Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Lineare Funktionen

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In diesem Lernpfad kannst du dein Wissen über lineare Funktionen anwenden und erweitern und dein Verständnis vertiefen. Das Kapitel behandelt die Zusammenhänge zwischen linearen Funktionen, ihren Funktionsgleichungen, ihren Funktionsgraphen und darauf liegenden Punkten. In Aufgaben ohne * kannst du Gelerntes wiederholen und vertiefen. Aufgaben mit einem * sind Forderaufgaben und Aufgaben mit ** sind besonders anspruchsvolle Knobelaufgaben. Das Kapitel beginnt mit einem Quiz zur Wiederholung und endet mit zwei Anwendungsaufgaben.

Lineare Funktionen - ein Überblick

Aufgabe 1: Weißt du's noch?

Beantworte die Fragen zu linearen Funktionen. Es können auch mehrere Antworten möglich sein.

Bei einer linearen Funktion hat die unabhängige Variabel maximal den Exponenten $1$.

Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade, da der Exponent der unabhängigen Variabel maximal $1$ ist.

Die Funktionsvorschrift gibt immer eine bestimmte Rechnung vor, bei welcher der Wert der unabhängigen Variabel variiert werden kann. Wird dafür ein fester Wert eingesetzt, haben wir eine bestimmte Rechnung mit festen Zahlen, wo nur ein Ergebnis rauskommen kann. (Z.B. ist $4+3=7$ und es kann nicht sein, dass auch $4+3=8$ gilt.) Daher sind auch Kreise oder ähnliches als Funktionsgraphen nicht möglich.

Da der Graph einer linearen Funktion immer eine Gerade ist, steigt dieser entweder, oder er fällt, oder er ist konstant. Einen Wechsel kann es dabei nicht geben. Hat somit ein Graph einmal einen $y$-Wert, zum Beispiel $2$ erreicht und steigt, so wird er den $y$-Wert $2$ danach nicht mehr treffen, da er nur noch Werte größer als $2$ annimmt. Um die $2$ nochmal zu erreichen müsste der Graph fallen, was nicht möglich ist, da er eine Gerade ist. Wenn der Graph allerdings konstant ist, wird ein $y$-Wert durchgehend angenommen.

Der $y$-Achsenabschnitt ist der Punkt, an dem der Graph der Funktion die $y$-Achse schneidet. Hier ist $x=0$. Da $m$ mit $x$ multipliziert wird, wird dieser Ausdruck $0$ und es bleibt nur $b$ übrig.

Der $x$-Achsenabschnitt ist der Punkt, an dem der Graph der Funktion die $x$-Achse schneidet. Hier ist der Funktionswert $f(x)=0$.

Die Steigung ist bei linearen Funktionen immer der Vorfaktor von der Variablen, also der Wert mit dem das $x$ multipliziert wird. Dieser Faktor beschreibt um wie viel sich der $y$-Wert verändert wenn sich das $x$ ändert. (z.B. steigt der $y$-Wert bei der Steigung $0.5$ um $0.5$ wenn sich der $x$-Wert um $1$ erhöht.)

Das Vorzeichen der Steigung gibt an ob der Graph steigt (positives Vorzeichen), oder fällt (negatives Vorzeichen). Dabei beschreibt die Steigung im Steigungsdreieck die Höhenveränderung bei einer Schrittweite von $1$.

Zwei Funktionen schneiden sich dort wo sie gleich sind. Man sucht also den Punkt im Koordinatensystem der von beiden Funktionen getroffen wird. Den $x$-Wert dieses Punktes kann man durch Gleichsetzten der Funktionen herausfinden. Den $y$-Wert durch Einsetzten des ausgerechneten $x$-Wertes in eine der beiden Funktionsgleichungen.

Das solltest du verinnerlichen!

Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade! Der Graph kann daher keine Kurven haben.

Auch eine Funktion, deren Funktionsterm nur aus einer Konstante besteht, hat als Funktionsgraphen eine Gerade. Diese ist parallel zur $x$-Achse, da sie jedem $x$-Wert den gleichen $y$-Wert zuordnet. (Schiebe $m$ in der unteren Abbildung auf $0$ und schaue dir den entstandenen Graphen an.)

Bei linearen Funktionen, aber auch bei den anderen Funktionstypen gilt: Einem $x$-Wert wird immer nur ein $y$-Wert zugeordnet.

Ist der Funktionsterm einer linearen Funktion eine Konstante, so wird dauerhaft nur ein $y$-Wert angenommen.

Ist der Funktionsterm einer linearen Funktion keine Konstante, so kann jeder $y$-Wert nur einmal getroffen werden.

Die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion ist von der Form $f(x) = mx + b$. Der Wert $b$ gibt dabei immer den $y$-Achsenabschnitt an. (Verändere in der unteren Abbildung $b$ und beobachte wie sich der Graph verändert.)

Den $x$-Achsenabschnitt, die sogenannte Nullstelle, berechnest du indem du $f(x)$ gleich $0$ setzt. Denn an dem Punkt, wo der Graph die $x$-Achse schneidet, ist der $y$-Wert gleich $0$.

Die Steigung ist der Vorfaktor der unabhängigen Variabel. Wenn die Funktionsgleichung von der Form $f(x) = mx + b$ ist, so ist die Steigung gleich dem Wert von $m$. Der Wert der Steigung gibt dabei die Höhe des Steigungsdreiecks an, wenn die Länge $1$ beträgt. (Verändere in der unteren Abbildung $m$ und betrachte das Steigungsdreieck.)

Das Vorzeichen der Steigung gibt an, ob die Gerade fällt (negatives Vorzeichen), oder steigt (positives Vorzeichen). (Beobachte wie sich der Graph verändert wenn du $m$ auf einen positiven oder auf einen negativen Wert schiebst.)

Den Schnittpunkt zweier Funktionen erhältst du durch Gleichsetzten der beiden Funktionsterme.

Lineare Funktionen erkennen

Aufgabe 2: Erkennst du sie?

Überlege, ob die folgenden Funktionsgleichungen und Graphen lineare Funktionen sind und ordne sie dem entsprechenden Feld zu.

Überlege dir, welche geometrische Form der Graph von linearen Funktionen hat.

Überlege dir, welchen maximalen Exponenten die unabhängige Variable einer linearen Funktion hat.

Überlege dir, ob ein $x$-Wert von einer Funktion mehrmals angenommen werden darf.

Keine Funktion: Der Kreis und die zur $y$-Achse parallelen Gerade sind keine Funktionen. Bei diesen Vorschriften werden $x$-Werte mehrmals getroffen, was bei Funktionen nicht sein darf.

Lineare Funktion: Alle Geraden, die nicht parallel zur $y$-Achse verlaufen (also nicht senkrecht sind) und alle Funktionen, bei denen die unabhängige Variabel maximal den Exponent $1$ hat, sind lineare Funktionen.

Andere Funktionstypen: Alle Graphen, bei denen die $x$-Werte jeweils nur einmal getroffen werden, aber keine Gerade darstellen und alle Funktionsgleichungen bei denen die unabhängige Variabel einen Exponenten hat der größer als $1$ ist, sind Funktionen aber sie sind nicht linear.

Lineare Funktionen - Bestimmung der Geradengleichung

Aufgabe 3: Eine Geradengleichung mithilfe von einem Punkt und der Steigung bestimmen*

Gegeben sei die Steigung der Geraden $m = 3,5$. Außerdem verlaufe die Gerade durch den Punkt $P(2/5)$. Bestimme in deinem Heft die Gleichung der Geraden in der Form $f(x) = mx + b$ und klicke dann auf das entsprechende Ergebnis.

Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form $f(x) = mx + b$ ein.

Setze zunächst für die Steigung $m = 3,5$, sodass dein erstes Gerüst $f(x) = 3,5x + b$ entsteht. Nutze in einem zweiten Schritt die Angabe des Punktes $P(2/5)$, sodass du mit $x = 2$ und $f(x) = 5$ die Gleichung $5 = 3,5\cdot2 + b$ erhältst. Bestimme nun mit Auflösung nach $b$ den Wert $b = -2$, sodass sich schließlich die Geradengleichung $f(x) = 3,5x - 2$ ergibt.

Aufgabe 4: Eine Geradengleichung mithilfe von zwei Punkten bestimmen*

Bestimme in deinem Heft die Gleichung der Geraden, welche durch die Punkte $P(3/-4)$ und $Q(8/6)$ verläuft, in der Form $f(x) = mx + b$ und klicke dann auf das entsprechende Ergebnis.

Bestimme die Steigung der Geraden mithilfe der Punkte $P$ und $Q$, indem du rechnest: $m = \frac{f(x)_Q - f(x)_P}{x_Q - x_P} = \frac{6 + 4}{8 - 3} = 2$. Wenn du Schwierigkeiten dabei hast, dir dieses Vorgehen zu erklären, stell dir vor, dass du an den Punkten $P$ und $Q$ des Graphen ein Steigungsdreieck zeichnest. Dann entspricht der Zähler der obigen Rechnung genau der Länge des y-Achsenabschnitts deines Steigungsdreiecks und der Nenner der obigen Rechnung der Länge des x-Achsenabschnitts deines Steigungsdreiecks.

Alternativ kannst du auch zwei Gleichungen erstellen, indem du die Angaben der Punkte $P(3/-4)$, d.h. $x = 3$ und $f(x) = -3$, und $Q(8/6)$, d.h. $x = 8$ und $f(x) = 6$ nutzt.

Wenn du nach der ersten Variante vorgegangen bist, also die Steigung berechnet hast, dann wähle nun einen der beiden Punkte $P$ oder $Q$ und setze in $f(x) = 2x + b$ die zugehörigen Werte für $x$ und $f(x)$ ein.

Wenn du nach der zweiten Variante vorgegangen bist, also zwei Gleichungen, jeweils mit den Unbekannten $m$ und $b$ aufgestellt hast, dann hast du ein lineares Gleichungssystem erhalten. Nun kannst du mithilfe des Eliminationsverfahrens zunächst die eine und dann die andere Unbekannte bestimmen.

Wenn du nach der ersten Variante vorgehen möchtest, also erst die Steigung $m$ und dann mithilfe eines der beiden Punkte $b$ bestimmen möchtest, dann ergibt sich zunächst für die Steigung: $m = \frac{f(x)_Q - f(x)_P}{x_Q - x_P} = \frac{6 + 4}{8 - 3} = 2$. Im Anschluss erhältst du durch Einsetzen des Punktes $P$ oder $Q$ entweder $-4 = 2 \cdot 3 + b$ oder $6 = 2 \cdot 8 + b$. Die Auflösung einer der beiden Gleichungen nach $b$ liefert $b = -10$, sodass du schließlich die Funktionsgleichung $f(x) = 2x - 10$ erhältst.

Wenn du nach der zweiten Variante vorgehen möchtest, stellst du mithilfe der beiden Punkte $P$ und $Q$ ein lineares Gleichungssystem zweier Gleichungen, jeweils mit den beiden Unbekannten $m$ und $b$ auf. Dann erhältst du die beiden Gleichungen $-4 = m \cdot 3 + b$ und $6 = m \cdot 8 + b$. Ziehe nun die Gleichungen voneinander ab, sodass du $b$ eliminieren kannst. Bestimme nun mithilfe der Auflösung nach $m$ die Unbekannte $m = 2$. Setze nun ein eine der beiden Gleichungen dein Ergebnis für $m$ ein und bestimme dann mithilfe der Auflösung nach $b$ die Unbekannte $b = -10$. Damit erhältst du schließlich die Funktionsgleichung $f(x) = 2x - 10$.

Prüfen, ob Punkte auf einer Geraden liegen

Aufgabe 5: Punkte auf dem Graphen

Prüfe für die angegebenen linearen Funktionen, welche Punkte auf dem Funktionsgraphen liegen. Arbeite zunächst im Heft und ordne dann jeder Funktion durch Anklicken die Punkte zu, die auf ihrem Graphen liegen. Hinweis: Einer Funktion können mehrere Punkte zugeordnet sein, aber jedem Punkt ist nur genau eine Funktion zugeordnet.

Beginne mit Punkten, die du leichter zuordnen kannst.

Überlege, wie du feststellen kannst, welchen Funktionswert die Funktionen an einer bestimmten Stelle x annehmen.

Wir setzen beispielhaft den x-Wert des Punktes $(-1|1)$ in die Funktion $f(x) = 2x + 3$ ein und prüfen den Funktionswert. Dann ergibt sich: $f(-1) = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1$. Der Punkt liegt also auf dem Graphen der Funktion.
Nun setzen wir in dieselbe Funktion noch den x-Wert des Punktes $(2|10)$ ein. Es ergibt sich: $f(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7$. Der Funktionswert an der Stelle 2 ist nicht 10, sondern 7. Der Punkt $(2|10)$ liegt also nicht auf dem Graphen.
Für die anderen Punkte und Funktionen geht man genauso vor und erhält:
Auf dem Graphen der Funktion $f(x) = 2x + 3$ liegen die Punkte: $(-1|1)$,$(0|3)$,$(2|7)$,$(1|5)$.
Auf dem Graphen der Funktion $f(x) = -x + 12$ liegen die Punkte: $(2|10)$,$(12|0)$,$(\frac{7}{2}|\frac{17}{2})$,$(9|3)$.
Auf dem Graphen der Funktion $f(x) = -\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}$ liegen die Punkte: $(-1|-1)$,$(5|-5)$.
Auf dem Graphen der Funktion $f(x) = \frac{3}{8}$ liegen die Punkte: $(4|\frac{3}{8})$,$(9|\frac{9}{24})$.

Eine lineare Gleichung einer Geraden zuordnen

Aufgabe 6: Finde Paare*

Ordne den gegebenen linearen Gleichungen die zugehörige Gerade zu. Beachte: Nicht zu jeder Gleichung ist eine Gerade gegeben.

Überlege, was der jeweilige y-Achsenabschnitt ist.

Nicht vergessen: Für $f(x) = mx + n$ ist n der y-Achsenabschnitt, also die Stelle, an der die Gerade die y-Achse schneidet.

Überlege, ob die Steigung positiv oder negativ ist und wie stark die Steigung ist.

Nicht vergessen: Für $f(x) = mx + n$ ist m die Steigung der Geraden.

Den Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen

Aufgabe 7: Bestimme den Schnittpunkt

Berechne zunächst den Schnittpunkt der beiden Geraden und kreuze dann die richtige Antwort an.

Der Schnittpunkt der Geraden ist der Punkt, an dem die Geraden gleich sind.

Setzte die beiden Geraden gleich und löse dann nach x auf.

Lineare Funktionen im Anwendungskontext

Aufgabe 8: Wasser für die Katze*

Marc und Susanne haben eine Katze, die Kitty heißt. Sie vergessen leider oft, ihren Wassernapf aufzufüllen. Marc und Susanne haben daher zwei Behälter gebastelt, aus denen kontinuierlich Wasser tropft. In Marcs Behälter (Behälter A) passen $500ml$ Wasser und er ist nach $15$ Stunden leer. In Susannes Behälter (Behälter B) passen $300ml$ rein und er ist erst nach $20$ Stunden leer. Jetzt möchten die beiden herausfinden, welcher Behälter sich besser für ihre Katze eignet.

a) Stelle für beide Behälter jeweils eine Funktionsvorschrift auf, mit der du zu jeder Zeit die Wassermenge berechnen kannst, die sich noch im Behälter befindet. Zeichne für beide Funktionen den Funktionsgraphen in dein Heft.

Um eine lineare Funktion aufstellen zu können, brauchst du zwei Punkte. Suche diese beiden Punkte im Text für die jeweiligen Behälter.

Die Punkte für den Behälter A sind $(0|500)$ und $(15|0)$. Die Punkte für den Behälter B sind $(0|300)$ und $(20|0)$. Setze für jeden Behälter die jeweiligen beiden Punkte in die allgemeine Form der linearen Funktion ein.

Behälter A:

Wir haben die Punkte $(0|500)$ und $(15|0)$ und die allgemeine Funktionsgleichung $f(x) = m*x+b$. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

$(0|500)$: $f(0) = m*0+b = 500$, wodurch $b=500$ folgt.

$(15|0)$: $f(15) = m*15+b=0$. Da wir schon wissen, dass $b=500$ ist, folgt hieraus, dass $m=-\frac{100}{3}$ ist.

Setzt man nun $m$ und $b$ in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir $f(x) = -\frac{100}{3} * x + 500$

Behälter B:

Wir haben die Punkte $(0|300)$ und $(20|0)$ und die allgemeine Funktionsgleichung $g(x) = n*x+a$. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

$(0|300)$: $g(0) = n*0+a = 300$, wodurch $a=300$ folgt.

$(20|0)$: $g(20) = n*20+a=0$. Da wir schon wissen, dass $a=300$ ist, folgt hieraus, dass $n=-15$ ist.

Setzt man nun $n$ und $a$ in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir $g(x) = -15 * x + 300$

Grün: Behälter A, Rot: Behälter B

b) In Kittys Napf passen 150ml Wasser. Läuft der Napf nach 5 Stunden bei einem der beiden Behälter über, wenn dieser vorher leer war und Kitty in den 5 Stunden nichts trinkt?

Überlege dir, welche Variable dir die Stundenzahl angibt. Setze für diese Variable 5 ein.

Setze $x=5$ und berechne $f(5)$ und $g(5)$. Überlege dir wofür der Wert steht, den du bei ausrechnen erhalten hast.

Der Wert gibt dir an, wie viel Wasser noch in dem jeweiligen Behälter enthalten ist. Um die Menge im Wassernapf zu berechnen, musst du berechnen, wie viel schon aus dem Behälter getropft ist.

Die Variable $x$ steht für unsere Stundenzahl, also setzten wir für $x$ $5$ ein.

Behälter A: Wir berechnen also $f(5)=-\frac{100}{3} * 5 + 500 =\frac{1000}{3}$. Dieser Wert gibt an, wie viel Wasser nach den fünf Stunden noch im Behälter A ist. Um zu berechnen, welche Menge im Napf ist, müssen wir von der Anfangsmenge $500ml$ die $\frac{1000}{3} ml$ abziehen und erhalten somit, dass ca. $167ml$ in dem Napf sind. Dieser läuft also über.

Behälter B: Wir berechnen also $g(5)=-15 * 5 + 300 =225$. Dieser Wert gibt an, wie viel Wasser nach den fünf Stunden noch im Behälter B ist. Um zu berechnen, welche Menge im Napf ist, müssen wir von der Anfangsmenge $300ml$ die $225ml$ abziehen und erhalten somit, dass ca. $75ml$ in dem Napf sind. Dieser läuft also nicht über.

Aufgabe 9: Schulbus**

Nach der Schule verpasst Isolde den Bus und müsste nun den Weg von 11km nach Hause laufen. Sie ruft ihre Mutter an und bittet sie, sie abzuholen. Ihre Mutter fährt ihr auf der Landstraße mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 72 km/h entgegen. Isolde geht in ihre Richtung und geht dabei durchschnittlich 75m pro Minute.

a) Stelle eine Funktionsvorschrift für Isoldes Entfernung von zu Hause und eine Funktionsvorschrift für die Entfernung der Mutter von zu Hause in Abhängigkeit von der Zeit auf.

Welche Informationen aus der Aufgabe entsprechen welchen Eigenschaften der gesuchten Funktionen?

Achte darauf, dass die Funktionen die Entfernung in der gleichen Einheit angeben und auch für die Zeit beide die gleiche Einheit verwenden sollten. Das erleichtert das spätere Rechnen mit den Funktionen.

Wie weit sind beide zu Beginn von zu Hause entfernt? Leite aus diesen Informationen die y-Achsenabschnitte der Funktionen ab.

Wir geben die Zeit in Minuten und die Entfernung in Metern an. Die Funktion $f(x)=ax+b$ soll Isoldes Entfernung von zu Hause und die Funktion $g(x)=cx+d$ die Entfernung der Mutter von zu Hause beschreiben.
Isolde ist zu Beginn 11km, also 11000m von zu Hause entfernt. Der y-Achsenabschnitt von f ist demnach a=11000. Isolde legt pro Minute 75m zurück. Dabei entfernt sie sich nicht von zu Hause, sondern nähert sich. Die Steigung b ist deshalb negativ und beträgt -75. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift $f(x)=-75x+11000$.
Die Mutter startet zu Hause, der y-Achsenabschnitt d von g(x) ist also gleich 0. Sie fährt mit einer Geschwindigkeit von 72km/h, was 1200m pro Minute entspricht. Damit entfernt sie sich von zu Hause, die Steigung d ist deshalb positiv und beträgt 1200. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift $g(x)=1200x$.

b) Berechne, wie lange es dauert, bis die beiden sich treffen.

Welchem Punkt der Funktionsgraphen von f und g entspricht der Treffpunkt der beiden?

Setze die Funktionsvorschriften gleich und löse nach x auf.

Wir setzen die Funktionsvorschriften gleich, um den x-Wert des Schnittpunktes zu bestimmen.
$\begin{align} -75x+11000 & = 1200x \quad | +75x \\ 11000 & = 1275x \quad | : 1275 \\ \frac{440}{51} & = x \approx 8,6\end{align}$.

Es dauert ungefähr 9 Minuten, bis die beiden sich treffen.