Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Lineare Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
Aus ZUM Projektwiki
Keine Bearbeitungszusammenfassung Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
Keine Bearbeitungszusammenfassung Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
||
Zeile 86: | Zeile 86: | ||
{{Lösung versteckt|1 = Bestimme mithilfe der angegebenen Geschwindigkeiten die Steigungen der Funktionen. Achte dabei darauf, dass die Funktionen die Entfernung in der gleichen Einheit angeben und auch für die Zeit beide die gleiche Einheit verwenden sollten. Das erleichtert das spätere Rechnen mit den Funktionen.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}} | {{Lösung versteckt|1 = Bestimme mithilfe der angegebenen Geschwindigkeiten die Steigungen der Funktionen. Achte dabei darauf, dass die Funktionen die Entfernung in der gleichen Einheit angeben und auch für die Zeit beide die gleiche Einheit verwenden sollten. Das erleichtert das spätere Rechnen mit den Funktionen.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}} | ||
{{Lösung versteckt|1 = Wie weit sind beide zu Beginn von zu Hause entfernt? Leite aus diesen Informationen die y-Achsenabschnitte der Funktionen ab.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}} | {{Lösung versteckt|1 = Wie weit sind beide zu Beginn von zu Hause entfernt? Leite aus diesen Informationen die y-Achsenabschnitte der Funktionen ab.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}} | ||
{{Lösung versteckt|1 = Wir geben die Zeit in Minuten und die Entfernung in Metern an. Die Funktion <math>f(x)=ax+b</math> soll Isoldes Entfernung von zu Hause und die Funktion <math>g(x)=cx+d</math> die Entfernung der Mutter von zu Hause beschreiben.<br /> Isolde ist zu Beginn 11km, also 1100m von zu Hause entfernt. Der y-Achsenabschnitt von f ist demnach a=1100. Isolde legt pro Minute 75m zurück. Dabei entfernt sie sich nicht von zu Hause, sondern nähert sich. Die Steigung b ist deshalb negativ und beträgt -75. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>f(x)=-75x+1100</math>.<br />Die Mutter startet zu Hause, der y-Achsenabschnitt d von g(x) ist also gleich 0. Sie fährt mit einer Geschwindigkeit von 72km/h, was 1200m pro Minute entspricht. Damit entfernt sie sich von zu Hause, die Steigung d ist deshalb positiv und beträgt 1200. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>g(x)=1200x</math>.<br /> |2=Lösung|3=Lösung}} | {{Lösung versteckt|1 = Wir geben die Zeit in Minuten und die Entfernung in Metern an. Die Funktion <math>f(x)=ax+b</math> soll Isoldes Entfernung von zu Hause und die Funktion <math>g(x)=cx+d</math> die Entfernung der Mutter von zu Hause beschreiben.<br /> Isolde ist zu Beginn 11km, also 1100m von zu Hause entfernt. Der y-Achsenabschnitt von f ist demnach a=1100. Isolde legt pro Minute 75m zurück. Dabei entfernt sie sich nicht von zu Hause, sondern nähert sich. Die Steigung b ist deshalb negativ und beträgt -75. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>f(x)=-75x+1100</math>.<br />Die Mutter startet zu Hause, der y-Achsenabschnitt d von g(x) ist also gleich 0. Sie fährt mit einer Geschwindigkeit von 72km/h, was 1200m pro Minute entspricht. Damit entfernt sie sich von zu Hause, die Steigung d ist deshalb positiv und beträgt 1200. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>g(x)=1200x</math>.<br /> |2=Lösung|3=Lösung}} |
Version vom 3. Mai 2019, 06:53 Uhr
Lineare Funktionen - ein Überblick
- Eine lineare Funktion ist eine Gerade, sie hat keine Kurven.
- Auch eine Funktion mit nur einer Zahl (eine sogenannte Konstante) ist eine Gerade und demnach eine lineare Funktion.
- Grundsätzlich wird einem x-Wert immer nur ein y-Wert zugeordnet.
- Bei linearen Funktionen kann ein y-Wert immer nur von einem x-Wert getroffen werden, außer die Funktion ist eine Konstante. Dies ist bei anderen Funktionenarten nicht so!
- Der y-Achsenabschnitt ist bei linearen Funktionen immer der Wert ohne das x.
- Den x-Achsenabschnitt (die Nullstelle) berechnet man, indem man die Funktion gleich 0 setzt.
- Die Steigung ist der Vorfaktor vom x. Die Steigung beschreibt, um wie viel der y-Wert nach oben (unten bei negativen Vorzeichen) verschoben werden muss, wenn man den x-Wert um einen erhöht.
- Den Schnittpunkt zweier Funktionen erhält man durch Gleichsetzten die beiden Funktionsgleichungen.
Lineare Funktionen erkennen
Überlege dir, welche geometrischen Form der Graph von lineare Funktionen hat
Überlege dir, welchen maximalen Exponent lineare Funktionen haben
Überlege dir, ob ein x-Wert von einer Funktion mehrmals angenommen werden darf
Keine Funktion: Der Kreis und Gerade parallel zur y-Achse, sowie die Gleichungen die einem x durchgehend denselben Wert zuordnen. Bei all diesen werden x-Werte mehrmals getroffen, was bei einer Funktion nicht sein darf. Lineare Funktion: Alle Geraden, die nicht parallel zur y-Achse verlaufen. Alle Funktionen, die maximal den Exponent 1 haben.
Lineare Funktionen - Bestimmung der Geradengleichung
Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form ein.
Nach Einsetzen der Werte sollte deine Funktion folgendermaßen aussehen: . Nun lässt sich bestimmen und man erhält schlussendlich die Geradengleichung .
Bestimme die Steigung der Geraden, indem du mithilfe der Punkte und ein Steigungsdreieck aufstellst:
Erstelle zwei Gleichungen, welche die jeweiligen gegebenen Informationen enthalten, in der Form .
Nach Einsetzen der Werte sollten deine Funktionen folgendermaßen aussehen: und . Nun lässt sich bestimmen und man erhält schlussendlich die Geradengleichung .
Prüfen, ob Punkte auf einer Geraden liegen
Setze die Punkte in die Funktionsgleichungen ein.
Jeder Punkt liegt auf dem Graphen genau einer der Funktionen.
Beginne mit Punkten, die du leichter zuordnen kannst und gehe nach dem Ausschlussverfahren vor.
Wir setzen beispielhaft den Punkt in die Funktion ein. Dann ergibt sich: . Der Punkt liegt also auf dem Graphen der Funktion.
Nun setzen wir in dieselbe Funktion noch den Punkt ein. Es ergibt sich: . Der Funktionswert an der Stelle 2 ist nicht 10, sondern 7, der Punkt liegt also nicht auf dem Graphen.
Für die anderen Punkte und Funktionen geht man genauso vor und erhält:
Auf dem Graphen der Funktion liegen die Punkte: ,,.
Auf dem Graphen der Funktion liegen die Punkte: ,,,.
Auf dem Graphen der Funktion liegen die Punkte: ,.
Auf dem Graphen der Funktion liegen die Punkte: ,.
Auf dem Graphen der Funktion liegt der Punkt: .
Nun setzen wir in dieselbe Funktion noch den Punkt ein. Es ergibt sich: . Der Funktionswert an der Stelle 2 ist nicht 10, sondern 7, der Punkt liegt also nicht auf dem Graphen.
Für die anderen Punkte und Funktionen geht man genauso vor und erhält:
Auf dem Graphen der Funktion liegen die Punkte: ,,.
Auf dem Graphen der Funktion liegen die Punkte: ,,,.
Auf dem Graphen der Funktion liegen die Punkte: ,.
Auf dem Graphen der Funktion liegen die Punkte: ,.
Auf dem Graphen der Funktion liegt der Punkt: .
Eine lineare Gleichung einer Geraden zuordnen
Überlege, was der jeweilige y-Achsenabschnitt ist.
Nicht vergessen: Für f(x) = mx + n ist n der y-Achsenabschnitt, also die Stelle, an der die Gerade die y-Achse schneidet.
Überlege, ob die Steigung positiv oder negativ ist und wie stark die Steigung ist.
Nicht vergessen: Für f(x) = mx + n ist m die Steigung der Geraden.
Den Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen
Der Schnittpunkt der Geraden ist der Punkt, an dem die Geraden gleich sind.
Setzte die beiden Geraden gleich und löse dann nach x auf.
Lineare Funktionen im Anwendungskontext
a) Stelle eine Funktionsvorschrift für Isoldes Entfernung von zu Hause und eine Funktionsvorschrift für die Entfernung der Mutter von zu Hause in Abhängigkeit von der Zeit auf.
Bestimme mithilfe der angegebenen Geschwindigkeiten die Steigungen der Funktionen. Achte dabei darauf, dass die Funktionen die Entfernung in der gleichen Einheit angeben und auch für die Zeit beide die gleiche Einheit verwenden sollten. Das erleichtert das spätere Rechnen mit den Funktionen.
Wie weit sind beide zu Beginn von zu Hause entfernt? Leite aus diesen Informationen die y-Achsenabschnitte der Funktionen ab.
Wir geben die Zeit in Minuten und die Entfernung in Metern an. Die Funktion soll Isoldes Entfernung von zu Hause und die Funktion die Entfernung der Mutter von zu Hause beschreiben.
Isolde ist zu Beginn 11km, also 1100m von zu Hause entfernt. Der y-Achsenabschnitt von f ist demnach a=1100. Isolde legt pro Minute 75m zurück. Dabei entfernt sie sich nicht von zu Hause, sondern nähert sich. Die Steigung b ist deshalb negativ und beträgt -75. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift .
Die Mutter startet zu Hause, der y-Achsenabschnitt d von g(x) ist also gleich 0. Sie fährt mit einer Geschwindigkeit von 72km/h, was 1200m pro Minute entspricht. Damit entfernt sie sich von zu Hause, die Steigung d ist deshalb positiv und beträgt 1200. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift .
Isolde ist zu Beginn 11km, also 1100m von zu Hause entfernt. Der y-Achsenabschnitt von f ist demnach a=1100. Isolde legt pro Minute 75m zurück. Dabei entfernt sie sich nicht von zu Hause, sondern nähert sich. Die Steigung b ist deshalb negativ und beträgt -75. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift .
Die Mutter startet zu Hause, der y-Achsenabschnitt d von g(x) ist also gleich 0. Sie fährt mit einer Geschwindigkeit von 72km/h, was 1200m pro Minute entspricht. Damit entfernt sie sich von zu Hause, die Steigung d ist deshalb positiv und beträgt 1200. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift .
b) Berechne, wie lange es dauert, bis die beiden sich treffen.
Bestimme rechnerisch den Schnittpunkt der Funktionsgraphen von f und g.
Setze die Funktionsvorschriften gleich und löse nach x auf.
Wir setzen die Funktionsvorschriften gleich, um den x-Wert des Schnittpunktes zu bestimmen.
.