In diesem Lernpfad geht es darum, dein Wissen im Bereich quadratischer Funktionen zu vertiefen.
Dazu werden dir Informationen und Aufgaben zur Scheitelpunktform, der Umwandlung zwischen Scheitelpunktform und Normalform sowie zur Berechnung von Nullstellen bereitgestellt. Zum Schluss erwartet dich noch eine Anwendungsaufgabe, in welcher du die zuvor gelernten Inhalte testen kannst.
In diesem Lernpfad findest du Aufgaben mit einem *. Bei diesen handelt es sich um Forderaufgaben. Aufgaben mit ** sind anspruchsvolle Knobelaufgaben. Hat eine Aufgabe kein *, dann ist die Aufgabe zur Wiederholung und Vertiefung der Inhalte geeignet.
Fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die passenden Silben einfügst.
Wir schauen uns die Funktion an. Funktionen dieser Art heißen Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine . Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt . Liegt die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vor, wie es hier der Fall ist, dann kann der Scheitelpunkt S direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Der Parameter d ist die -Koordinate und der Parameter e ist die -Koordinate des Scheitelpunkts. S(d,e).
Ist der Parameter a kleiner als Null (a<0), dann ist der Graph der Funktion g nach geöffnet.
Ist a größer als Null (a>0), dann ist der Graph von g nach geöffnet.
Ist a größer als Eins (a>1) oder kleiner als minus Eins (a<-1), dann sieht der Graph von g aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph wird.
Liegt a zwischen minus Eins und Eins (-1<a<1), dann sieht der Graph von g aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph wird.
Ist d größer als Null (d>0), dann wird der Graph von g nach verschoben.
Ist d kleiner als Null (d<0), dann wird der Graph von g nach verschoben.
Ist e kleiner als Null (e<0), dann wird der Graph von g nach verschoben.
Ist e größer als Null (e>0), dann wird der Graph von g nach verschoben.
Beim Zeichnen des Funktionsgraphen gibt dir der Parameter a an, wie viele Einheiten du nach oben oder unten "gehen" musst, wenn du eine Einheit nach rechts oder links "gehst".
Wenn deine Zeichnung so aussieht, hast du alles richtig gemacht:
3. Welcher Graph hat mit welcher Funktionsgleichung ein Match?
Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den zugehörigen Graphen zu.
Hinweis: Du kannst das Bild der Funktionsgraphen vergrößern, indem du mit der Maus auf diese klickst.
Überlege dir zunächst, welche Parameter du brauchst um eine Funktionsgleichung in Scheitelpunktform aufzustellen. (Falls du Aufgabe 1 schon bearbeitet hast, findest du dort nützliche Hinweise.)
Die Scheitelpunktform hat die Funktionsgleichung .
Probiere aus was passiert, wenn du die Parameter und veränderst. Beobachte die Funktionsgleichung und den zugehörigen Graphen.
Für den Scheitelpunkt gilt: . Wenn du also den Scheitelpunkt aus der Darstellung des Funktionsgraphen abliest und seine Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzt, musst du nur noch den Parameter bestimmen.
Um den Parameter zu bestimmen gibt es verschiedene Möglichkeiten.
Möglichkeit 1: Du kannst einen beliebigen weiteren Punkt ) aus dem Graphen ablesen und in die Funktionsgleichung einsetzen. Im Anschluss musst du nur noch die Gleichung nach auflösen. Bei Bedarf kannst Du gerne dein Heft benutzen, um dir Rechenschritte zu notieren.
Möglichkeit 2: Alternativ kannst du den Parameter auch direkt aus dem Graphen ablesen: Gehst du vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach rechts, so entspricht der Anzahl an Einheiten, die du nach oben (positives Vorzeichen) oder nach unten (negatives Vorzeichen) gehen musst, bis du wieder auf dem Graphen bist.
5. Steinwurf
Jonas wirft einen Stein vom Ufer in einen See. Die Flugbahn des Steins lässt sich mit der quadratischen Funktion Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle -\frac{1}{10}\cdot(x-1)^2+\frac{5}{2 }
beschreiben.
a) Wann erreicht der Stein seinen höchsten Punkt?
b)Zeichne die Flugbahn des Steins.
c) Wie weit fliegt der Stein?*
Umwandlung Scheitelpunktform und Normalform
Bisher hast du dich intensiv mit der Scheitelpunktform beschäftigt. In diesem Abschnitt wirst du auch mit der Normalform einer quadratischen Funktion arbeiten. Dafür benötigst du die ersten beiden Binomischen Formeln. In dem folgenden Merksatz sind diese dargestellt. Falls du bei den nachfolgenden Aufgaben Schwierigkeiten bei der Umwandlung der Binomischen Formeln hast, dann scroll bis zu diesem Merksatz hoch und schau ihn dir nochmal an.
Die ersten beiden Binomischen Formeln
1. Binomische Formel:
2. Binomische Formel:
5. Die Umwandlungen zwischen Scheitelpunktform und Normalenform
Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.
6. Wie ging noch einmal quadratische Ergänzung?
Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.
7. Finde die Paare*
Wandle in deinem Heft die Funktionen f und g in die Normalform um und die Funktionen i und j in die Scheitelpunktform. Ordne anschließend die gleichen Funktionen einander zu.
Hinweis: Es bleiben am Ende drei Funktionsgleichungen übrig.
Wenn du dir nicht mehr genau weißt, wie du von der Scheitelpunktform in die Normalform kommst oder umgekehrt, dann schau dir nochmal die Aufgaben 5 und 6 an.
Es gibt verschiedene Wege, um quadratische Gleichungen zu lösen. Im Unterricht habt ihr sicherlich auch die pq-Formel kennengelernt. Diese ist z.B. für die Bestimmung der Nullstellen von sehr nützlich.
Diese Funktion ist in Normalform angegeben. Du kannst also nach wenigen Rechenschritten auf die pq-Formel zurückgreifen, um die Nullstellen zu bestimmen:
Betrachte , d.h.
und teile dann beide Seiten durch .
Du erhälst die Gleichung
Durch Anwenden der pq-Formel folgt
⇔ sowie
⇔ und
Somit sind und die Nullstellen.
Anwendungsaufgabe
10. Baseball
Baseball ist eine der beliebtesten Sportarten der Welt. Beim Wurf erreicht der Ball Geschwindigkeiten bis zu 160km/h. Wenn der Schlagmann den Ball richtig trifft, kann dieser über die Tribüne hinweg aus dem Stadion fliegen. Ein bestimmter Schlag kann durch die Funktion beschrieben werden, wobei die horizontale Entfernung zum Schlagmann und die Höhe des Balls, jeweils in Meter angibt.
a) Berechne j(0) und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet.
Der Schlagmann trifft den Baseball einen Meter über dem Boden.
b) Ein Spieler des gegnerischen Teams befindet sich 158 Meter vom Schlagmann entfernt in der Flugbahn des Balls. Wenn er hochspringt, erreichen seine Händen eine Höhe von 3,20 Metern. Berechne, ob der Spieler es schafft, den Ball aus der Luft zu fangen.
Auf Höhe des gegnerischen Spielers hat der Baseball noch eine Höhe von Da der Spieler nur Bälle bis zu einer Höhe von erreichen kann, fängt er diesen Ball nicht.
c) Berechne, wie weit der Baseball fliegt, wenn er von keinem gegnerischen Spieler aus der Luft gefangen wird.
Falls du nicht mehr genau weißt, wie du die pq-Formel aufstellen und berechnen kannst, dann schau nochmal bei Aufgabe 9 nach. Achte darauf, dass vor dem kein Vorfaktor stehen darf.
Nullstellenberechnung:
Im ersten Schritt wird der Vorfaktor von eliminiert.
Im zweiten Schritt wird die pq-Formel angewendet, um die Nullstellen zu berechnen. und
Der Zeitpunkt liegt zeitlich vor dem Schlag. Aus diesem Grund müssen wir nur betrachten. Somit fliegt der Baseball Meter weit, bevor er auf dem Boden fällt.
d) Nach wieviel Metern erreicht der Baseball seine maximale Höhe? Welche Höhe erreicht er?
Wenn du gerade nicht mehr darauf kommst, wie du aus der Normalform einer quadratischen Funktion in die Scheitelpunktform kommst, dann guck dir nochmal die Aufgabe 6 an.
Cookies helfen uns bei der Bereitstellung von ZUM Projektwiki. Durch die Nutzung von ZUM Projektwiki erklärst du dich damit einverstanden, dass wir Cookies speichern.