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Gleichungen (mit Klammern) Startseite
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1) Gleichungen mit Klammern

Idee

Landwirt Mertens hat bisher eine quadratische Weide für seine paar Schafe. Da nun an dieser Stelle eine Landstraße ausgebaut werden soll, fragt die Stadt den Landwirt, ob er ein flächengleiches, rechteckiges Grundstück auf der anderen Seite seines Bauernhofes gegen seine quadratische Weide tauschen würde. Diese Weide ist zwar vier Meter kürzer, dafür aber fünf Meter länger.

Landwirt Mertens überlegt:

1. Hilf ihm und finde die Maße der Weiden heraus. Bearbeite diese Aufgabe in deinem Heft. Wenn du nicht weißt, wie du vorgehen sollst, schaue dir nach und nach die Tipps unten an.
2. Wie bist du vorgegangen, um die mathematische Gleichung zu lösen? Notiere deine Vorgehensweise im Heft.

Was ist gegeben?

zwei flächengleiche Flächen (Quadrat und Rechteck) SKIZZE !

x = Seitenlänge der quadratischen Weide

x - 4 = eine Seitenlänge der rechteckigen Weide (4m kürzer)

x + 5 = andere Seitenlänge der rechteckigen Weide (5m länger)

Versuche nun eine Gleichung aufzustellen.

Die beiden Weiden sind flächengleich, d.h. ihr Flächeninhalt ist gleich.

Benutze zum Aufstellen der Gleichung die Formeln für die Berechnung des Flächeninhaltes eines Quadrats und eines Rechtecks.

Beide Flächen sind gleich groß, daher lautet die Gleichung:

x² = (x – 4) (x + 5)

Versuche nun x zu berechnen. Löse hierfür zunächst die Klammern auf.

Du hast nun herausgefunden, dass die Länge und Breite der quadratischen Weide je 20m beträgt. Damit kannst du jetzt die Seitenlängen der rechteckigen Weide berechnen. Setze hierfür x = 20 in deine aufgestellten Terme ein:

• x - 4 (eine Seitenlänge des Rechtecks)
• x + 5 (andere Seitenlänge des Rechtecks)

Das nachfolgende Video erklärt dieses Problem noch einmal:

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Gleichungen mit Klammern lösen Schritt-für-Schritt

Du gehst beim Lösen von Gleichungen mit Klammern immer nach demselben Lösungsverfahren vor. Löse die Gleichungen schrittweise. Der erste Schritt ist das Auflösen der Klammern, dies hast du im Kapitel "Terme mit Klammern" gelernt. Die Symbole über den Klammern sollen dir helfen, die Klammer richtig aufzulösen.

Probe: Setze in die Gleichung für die Variabel deine Lösung ein, berechne jeweils die beiden Seiten der Gleichung und schau, ob eine wahre Aussage entsteht:

Das Video fasst die Schritte noch einmal in einem Beispiel zusammen:

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Übung 1: Gleichungen lösen Schritt für Schritt

Erkläre die Schritte, die zur Lösung der Gleichungen nötig sind. Klicke im Applet auf "Tipps", um die Schritte der Reihe nach anzuzeigen.

Übung 2: Gleichungen lösen Schritt für Schritt

Bringe in der LearningApp die Lösung der Gleichung in die richtige Reihenfolge.

Übung 3: Minusklammer, Ausmultiplizieren und Summen multiplizieren

Löse auf der Seite realmath so viele Aufgaben, bis du jeweils mehr als 300 Punkte hast.

• Level 1 (10 Aufgaben fehlerfrei rechnen)
• Level 2(10 Aufgaben fehlerfrei rechnen)
• Level 3
• Level 4
• Level 5

Übung 4: Minusklammer, Ausmultiplizieren und Summen multiplizieren

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Schreibe die Gleichung in dein Heft. Strukturiere die Aufgabe, indem du die entsprechenden Symbole über die Klammern schreibst. Löse dann Schritt für Schritt wie im Beispiel oben. Falls die Aufgabenstellung es fordert, mache auch eine Probe.

• S. 27 Nr. 1
• S. 27 Nr. 2
• S. 27 Nr. 4
• S. 27 Nr. 5
• S. 27 Nr. 7.

Hier handelt es sich jeweils um Minusklammern . Du löst die Klammern auf, indem du die Zeichen in der Klammer umkehrst.

Lösungen (bunt gemischt) zu Nr. 1

x= 4; x = 1

Hier löst du die Klammern durch Ausmultiplizieren auf.

.

Lösungen (bunt gemischt) zu Nr. 2
-5; -3; 2

Du musst die Klammer durch Ausmultiplizieren auflösen. Rechne also 3∙$\tfrac{1}{2}$x + ...
Wie multiplizieren wir Brüche? Zähler mal Zähler geteilt durch Nenner mal Nenner!

$\tfrac{3}{1}$∙$\tfrac{1}{2}$x = $\tfrac{3}{2}$x...

Wenn du Brüche addieren oder subtrahieren möchtest, musst du sie zunächst gleichnamig machen. Erweitere also $\tfrac{9}{2}$ auf $\tfrac{18}{4}$. Nun kannst du davon $\tfrac{6}{4}$ subtrahieren und erhältst $\tfrac{12}{4}$=3

Das Lösungswort lautet SCHATZ

Überlege zunächst, wie die Klammern im ersten Schritt aufgelöst werden müssen, denke an die passenden Bilder. Vergleiche dann deine Lösungen.
Lösungen (bunt gemischt) zu Nr. 5
-2; -$\frac{1}{2}$; 3; 7; 51

Vorsicht: Hier sind zum Auflösen der Klammer zwei Schritte nötig! Zuerst multipliziere aus

, lass aber die Klammer noch stehen, da das Minuszeichen vor der Klammer noch wichtig ist.
Danach löse die Minusklammer auf .

Beispiel:
2n² - (n + 12)(2n + 3) = 18 |
2n² - (2n² + 3n + 24n + 36) = 18     |
2n² - 2n² - 3n - 24n - 36 = 18          | gleichartige Terme zusammenfassen
-27n - 36 = 18          |+36
-27n = 54               | :(-27)

   n = -2

Übung 5: Gleichungen mit Binomen

Löse die LearningApp. Rechne Schritt für Schritt. Löse zuerst die Klammer mit den binomischen Formeln auf.

Übung 6: Gleichungen mit Binomen

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Rechne schrittweise und vergleiche deine Lösungen mit den Lösungen hinten im Buch S. 208.

• S. 37 Nr. 10
• S. 37 Nr. 12

Vorsich bei Nr. 10a und c:

Vor den Klammern steht teils ein Minuszeichen! Berechne also zunächst die binomischen Formeln und lass die Klammern stehen. In einem zweiten Schritt kannst du nun die Klammern auflösen und das Minuszeichen beachten!

Test 1

Bist du fit?

Hast du alle Hefteinträge abgeschrieben und alle Aufgaben gelöst? Dann bearbeite den Test 1. Du erhältst ihn von deiner Lehrerin.
Bearbeite den Test allein. Kontrolliere dein Ergebnis mit der Musterlösung.

Wie viele Punkte hast du erreicht? Wähle den weiteren Weg passend aus (Wiederholung oder weiter im Thema).

0-5 Punkte: Löse mindestens 10 Aufgaben aus der folgenden Übungssammlung. Löse die Aufgaben in deinem Heft und vergleiche deine Lösungen mit den Musterlösungen!

Gleichungen mit Klammern Level 1
Gleichungen mit Klammern Level 2
Gleichungen mit Klammern Level 3

6 - 9 Punkte: Gehe weiter zu Kapitel 2) Anwendungsaufgaben

2)Anwendungsaufgaben

Noch mehr Übungen findest du auf der Seite Aufgabenfuchs Nr. 29-38. Das Lösen von Gleichungen mit Klammern kannst du in diesem GeoGebra-Applet üben. Das Lösen von Gleichungen mit binomischen Formeln kannst du in diesem GeoGebra-Applet üben.