das 1000fache der anderen Maßeinheit ist.
Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.
Beispiel ?? (**): Einheiten
Schreibe in der angegebenen Einheit.
a) 2,68 m (in dm)
b) 420 g (in kg)
a) 2,68m = 26,8dm, da in eine kleinere Maßeinheit überführt werden soll, mit 1m = 10dm, muss das Komma eine Stelle nach rechts verschoben werden.
b) 420g = 0,42kg, da in eine größere Maßeinheit überführt werden soll, mit 1000g = 1kg, muss das Komma drei Stellen nach links verschoben werden.
Aufgabe 5.1 (**): Umrechnen von Größen
Aufgabe 5.2 (***): Rechnen mit Größen
Das schreibt man:
{{Box| Titel | Inhalt | class }}
Als Klassen/class stehen einige Varianten zur Verfügung wie Hervorhebung1, Hervorhebung2, Zitat, ... , allerdings ist dies optional (siehe Beispiele!)
Das sieht man:
<div style="margin: 0 auto .5rem; overflow:hidden; border-left: 7px solid #ececec;">
andere Beispiele
Hervorhebung1
mit Text für Hervorhebungen
Hervorhebung2
mit Text für Hervorhebungen
Zitat
mit Text für Zitate und Quellen
Arbeitsmethode
mit Text für Arbeitsmethoden
Unterrichtsidee
mit Text für Unterrichtsidee
Meinung
mit Text für Meinungen
Experimentieren
mit Text für Experimente und Versuche
Lösung
mit Text für Lösungen
Üben
mit Text für Übungen und Aufgaben
Merksatz
mit Text für Definitionen und Merksätzen
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