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2 Strecken- und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken

2.1 Größen in rechtwinkligen Dreiecken berechnen

Du kennst schon eine Möglichkeiten, eine fehlende Seitenlänge in einem rechtwinkligen Dreiecken zu berechnen, wenn zwei Seiten gegeben sind:

Erinnerung: Mit dem Satz des Pythagoras!

Wenn nun in einem rechtwinkligen Dreieck eine Seite und ein Winkel gegeben sind, kannst du mithilfe von Sinus, Kosinus und Tangens die Längen der anderen Seiten berechnen.
Wo kannst du das anwenden? Warum sollst du das lernen?
Es hilft z.B. bei Vermessungen:

St. Otger von Westen mit eingerüstetem Turm

Wir haben in Klasse 7 die Höhe des Stadtlohner Kirchturms mithilfe einer maßstabsgetreuen Zeichnung bestimmt, erinnerst du dich? Nun haben wir die Möglichkeit, die Höhe auf eine andere Art zu berechnen.

Wir messen den Blickwinkel, unter dem wir die Spitze des Kirchturms sehen und die Entfernung zur Kirche. Welche Größen des rechtwinkligen Dreiecks sind also gegeben, welche Größe ist gesucht?

Im rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel $\beta$ = 56° gegeben, der Winkel $\alpha$ ist der rechte Winkel. Außerdem ist die Länge der Seite c = 50 m gegeben. Das ist die Ankathete zu $\beta$ .
Gesucht ist die Länge der Seite h. Dies ist die Gegenkathete zu $\beta$ .

Also hilft uns hier der Tangens weiter, denn tan

\beta

=

\tfrac{h}{c}

.

Bestimme nun die Höhe des Kirchturms!

tan $\beta$ = $\tfrac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\tfrac{h}{50}$ . Stelle nun diese Gleichung nach h um.

tan (56°) = $\tfrac{h}{50}$ |∙ 50
tan (56°) ∙ 50 = h
74,1 (m) $\approx$ h

Der Kirchturm ist also ca. 74 m hoch.

Übung 1 (online)

Gib das Seitenverhältnis an und berechne jeweils die Länge der Strecke x in den nachfolgenden LearningApps.

Übung 2 (online und im Heft)

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.

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Strecken- und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken

Sind in einem rechtwinkligen Dreieck zwei Seitenlängen oder eine Seite und ein Winkel gegeben, kannst du fehlenden Größen mithilfe von Sinus, Kosinus und Tangens berechnen.

Wähle das passende Seitenverhältnis aus (Sinus, Kosinus oder Tangens) und stelle - falls nötig - die Formel um.
Übertrage die nachfolgenden Beispiele in dein Heft.

Beispiele:
Beispiel 1: eine Seite (Hypotenuse) und ein Winkel sind gegeben

geg: rechtwinkliges Dreieck ( $\gamma$ = 90°); c = 6,8 cm; $\alpha$ = 56°
ges: a; b; β

① Bestimme a:

sin α = $\tfrac{a}{c}$ |∙c
a = sin α ∙ c
a = sin (56°)∙6,8

a

\approx

5,6 (cm)

② Bestimme b:

cos α = $\tfrac{b}{c}$ |∙c
b = cos α ∙ c
b = cos (56°)∙6,8

b

\approx

3,8 (cm)

③ Bestimme β:

Winkelsummensatz für Dreiecke:
α + β + γ = 180°
β = 180° - α - γ
= 180° - 56° - 90°

= 34°

Anmerkungen:
Du kannst b auch mit dem Satz des Pythagoras bestimmen:
a² + b² = c² (denn a und b sind die Katheten, c ist die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck)
b = $\sqrt{\text{c²-a²}}$
= $\sqrt{\text{6,8²-5,6²}}$
$\approx$ 3,9 (cm) Der Wert ist ungenauer, da du mit dem gerundeten Wert von a weitergerechnet hast.

Du kannst β auch kürzer bestimmen mit

α + β = 90°, da γ = 90° ist. Ziehst du diese von 180° ab, so bleiben 90° übrig.

Beispiel 2: eine Seite (Kathete) und ein Winkel sind gegeben

geg: rechtwinkliges Dreieck ( $\gamma$ = 90°); a = 8,4 cm; $\alpha$ = 62,8°
ges: b; c; $\beta$

① Bestimme c:

sin α = $\tfrac{a}{c}$ |∙c
c ∙ sin α = a |: sin α
c = $\tfrac{a}{\text{sin α}}$
c = $\tfrac{8,4}{\text{sin (62,8°)}}$

\approx

9,4 (cm)

② Bestimme b (mit tan α oder mit dem Satz des Pythagoras):

tan α = $\tfrac{a}{b}$ |∙b
b ∙ tan α = a |: tan α
b = $\tfrac{a}{\text{tan α}}$
b = $\tfrac{8,4}{\text{tan (62,8°)}}$

\approx

4,3 (cm)

③ Bestimme β:

Winkelsummensatz für Dreiecke:
α + β + γ = 180°
β = 180° - α - γ
= 180° - 68,2° - 90°

= 27,2°

Beispiel 3: zwei Seiten sind gegeben (Kathete und Hypotenuse)

geg: rechtwinkliges Dreieck ( $\gamma$ = 90°); a = 6,3 cm; c = 9,1 cm
ges: b; α; β

① Bestimme c (Pythagoras):

a² + b² = c² | $\surd$
b = $\sqrt{\text{c²-a²}}$
b = $\sqrt{\text{9,1²-6,3²}}$

b

\approx

6,6 (cm)

② Bestimme den Winkel α :

sin α = $\tfrac{a}{c}$
sin α = $\tfrac{6,3}{9,1}$ | sin^-1

\alpha \approx

43,8°

③ Bestimme β:

Winkelsummensatz für Dreiecke:
α + β + γ = 180°
β = 180° - α - γ
= 180° - 43,8° - 90°

= 46,2°

Der Wert von Sinus, Kosinus und Tangens ist abhängig vom Winkel α. Jedem Sinuswert, Kosinuswert und Tangenswert ist ein Winkel zugeordnet. Den Winkel berechnest du mit der jeweiligen Umkehrfunktion sin^-1, cos^-1 bzw. tan^-1 dem Taschenrechner wie die Bilder zeigen:

Beispiel 4: zwei Seiten sind gegeben (beide Katheten)

geg: rechtwinkliges Dreieck ( $\gamma$ = 90°); a = 6,5 cm; b = 3,4 cm
ges: c; α; β

① Bestimme c (Pythagoras):

a² + b² = c² | $\surd$
c = $\sqrt{\text{a²-b²}}$
c = $\sqrt{\text{6,8²-3,4²}}$

c

\approx

7,3 (cm)

② Bestimme den Winkel α :

tan α = $\tfrac{a}{b}$
tan α = $\tfrac{6,8}{3,4}$ | tan^-1

\alpha \approx

62,4°

③ Bestimme β:

Winkelsummensatz für Dreiecke:
α + β + γ = 180°
β = 180° - α - γ
= 180° - 62,4° - 90°

= 27,6°

Der Wert von Sinus, Kosinus und Tangens ist abhängig vom Winkel α. Jedem Sinuswert, Kosinuswert und Tangenswert ist ein Winkel zugeordnet. Den Winkel berechnest du mit der jeweiligen Umkehrfunktion sin^-1, cos^-1 bzw. tan^-1 dem Taschenrechner wie die Bilder zeigen:

Die Videos fassen die Möglichkeiten der Berechnungen zusammen:

Übung 3

Löse die Aufgaben ausführlich im Heft, nutze die Schreibweisen der Beispiele. Übertrage die Planskizzen aus dem Buch in dein Heft.

S. 94 Nr. 1
S. 94 Nr. 2
S. 94 Nr. 3

a) Löse wie in Beispiel 1
b) Löse wie in Beispiel 2
c) Löse wie in Beispiel 4

d) Löse wie in Beispiel 3

Lösungen (der Größe nach sortiert)
2,9cm; 4,4cm; 5,7cm; 8,1cm; 12,2cm; 14,0cm;

29,7°; 37,7°; 52,3°; 60,3°; 60,5°; 62,6°

a) Löse wie in Beispiel 2
b) Löse wie in Beispiel 3
c) Löse wie in Beispiel 4

d) Löse wie in Beispiel 1

Lösungen (der Größe nach sortiert):
3,8cm; 5,7cm; 6,8cm; 7,8cm; 11,9cm; 14,1cm;

24,4°; 29,2°; 29,5°;57,5°; 60,8°; 65,6°

Löse wie in Beispiel 1

Lösungen:

3,731km; 4,952km

Übung 4

Zeichne zunächst eine Planskizze mit γ = 90° und markiere die gegebenen Größen. Berechne danach die fehlenden Größen. Notiere deine Rechnungen ausführlich. Buch

S. 95 Nr. 4

a) Löse wie in Beispiel 1.
b) Löse wie in Beispiel 4.
c) Löse wie in Beispiel 3.
d) Löse wie in Beispiel 1.
e) Löse wie in Beispiel 2.
f) Löse wie in Beispiel 2.

2.2 Anwendungsaufgaben

Übung 5 (online und im Heft)

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.

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Übung 6

Löse die folgenden Aufgaben aus dem Buch. Zeichne zu jeder Aufgabe eine passende Skizze (rechtwinkliges Dreieck) und notiere deine Rechnungen vollständig und übersichtlich.

S. 96 Nr. 14
S. 96 Nr. 15
S. 97 Nr. 17
S. 97 Nr. 19

Vergleiche deine Skizze:

Wandle 106m in km um, gleiche Einheiten!

Die Seile führen bis ca.

\tfrac{2}{3}

der Höhe des ganzen Mastes. Sie reichen hier also bis 400m, der Winkel bleibt bei 61°. Bestimme damit die Seillänge.

2.3 Zusammenhang Steigung m und Steigungswinkel α

Du hast zu Beginn drei Möglichkeiten wiederholt, die Steigung z.B. einer Straße anzugeben:
1. in Prozent (mit p% = m),
2. als Steigung m und
3. mit dem Steigungswinkel α.
Mithilfe des Tangens kannst du nun zu einer Steigung m den zugehörigen Steigungswinkel α angeben und umgekehrt.

Steigung m und Steigungswinkel α

Mithilfe des Tangens kannst du nun zu einer Steigung m den zugehörigen Steigungswinkel α angeben und umgekehrt.
Steigung m = $\frac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Horizontalunterschied}}$

m = $\tfrac{a}{b}$ und ebenfalls ist tan α = $\tfrac{a}{b}$ , also gilt

m = tan α

Berechne die Steigung m, wenn der Steigungswinkel α gegeben ist:

geg: α = 7°
ges: m
m = tan α
= tan (7°)
$\approx$ 0,123

= 12,3%

Berechne den Steigungswinkel α, wenn die Steigung m gegeben ist.

geg: m = 25% = 0,25
ges: α
tan α = m tan α = 0,25 |tan^-1

α = 14°

Übung 7

Löse die folgenden Aufgaben aus dem Buch. Zeichne zu jeder Aufgabe eine passende Skizze (rechtwinkliges Dreieck) und notiere deine Rechnungen vollständig und übersichtlich.

S. 96 Nr. 12
S. 96 Nr. 16

m=tanα Berechne mit dem Taschenrechner. Wandle danach danach den Dezimalbruch in Prozent um.

Im Bild sind die Steigungsdreiecke eingezeichnet. Erinnerung: "y durch x, sonst geht nix."

Rampe - Anwendungsaufgabe zur Steigung

Ein Kino möchte eine Rampe bauen. Damit Rollstuhlfahrer diese per Handbetrieb befahren können, darf die Steigung maximal 6% betragen.
a) Wie groß ist der Steigungswinkel α?
b) Wie lang wird die Rampe, wenn ein Höhenunterschied von 0,90 m überwunden werden muss?

Diskutiere deine Ideen mit deinem Partner. Löse dann im Heft. Denke an eine Skizze.

Die Steigung 6% bedeutet, dass m = 6% = 0,06 beträgt. Bestimme nun den Steigungswinkel α.

Erinnerung:
m = tan α |tan^-1

α = ...

Lösungen: α ≈ 3,43°; x ≈ 15 m

Rampen in Stadtlohn

Die nachfolgenden Bilder zeigen Rampen in Stadtlohn.

Gruppenarbeit: Wählt ein Bild aus und denkt euch eine Anwendungsaufgabe dazu aus.

2.4 Anwendungen im Raum

Übung 8

Löse die folgenden Aufgaben aus dem Buch. Zeichne zu jeder Aufgabe eine passende Skizze (rechtwinkliges Dreieck) und notiere deine Rechnungen vollständig und übersichtlich.

S. 105 Nr. 2
S. 105 Nr. 3
S. 105 Nr. 4
S. 105 Nr. 5

Applet zu Nr. 2

Teildreieck 1 zu Nr. 4

Teildreieck 2 zu Nr. 4

Wie lautet die Formel für das Volumen einer quadratischen Pyramide? Schlage in der Formelsammlung nach.
Bestimme die Körperhöhe h_K mit tan 72° = ...

Lösung:h_K = 22,3cm

Für die Berechnung des Volumens benötigst du die Körperhöhe h_K.
s = 25,4; β = 75°; sin 75° = ...

Lösung:h_K = 24,5 cm

Du benötigst auch die Länge der Grundkante a.
Bestimme zunächst die Länge der halben Diagonalen $\tfrac{d}{2}$ mit cos 75° = ...
Bestimme mit dem Satz des Pythagoras die Länge der Grundkante.

a² + a² = d²
2a² = d² |:2
a² = $\tfrac{d^2}{2}$ | $\surd$
a = $\sqrt{\tfrac{d^2}{2}}$
...

a ≈ 9,3 (cm)

Übung 9 (online und im Heft)

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.

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Um das Volumen zu bestimmen, berechne die Längen der Kanten b und c. V_Quader = a·b·c.

Aufgaben für Profis

Eine weitere Möglichkeit der Gelände-Vermessungen sind doppelte Peilungen: Schaffst du, die nachfolgenden anspruchsvollen Aufgaben?

Übung 10 (online und im Heft)

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.

54 **
55 ***
62 ***

Zeichne zwei rechtwinklige Dreiecke, ein rotes und ein blaues. Die Länge der Landebahn lässt sich dann aus den Seitenlänge berechnen:

Bestimme zunächst die Höhe des Daches. Im zweiten Schritt kannst du dann mit dem Satz des Pythagoras die Länge von x bestimmen.

Zwischenlösungen zu 55:
Bestimme r mithilfe des angegebenen Umfangs:
u_Kreis=2πr |:(2π)
$\tfrac{u}{2\pi}$ = r
Lösung: r = 2,8 (m)
Die Ankathete zur Berechnung der Seitenlänge a beträgt also 26+2,8 = 28,8 (m)
tanα = $\tfrac{a}{28,8}$
...
a = 16,6 (m)
...
b = 12,1 (m), also

h = a - b = 16,6 - 12,1 = 4,5 (m)

Die Gleichungen, die zur Lösung nötig sind, sind in der Aufgabenstellung gegeben.
Löse die Gleichung tan(48)·x = tan(25)·(50+x) nach x auf.
Lösung: x = 36,...

Setze dann x in die erste oder zweite Gleichung ein, um h zu bestimmen.

Löse die Gleichung tan(48)·x = tan(25)·(50+x) nach x auf.

tan(48)·x = tan(25)·(50+x)   |:tan(25)
$\tfrac{tan(48)}{tan(25)}$ ·x = 50 + x   |-x
2,38·x - 1x = 50
1,38x = 50   |:1,38
x ≈ 36,23.. (m)

Einsetzen in die zweite Gleichung liefert
h = tan(48)·x   |einsetzen
h = tan(48)·36,23..

h = 40,..

3) Berechnungen in allgemeinen Dreiecken

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2 Strecken- und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken