Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen: Unterschied zwischen den Versionen
Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
||
Zeile 327: | Zeile 327: | ||
'''f)''' <math>4abx+6axy+32abxyz</math> | '''f)''' <math>4abx+6axy+32abxyz</math> | ||
{{Lösung versteckt|1=Wir wollen den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 42 und 12 bestimmen. Die 42 ist in der 7er-Reihe. Denn <math>6\cdot 7=42</math>. Also ist 42 durch 7 teilbar. Eine Umkehraufgabe von <math>6\cdot 7=42</math> ist also <math>42:7=6</math>. Wenn wir 42 durch 7 teilen, kommt also eine ganze Zahl heraus, nämlich die 6. Das ist mit Teilbarkeit gemeint, beim Teilen kommt eine ganze Zahl heraus. Merke Dir also den Teiler 7. Wir gehen alle anderen Einmaleinsreihen durch und fragen uns, in welchen die 42 vorkommt. Die 42 ist auch in der 2er-Reihe, somit ist sie durch 2 teilbar, 2 ist ein Teiler von 42. Und die 42 ist in der 3er-Reihe, also ist sie durch durch 3 teilbar, 3 ist ein Teiler von 42. Die 42 ist auch in der 6er-Reihe, also ist 6 ein Teiler von 42. Danach gehen wir über das kleine Einmaleins hinaus und suchen weitere Teiler. Natürlich ist die 42 auch durch 42 und durch 1 teilbar. Jede Zahl ist nämlich durch sich selbst und durch 1 teilbar. Wir fassen das zusammen: Die 42 hat die Teiler 1, 2, 3, 6, 7, 21 und 42. Nimm als nächstes die Zahl 12. Sie ist natürlich durch 12 und durch 1 teilbar. Außerdem hat die 12 die Teiler 2, 3, 4 und 6. Wir fassen das auch zusammen: Die 12 hat die Teiler 1, 2, 3, 4, 6 und 12. Die gemeinsamen Teiler von 42 und 12 sind also 1, 2, 3 und 6. Der größte gemeinsame Teiler (kurz ggT wegen der Anfangsbuchstaben) von 12 und 42 ist also 6. Dies kann man kürzer schreiben: ggT(12,42)=6.|2=Beispiel: Der größte | {{Lösung versteckt|1=Wir wollen den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 42 und 12 bestimmen. Die 42 ist in der 7er-Reihe. Denn <math>6\cdot 7=42</math>. Also ist 42 durch 7 teilbar. Eine Umkehraufgabe von <math>6\cdot 7=42</math> ist also <math>42:7=6</math>. Wenn wir 42 durch 7 teilen, kommt also eine ganze Zahl heraus, nämlich die 6. Das ist mit Teilbarkeit gemeint, beim Teilen kommt eine ganze Zahl heraus. Merke Dir also den Teiler 7. Wir gehen alle anderen Einmaleinsreihen durch und fragen uns, in welchen die 42 vorkommt. Die 42 ist auch in der 2er-Reihe, somit ist sie durch 2 teilbar, 2 ist ein Teiler von 42. Und die 42 ist in der 3er-Reihe, also ist sie durch durch 3 teilbar, 3 ist ein Teiler von 42. Die 42 ist auch in der 6er-Reihe, also ist 6 ein Teiler von 42. Danach gehen wir über das kleine Einmaleins hinaus und suchen weitere Teiler. Natürlich ist die 42 auch durch 42 und durch 1 teilbar. Jede Zahl ist nämlich durch sich selbst und durch 1 teilbar. Wir fassen das zusammen: Die 42 hat die Teiler 1, 2, 3, 6, 7, 21 und 42. Nimm als nächstes die Zahl 12. Sie ist natürlich durch 12 und durch 1 teilbar. Außerdem hat die 12 die Teiler 2, 3, 4 und 6. Wir fassen das auch zusammen: Die 12 hat die Teiler 1, 2, 3, 4, 6 und 12. Die gemeinsamen Teiler von 42 und 12 sind also 1, 2, 3 und 6. Der größte gemeinsame Teiler (kurz ggT wegen der Anfangsbuchstaben) von 12 und 42 ist also 6. Dies kann man kürzer schreiben: ggT(12,42)=6.|2=Beispiel: Der größte gemeinsame Teiler von 12 und 42|3=schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Die Teiler einer Zahl kannst Du schneller finden, wenn Du die Teilbarkeitsregeln kennst. Eine Zahl ist genau dann durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist (0, 2, 4, 6 oder 8). Eine Zahl ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch 4 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 8 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten drei Ziffern gebildet wird, durch 8 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer durch 5 teilbar ist (0 oder 5). Eine Zahl ist genau dann durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist. Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist. | {{Lösung versteckt|1=Die Teiler einer Zahl kannst Du schneller finden, wenn Du die Teilbarkeitsregeln kennst. Eine Zahl ist genau dann durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist (0, 2, 4, 6 oder 8). Eine Zahl ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch 4 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 8 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten drei Ziffern gebildet wird, durch 8 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer durch 5 teilbar ist (0 oder 5). Eine Zahl ist genau dann durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist. Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist. |
Version vom 13. Juni 2019, 15:30 Uhr
Wiederholung: Terme und Gleichungen
Lies dir die folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.
Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der Zahlen, Variablen, Symbole für mathematische Verknüpfungen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) und Klammern enthalten kann.
Beispiele:
.
Eine Gleichung ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.
Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6)
Beispiele:
.
Terme vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier ein paar Beispiele.
Addieren:
Subtrahieren:
Multiplizieren:
Ausmultiplizieren:
Ausklammern:
.Bei einer Gleichung mit einer Variable, z.B. , ist vor allem derjenige x -Wert von Interesse, für den die Gleichung erfüllt, das heißt wahr, ist.
Der x-Wert, für den die Gleichung erfüllt ist, heißt Lösung der Gleichung.
"Wozu brauche ich das alles überhaupt?!". Gute Frage! Vielleicht, um eine Million Euro zu gewinnen...?
Wiederholung: Bruchrechnung
Beim Rechnen mit Termen und Gleichungen stößt man regelmäßig auf Brüche. Falls Du Dich damit noch ein wenig unsicher fühlst, schau Dir die folgenden Erklärungen an:
1. Zwei Brüche mit gleichem Nenner (gleichnamige Brüche) werden addiert, indem man ihre Zähler addiert und den gemeinsamen Nenner beibehält.
2. Vorgehensweise für ungleichnamige Brüche:
Ungleichnamige Brüche oder nicht gleichnamige Brüche sind Brüche, die unterschiedliche Nenner haben.
Diese Brüche mit verschiedenen Nennern addiert man, indem man die Brüche auf denselben Nenner bringt. Hierzu muss mindestens einer der Brüche gekürzt oder erweitert werden. Oftmals müssen beide Brüche erweitert werden. Der neue, gemeinsame Nenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der alten Nenner. Anschließend kann wieder wie oben mit gleichen Nennern addiert werden.
Kürzen
Allgemein:
kürzen mit n:
Ein Beispiel:
kürzen mit 2:
Erweitern
Allgemein:
erweitern mit m:
Ein Beispiel:
erweitern mit 4:Brüche werden miteinander multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.
Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammenfassen
Nutze das Distributivgesetz! Klammere die Variable aus und fasse innerhalb der Klammer zusammen.
Beispiel: .Zu b) und c): Um die Brüche zu addieren oder subtrahieren, bringe sie auf denselben Nenner.
Beispiel: .a)
b)
c)
Nutze das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz, es gilt für die Addition) und sortiere nach Variablen!
Beispiel: .
Beachte Du kannst auch Subtraktionen als Additionen umschreiben und dann das Kommutativgesetz anwenden.
Beispiel:a)
b)
c)
Gleiche Variablen mit unterschiedlichem Exponenten (z.B. und ) dürfen bei der Addition nicht zusammengefasst werden!
Beispiel: .a)
b) , das fällt hier weg, da sind.
c)
Klammern in Termen auflösen
Terme durch Ausklammern in Produkte umformen
Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen
Lineare Gleichungen lösen
Quadratische Gleichungen lösen
Lineare Gleichungssysteme lösen
Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es unterschiedliche Verfahren und Herangehensweisen. Die folgenden Aufgaben können alle mithilfe von zwei Verfahren gelöst werden:
- Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst
- Überlege, wie du die Gleichungen addieren musst, damit die Unbekannte weg fällt
- Berechne die Unbekannten
- Eine Gleichung nach einer Variable auflösen
- Den Term für diese Variable in die andere Gleichung einsetzen
- Gleichung nach der Variablen auflösen
- Die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 einsetzen und so die andere Variable berechnen
Lineare Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben nutzen
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.