Herta-Lebenstein-Realschule/Ähnlichkeit und Strahlensätze/3) Strahlensätze: Unterschied zwischen den Versionen
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Um die Strecke <math>\overline{SB'}</math> einzustellen, nutze den Schieberegler für die Strecke <math>\overline{SB}</math> (oder bei Nr. 3 auch Schieberegler für die Strecke <math>\overline{SA}</math>) und verändere diese Länge so lange, bis der passende Wert für die Länge von <math>\overline{SB'}</math> erscheint. | Um die Strecke <math>\overline{SB'}</math> einzustellen, nutze den Schieberegler für die Strecke <math>\overline{SB}</math> (oder bei Nr. 3 auch Schieberegler für die Strecke <math>\overline{SA}</math>) und verändere diese Länge so lange, bis der passende Wert für die Länge von <math>\overline{SB'}</math> erscheint. | ||
Die Figur sieht teils anders aus, als die Abbildungen im Buch, entscheidend sind aber nur die Streckenverhältnisse. | Die Figur sieht teils anders aus, als die Abbildungen im Buch, entscheidend sind aber nur die Streckenverhältnisse.<br> | ||
Originallink https://www.geogebra.org/m/ktgvdhq4 | |||
<ggb_applet id="ktgvdhq4" width="800" height="610"></ggb_applet> | <ggb_applet id="ktgvdhq4" width="800" height="610"></ggb_applet> | ||
<small>Applet von C. Buß-Haskert<br> | |||
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{{Lösung versteckt|[[Datei:SP9 S.99 Nr.1.jpg|rahmenlos]]|Lösung zu Nr. 1|Verbergen}} | {{Lösung versteckt|[[Datei:SP9 S.99 Nr.1.jpg|rahmenlos]]|Lösung zu Nr. 1|Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|[[Datei:SP9 S.99 Nr.2.jpg|rahmenlos]]|Lösung zu Nr. 2|Verbergen}} | {{Lösung versteckt|[[Datei:SP9 S.99 Nr.2.jpg|rahmenlos]]|Lösung zu Nr. 2|Verbergen}} | ||
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{{Box|Die Strahlensätze für die x-Figur|Bisher haben wir nur Strahlensatzfiguren betrachtet, bei denen beide ähnlichen Dreiecke auf einer Seite vom Punkt S lagen. Bewege die roten Punkte beim folgenden GeoGebra-Applet und erkläre, wie sich die Strahlensatzfigur ändert. Welche Strecken entsprechen sich nun?|Arbeitsmethode}} | {{Box|Die Strahlensätze für die x-Figur|Bisher haben wir nur Strahlensatzfiguren betrachtet, bei denen beide ähnlichen Dreiecke auf einer Seite vom Punkt S lagen. Bewege die roten Punkte beim folgenden GeoGebra-Applet und erkläre, wie sich die Strahlensatzfigur ändert. Welche Strecken entsprechen sich nun?|Arbeitsmethode}} | ||
Originallink https://www.geogebra.org/m/CQafknDF | |||
<ggb_applet id="CQafknDF" width="800" height="610"></ggb_applet> | <ggb_applet id="CQafknDF" width="800" height="610"></ggb_applet> | ||
<small>Applet von Serlo Education<br></small><br> | |||
Die nachfolgende Video zeigt die Strahlensätze in dieser sogenannten x-Figur und Beispiele zu Streckenberechnungen. | Die nachfolgende Video zeigt die Strahlensätze in dieser sogenannten x-Figur und Beispiele zu Streckenberechnungen. | ||
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|Tipps zu Nr. 2a|Verbergen}} | |Tipps zu Nr. 2a|Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|Für die Strahlensatzfigur musst du eine Hilfslinie einzeichnen, parallel zum Boden|Tipp zu Nr. 3|Verbergen}} | {{Lösung versteckt|Für die Strahlensatzfigur musst du eine Hilfslinie einzeichnen, parallel zum Boden.|Tipp zu Nr. 3|Verbergen}} | ||
{{Box|Übung 5|Vermischte Übungen mit Lösungen findest du auf der Seite Mathe-Trainer. [http://www.mathe-trainer.de/Klasse9/Strahlensaetze/Aufgabensammlung.htm] | {{Box|Übung 5|Vermischte Übungen mit Lösungen findest du auf der Seite Mathe-Trainer. [http://www.mathe-trainer.de/Klasse9/Strahlensaetze/Aufgabensammlung.htm] |
Version vom 23. Mai 2023, 14:53 Uhr
3) Strahlensätze
In der Umwelt lassen viele Strecken sich nicht messen, wie z.B. die Höhe von Bäumen oder die Breite eines Sees. Hier hilft die Mathematik!
Wir können mithilfe von Vergleichsstrecken jeweils die Breite bzw. Höhe bestimmen. Wie genau, das lernst du in diesem Kapitel. Wir werden verschiedene Messmethoden kennen lernen, zur "Schattenmethode" sollt ihr schon jetzt Aufgaben selbst zusammenstellen (natürliche ohne sie schon zu lösen):
Nun aber zunächst zu den nötigen mathematischen Fähigkeiten, die du zur Lösung der Aufgaben benötigst.
Für die Streckenverhältnisse ergeben sich immer gleiche Werte:
= 0,45
= 0,45
= = 0,6
= = 0,6
= 1,3
= 1,3
= Erinnerung: Das ist der Streckungsfaktor k
= = 2
= = 2
Der Name "Strahlensatzfigur" wird gewählt, weil die Dreiecksseiten c und b bzw. c' und b' vom Punkt S aus gesehen zwei Strahlen (mit dem Anfangspunkt S) sind. Die parallelen Geraden g und g' sind die Verlängerungen der Seiten a bzw. a'. Die Strahlensätze machen Aussagen über die Streckenverhältnisse, die du oben für die zwei ähnlichen Dreieck aufgestellt hast. Die Bezeichnungen der Strecken ist dann entsprechend der Strahlensatzfigur, also c = ; c' = usw. Die Streckenverhältnisse des Einsteigsbeispiels gelten demnach auch hier. Dies sind die Strahlensätze.
Der erste Strahlensatz mach also Aussagen über die Streckenverhältnisse von Strecken auf den Strahlen, der zweite Strahlensatz über die Streckenverhältnisse von Strecken auf den parallelen Geraden und den Strahlen.
Die Streckenverhältnisse des ersten Strahlensatz heißen für unsere ähnlichen Dreiecke im Beispiel
==k
Die Streckenverhältnisse des zweiten Strahlensatzes sind in unserem Beispiel entsprechend
==k und ==kZum besseren Verständnis noch einmal links die Erklärung und rechts einige Beispiele in Videos:
Du kannst deine Ergebnisse mithilfe des GeoGebra-Applets prüfen. Stelle dazu die Längen mit den Schiebereglern passend ein.
Um die Strecke einzustellen, nutze den Schieberegler für die Strecke (oder bei Nr. 3 auch Schieberegler für die Strecke ) und verändere diese Länge so lange, bis der passende Wert für die Länge von erscheint.
Die Figur sieht teils anders aus, als die Abbildungen im Buch, entscheidend sind aber nur die Streckenverhältnisse.
Originallink https://www.geogebra.org/m/ktgvdhq4
Applet von C. Buß-Haskert
Originallink https://www.geogebra.org/m/CQafknDF
Applet von Serlo Education
Die nachfolgende Video zeigt die Strahlensätze in dieser sogenannten x-Figur und Beispiele zu Streckenberechnungen.
Kontrolliere hier deine Ergebnisse der Verhältnisgleichungen zu Aufgabe 4. Stelle dazu mit den Schiebereglern die Länge der Strecken passend ein:
3.1) Die Strahlensätze anwenden
Die Strahlensätze helfen, schwer zugängliche oder weit entfernte Streckenlängen zu bestimmen.
Schreibe das folgende Beispiel in dein Heft:
Die Länge eines Sees soll bestimmt werden. Dazu werden drei Strecken an Land gemessen und dann mit dem Strahlensatz die Länge des Sees berechnet.
1. Die Strahlensatzfigur ist in der Skizze gegeben. Wo sind die Strahlen? Wo sind die Parallelen?
2. Verhältnisgleichung: =
3. Gleichung lösen: x = · 120
x = 150
4. Antwort: Der See ist 120 m lang.
Welche Größen mussten gemessen werden, um die Höhe des Baumes berechnen zu können? Zeichne eine passende Strahlensatzfigur in dein Heft und bestimme die Höhe des Baums.
Die nachfolgenden Tipps helfen dir bei der Lösung der Aufgabe.
Verhältnisgleichung
=
x+102 =·102
x = ·102 - 102
x = 145 [m]Die nachfolgenden Tipps helfen dir bei der Lösung der Aufgabe.
Verhältnisgleichung
=
x+86 =·x
58(x+86)= 95·x
58x+4988 = 95x
4988 = 95x - 58x
4988 = 37x
134,8 [m] = xDie nachfolgenden Tipps helfen dir bei der Lösung der Aufgabe.
Verhältnisgleichung
=
x =·20
x = 80 [m]
3.2) Messmethoden
Die Schattenmethode
Erkläre anhand des Bildes, wie sich mit den Schattenlängen und den Strahlensätzen die Baumhöhe bestimmen lässt. Welche Längen musst du messen?
Du musstest als Aufgabe ein eigenes Beispiel zu Schattenmethode erstellen (Handyfoto und Messungen).
Löse "deine" Aufgabe.
Das Försterdreieck
Das Försterdreieck ist ein GLEICHSCHENKLIGES Dreieck. Erkläre, wie du die Baumhöhe mithilfe des Försterdreiecks und deiner Schrittlänge bestimmen kannst.
Löse danach auf der Seite Aufgabenfuchs Nr. 22 https://mathe.aufgabenfuchs.de/flaeche/dreieck/strahlensatz.shtml
Der Messkeil
Erkläre, wie du mit einem Messkeil und den Strahlensätzen die Breite einer Öffnung bestimmen kannst.
Mit einer Messlehre lässt sich die Dicke von Drähten bestimmen. Erkläre.
Löse S. 103 Nr. 11.
Die Daumenpeilmethode
S. 102 Nr. 4