Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Verschiebung entlang der y-Achse

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Quadratische Funktionen - Startseite

1 Quadratische Funktionen entdecken
2 Die Normalparabel f(x) = x²
3 Die gestreckte und gestauchte Parabel: Bedeutung des Parameters a in f(x) = ax²
4 Die verschobene Parabel: Bedeutung des Parameters c in f(x) = ax² + c
5 Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen f(x) = a(x+d)² + e
6 Die Normalform f(x) = x² + px + q und die allgemeine Form quadratischer Funktionen f(x) = ax² + bx + c
7 Nullstellen quadratischer Funktionen

8 Modellieren (Anwendungsaufgaben)

4 Die verschobene Parabel: Bedeutung des Parameters c in f(x) = ax² + c

f(x) = ax² + c Bedeutung des Parameters c

Untersuche die Bedeutung des Parameters c in der Gleichung f(x) = ax² + c mithilfe der Geometriesoftware GeoGebra.

• Gib im Algebrafenster die Gleichung f(x) = x² ein. Es wird die Normalparabel gezeichnet.
• Erstelle einen Schieberegler a.
• Erstelle einen Schieberegler c.
• Gib im Algebrafenster die Gleichung f(x) = ax² + c ein. Verändere den Wert von c mithilfe des Schiebereglers. (Die Bedeutung des Parameters a hast du schon erarbeitet.)
• Wie verändert sich die Parabel? Notiere deine Beobachtungen.

Link zu GeoGebra

Falls du die Schieberegler nicht erstellen kannst, nutze das nachfolgende Applet.

Die verschobene Parabel: Bedeutung des Parameters c in f(x) = ax² + c

Der Graph der Funktion f(x) = ax² + c ist eine Parabel mit dem Scheitelpunkt S(0|c). Der Faktor a bestimmt die Öffnung und Form der Parabel, der Summand c verschiebt den Scheitelpunkt entlang der y-Achse.

Übung 8a - Verlauf der Parabel

Bearbeite die nachfolgende LearningApps-Sammlung

Übung 8b - Verlauf der Parabel

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Kontrolliere deine Lösungen mit GeoGebra (Parabeln zeichnen lassen).

• S. 13, Nr. 4
• S. 13, Nr. 5
• S. 13, Nr. 8

Übung 9 - online

Bearbeite auf der Seite realmath so viele Aufgaben, bis mindestens 300 Punkte gesammelt hast.

• Parabeln zeichnen

f(x) = ax² + c - Liegt der Punkt auf dem Graphen (Punktprobe) bzw. fehlende Koordinaten bestimmen

Auch bei Parabeln der Form f(x) = ax² + c kannst du mithilfe der "Punktprobe" prüfen, ob ein gegebener Punkt auf der Parabel liegt.
Beispiel: Liegen die Punkte P(2|6) bzw. Q(1|-2) auf dem Graphen von f(x) = 2x² - 4?

Setze die Koordinaten des Punktes P in die Funktionsgleichung ein.

f(x) = ax² + c; P(2|6)
6 = 2·2² - 4
6 = 2·4 - 4  |+4
10 = 8 (f)
Es ergibt sich eine falsche Aussage, also liegt der Punkt nicht auf der Parabel.

f(x) = ax² + c; Q(1|-2)
-2 = 2·1² - 4
-2 = 2·1 - 4  |+4
2 = 2 (r)
Es ergibt sich eine wahre Aussage, also liegt der Punkt auf der Parabel.

Ebenso kannst du eine fehlende Koordinate (x oder y) berechnen, indem du die gegebene Koordinate in die Gleichung einsetzt und die Gleichung dann auflöst.

Übung 10 - Punktprobe - Liegt der Punkt auf der Parabel?

Löse die Aufgaben aus dem Buch.

• S. 14, Nr. 14 (Punktprobe)

"Punktprobe"!

Setze die Koordinaten der Punkte in die Funktionsgleichungen ein und prüfe, ob eine wahre (w) Aussage oder falsche (f) Aussage entsteht. Demnach liegt der Punkt auf der Parabel bzw. nicht auf der Parabel.

f(x) = ax² + c - Bestimmen die Funktionsgleichung

Für die Funktionsgleichung f(x) = ax² + c sind c und ein Punkt auf der Parabel gegeben. Dann kannst du den Wert von a mithilfe der "Punktprobe" bestimmen.

Übung 11 - Den Faktor a bestimmen - Funktionsgleichung aufstellen

Löse die Aufgaben aus dem Buch.

• S. 14, Nr. 10
• S. 14, Nr. 13
• S. 14, Nr. 16 (Kontrolliere mit GeoGebra)

Bilderfolge zu GeoGebra:

Übung 12: Modellieren mit quadratischen Funktionen

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Erstelle eine Skizze und notiere deine Lösungen ausführlich und übersichtlich.

• S. 25 Nr. 5 (*)
• S. 25 Nr. 7 (**)
• S. 25 Nr. 8 (***)
• S. 25 Nr. 9 (**)

Alle Schaubilder sind entlang der y-Achse verschobene Parabeln, da die Gleichungen immer die Form f(x)=ax²+c haben. Skizziere jeweils die Parabel und überlege, welche Bedeutung die gesuchte Größe hat:

• Scheitelpunkt S (höchster/tiefster Punkt)
• Nullstellen N_1/N₂ (Schnittpunkte mit der x-Achse; also y = 0!)
• beliebiger Punkt auf der Parabel

Skizze: f(x) = 0,0125x² - 12
Die Parabel ist nach oben geöffnet, gestaucht (wegen 0,0125) und um 12 Einheiten entlang der y-Achse nach unten verschoben (wegen -12)

Der Durchmesser der Antenne entspricht dem Abstand zwischen den beiden Nullstellen N_{1 und} N₂.
Bestimme die Nullstellen: Dort gilt y = 0 !! (bzw. f(x) = 0)
0,0125x² - 12 = 0   |+12
0,0125x² = 12    |:0,0125
x² = 960     |$\surd$
x₁ = -30,98; x₂ = +30,98

Berechne nun den Durchmesser der Antenne.

Skizziere die Flugbahn des Balls so in ein Koordinatenkreuz, dass die Funktionsgleichung die Form f(x)=ax²+c hat. Der Scheitelpunkt liegt also auf der y-Achse!

Die Funktionsgleichung hat die Form f(x)=ax²+c.
c=5 kannst du am Scheitelpunkt S(0|5) ablesen.

Bestimme nun a, indem du die Koordinaten einer Nullstelle N₁(-25|0) bzw. N₂(25|0) in die Funktionsgleichung einsetzt und nach a auflöst.

Sortiere in der LearningApp passend, was jeweils mathematisch gesucht ist.
Bearbeite danach die Aufgaben.

Das Applet zeigt die Flugbahn des Balls. Verschiebe den Punkt P auf der Parabel so, dass er zu den jeweiligen Fragestellungen passt. Welchen Punkt musst du zur Lösung der Aufgaben zunächst berechnen?
Originallink:https://www.geogebra.org/m/vtqcvs6s

gesucht: Höhe des Balls 1m nach dem Abschuss.
Zunächst musst du also die Abschussstelle berechnen, mathematisch ist dies die Nullstelle N₁.
Nullstellen berechnen: y = 0 !! (bzw. f(x) = 0)
-$\tfrac{1}{160}$x² + 4 = 0   |Löse die Gleichung.
...
x₁≈-25,3; x₂≈25,3
Der x-Wert des Punktes 1m nach dem Abschuss ist also x = -24,3, also P(-24,3|_?_)
Bestimme nun rechnerisch die zugehörige y-Koordinate durch einsetzen von x = -24,3 in die Funktionsgleichung.

Prüfe mithilfe des Applets im vorherigen Tipp.

gesucht:x-Wert bei einer Höhe von 2m.
Du kennst als vom Punkt P die Höhe, also die y-Koordinate y = 2.
Setze dies in die Funktionsgleichung ein und löse nach x auf.
2 = -$\tfrac{1}{160}$x² + 4  |Löse die Gleichung.
...

Warum erhältst du zwei Lösungen? Erkläre anhand der Skizze im vorherigen Tipp.

gesucht:x-Wert der größten Höhe

Die größte Höhe erreicht der Fußball im Scheitelpunkt. Welcher x-Wert gehört hier zum Scheitelpunkt? Vergleiche deine Lösung mit der Skizze im vorherigen Tipp.

gegeben: Gegenspieler mit 1,90m Größe, also beträgt die y-Koordinate 1,90;
10 m vom Abschuss entfernt, also beträgt die x-Koordinate -25,3 + 10 = -24,3
gesucht: Wie hoch ist der Ball in dieser Entfernung, also P(-24,3|__?__)
Setze die x-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und berechne y. Vergleiche diesen Wert mit der Körpergröße des Gegenspielers.

Vergleiche deine Lösung mit der Skizze im vorherigen Tipp.

Skizziere den Verlauf der Parabel.
Die Funktionsgleichung hat die Form f(x) = ax² + c, also liegt der Scheitelpunkt S auf der y-Achse (die Parabel ist symmetrisch zur y-Achse).
Da a = -$\tfrac{1}{400}$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet (a negativ) und gestaucht (a zwischen 0 und -1).
c = 25, also liegt der Scheitelpunkt auf der y-Achse im Punkt S(25|0).

Die Flugweite entspricht dem Abstand zwischen den Nullstellen.

Der höchste Punkt der Flugbahn ist der Scheitelpunkt. Aufgrund der Form der Funktionsgleichung f(x) = ax² + c liegt dieser auf der y-Achse, also ist der x = 0.

5 Scheitelpunktform quadratischer Funktionen