Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Lineare Funktionen

Lineare Funktionen - ein Überblick

Aufgabe 1: Nice to know!

Beantworte die Fragen zu linearen Funktionen. Es können auch mehrere Antworten möglich sein.

Was du schon gelernt hast!

1. Eine lineare Funktion ist eine Gerade, sie hat keine Kurven.
2. Auch eine Funktion mit nur einer Zahl ( eine sogenannte Konstante) ist eine Gerade und demnach eine lineare Funktion.
3. Grundsätzlich wird einem x-Wert immer nur ein y-Wert zugeordnet.
4. Bei linearen Funktionen kann ein y-Wert immer nur von einem x-Wert getroffen werden, außer die Funktion ist eine Konstante. Dies ist bei anderen Funktionenarten nicht so!
5. Der y-Achsenabschnitt ist bei linearen Funktionen immer der Wert ohne das x.
6. Den x-Achsenabschnitt (die Nullstelle) berechnet man indem man die Funktion gleich 0 setzt.
7. Die Steigung ist der Vorfaktor vom x. Die Steigung beschreibt um wie viel der y-Wert nach oben (unten bei negativen Vorzeichen) verschoben werden muss, wenn man den x-Wert um einen erhöht.
8. Den Schnittpunkt zweier Funktionen erhält man durch Gleichsetzten die beiden Funktionsgleichungen.

Lineare Funktionen erkennen

Aufgabe 2: Erkennst du sie?

Überlege ob die folgenden Funktionsgleichungen und Graphen lineare Funktionen sind und ordne sie dem entsprechenden Feld zu.

Überlege dir welche geometrischen Form der Graph von lineare Funktionen hat

Überlege dir welchen maximalen Exponent lineare Funktionen haben

Überlege dir ob ein x-Wert von einer Funktion mehrmals angenommen werden darf

Keine Funktion: Der Kreis und Gerade parallel zur y-Achse, sowie die Gleichungen die einem x durchgehend den selben Wert zuordnen. Bei all diesen werden x-Werte mehrmals getroffen, was bei einer Funktion nicht sein darf. Lineare Funktion: Alle Geraden die nicht parallel zur y-Achse verlaufen. Alle Funktionen die maximal den Exponent 1 haben.

Lineare Funktionen - Bestimmung der Geradengleichung

Aufgabe 3: Wie lautet die Gleichung der Geraden?

Gegeben sei die Steigung der Geraden $m = 3,5$. Außerdem verlaufe die Gerade durch den Punkt $P(2/5)$. Bestimme die Gleichung der Geraden in der Form $f(x) = mx + b$.

Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form $f(x) = mx + b$ ein.

Nach Einsetzen der Werte sollte deine Funktion folgendermaßen aussehen: $5 = 3,5 * 2 + b$. Nun lässt sich $b$ bestimmen und man erhält schlussendlich die Geradengleichung $f(x) = 3,5x - 2$.

Aufgabe 4: Finde die gesuchte Geradengleichung!

Bestimme die Gleichung der Geraden, welche durch die Punkte $P$ und $Q$ verläuft, in der Form $f(x) = mx + b$. Die Koordinaten der Punkte seien: $P(3/-4)$ und $Q(8/6)$.

Bestimme die Steigung der Geraden, indem du mithilfe der Punkte $P$ und $Q$ ein Steigungsdreieck aufstellst: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{6 + 4}{8 - 3} = 2$

Erstelle zwei Gleichungen, welche die jeweiligen gegebenen Informationen enthalten, in der Form $f(x) = mx + b$.

Nach Einsetzen der Werte sollten deine Funktionen folgendermaßen aussehen: $-4 = 2 * 3 + b$ und $6 = 2 * 8 + b$. Nun lässt sich $b$ bestimmen und man erhält schlussendlich die Geradengleichung $f(x) = 2x - 10$.

Prüfen, ob Punkte auf einer Geraden liegen

Aufgabe 5: Prüfe für die angegebenen linearen Funktionen, welche Punkte auf dem Funktionsgraphen liegen.

Ordne jeder Funktion durch Anklicken die Punkte zu, die auf ihrem Graphen liegen.

Setze die Punkte in die Funktionsgleichungen ein.

Jeder Punkt liegt auf dem Graphen genau einer der Funktionen.

Beginne mit Punkten, die du leichter zuordnen kannst und gehe nach dem Ausschlussverfahren vor.

1) in die Funktion $f(x) = 2x + 3$ ein. Dann ergibt sich: $f(-1) = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1$. Der Punkt liegt also auf dem Graphen der Funktion.
Nun setzen wir in dieselbe Funktion noch den Punkt (2