Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null
Aus ZUM Projektwiki
Das Verhalten einer Funktion im Unendlichen beschreibt, wie sich der Funktionswert
verhält, wenn
gegen
geht, also für sehr große positive und negative Werte von
. Bei ganzrationalen Funktionen der Form
kann man das Verhalten im Unendlichen untersuchen, indem man sich den Summanden des Funktionsterms mit dem größten Exponenten von
anschaut. Betrachte also
. Im Unendlichen verhalten sich
und
gleich, du musst also nur das Verhalten im Unendlichen von
untersuchen. Es gibt vier Fälle, die du dabei unterscheiden musst:
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Das Verhalten einer Funktion nahe Null beschreibt, wie sich der Funktionswert
verhält, wenn
gegen Null geht, also für sehr kleine Werte von
. Eine ganzrationale Funktion der Form
verhält sich nahe Null wie die Summe aus dem absoluten Glied
und dem Summanden mit der geringsten Potenz von x, die im Funktionsterm auftaucht.
Öffne das Quiz im Vollbildmodus und wähle die jeweils richtigen Antworten aus. Es können eine oder mehrere Antworten richtig sein. Es kann helfen, dir Notizen zu machen.
verhält sich im Unendlichen wie
. Für
geht
und für
geht
, da
eine gerade Zahl ist und
. Nahe Null verhält sich
wie
. Wenn man sich ein kleines Intervall um
anschaut, sieht der Graph von
dort lokal also aus wie eine Gerade mit der Steigung -3 und dem y-Achsenabschnitt 4. Der y-Achsenabschnitt von
ist daher auch 4.
verhält sich im Unendlichen wie
. Für
geht
und für
geht
, da
eine ungerade Zahl ist und
. Nahe Null verhält sich
wie
, also wie eine um den Faktor 4 gestreckte, nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt (und y-Achsenabschnitt) bei
.
Beschreibe in deinem Heft das Verhalten der nachfolgenden Funktionen und Funktionenscharen im Unendlichen und nahe Null. Gehe dazu vor wie in den Merkboxen oben.
a)
b)* mit
c)* mit