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1) Sinus, Kosinus, Tangens
2) Strecken- und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken
3) Berechnungen in allgemeinen Dreiecken

4) Berechnungen in beliebigen Figuren

1) Sinus, Kosinus, Tangens - Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken

1.1 Entdecken: Steigung einer Straße

Der Einstieg ist angelehnt an das Material des Landesbildungsservers BW https://www.schule-bw.de/faecher-und-schularten/mathematisch-naturwissenschaftliche-faecher/mathematik/unterrichtsmaterialien/sekundarstufe1/geometrie/trig/trigors/lernumgebung/index.html Es wurde unter der Lizenz CC BY veröffentlicht.


Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Steigung einer Straße anzugeben:

1. Angabe in Prozent Das Verkehrsschild gibt die Steigung einer Straße in Prozent an.
a) Was bedeutet die Angabe von 12% Steigung? Erkläre!

Tipp 1

Verwende die Begriffe Höhenunterschied und Horziontalunterschied

Tipp 2

Tipp 3

Steigung p% = $\frac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Horizontalunterschied}}$ = $\frac{12}{100}$=12%

b) Gibt es eine Steigung, die größer als 100% ist?

Tipp

Die Steigung 100% bedeutet 100m Höhenunterschied auf 100m Horizontalunterschied:

2. Angabe mithilfe des Steigungsdreiecks und m

Die Steigung einer Geraden f(x) = mx + b gibt der Faktor m an. Dazu zeichnest du das Steigungsdreieck.

m = $\tfrac{12}{100}$ = 0,12



3. Angabe mithilfe des Steigungswinkels α

Das nachfolgende Applet zeigt diese drei Möglichkeiten noch einmal. Verändere die Steigung mithilfe des Schiebereglers und beobachte, was passiert.

Applet von holo2012

Versuche herauszufinden, welcher Zusammenhang zwischen den verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten besteht.

1.     Verändere die Höhe und beobachte die anderen Angaben zur Steigung.

2.     Aktiviere das Kontrollkästchen "Steigung eines beliebigen Punktes auf der Straße" und verschiebe den Punkt P entlang der Straße.

Ergebnis: In den ähnlichen (rechtwinkligen) Dreiecken gilt:

Das Seitenverhältnis hängt nicht von der Größe der Dreiecke ab, sondern nur vom Winkel α.

Entdecken: Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken

Bearbeite die Aufgaben mithilfe des nachfolgenden Applets.

• Verändere durch Verschieben des Punktes C die Längen der Dreiecksseiten. Der Winkel soll gleich bleiben. Was stellst du für die Seitenverhältnisse $\tfrac{a}{c}; \tfrac{b}{c} und \tfrac{a}{b}$ fest? Notiere im Heft.
• Verändere nun mithilfe des Schiebereglers die Größe des Winkels α. Welche Veränderungen ergeben sich bei den Dreiecksseiten und den Seitenverhältnissen? Notiere im Heft.

Applet von C. Buß-Haskert

weiteres Applet zu den Seitenverhätnissen

Auch das folgende Applet zeigt die obigen Beobachtungen noch einmal. Bewege die Punkte B₁, B₂ und C₁ und beobachte die Seitenverhältnisse.

1.2 Definition: Sinus, Kosinus und Tangens: Streckenverhältinisse in rechwinkligen Dreiecken

Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken

In ähnlichen rechtwinkligen Dreiecken gilt:
Das Seitenverhältnis hängt nicht von der Größe der Dreiecke ab, sondern nur vom Winkel α.

Diesen Zusammenhang zwischen Winkelgröße und Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck beschreiben die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens.

In einem rechtwinkligen Dreieck bezeichnet man die Katheten bezogen auf den Winkel (z.B. $\alpha$) mit besonderen Namen:

Sinus, Kosinus, Tangens

In einem rechtwinkligen Dreieck (mit $\gamma$=90°) bezeichnet man die Seitenverhältnisse wie folgt:

Es gibt eine Eselsbrücke, mit der du dir die Streckenverhältnisse merken kannst:

Die GAGA- Hühnerhof AG:

G steht dabei für die Gegenkathete, A für die Ankathete und H für die Hypotenuse im Dreiecks.

1.3 Übungen: Sinus, Kosinus und Tangens - Streckenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken

Applet von T. Traub

Übung 1

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

• 4
• 6

und auf der Seite realmath die folgenden Übungen

• Übung 1 (realmath)
• Übung 2 (realmath)

Übung 2

Löse aus dem Buch

• S. 91 Nr. 5
• S. 91 Nr. 6
• S. 110 Nr. 3

Tipp zu Nr. 5

Diese Figur besteht aus drei rechtwinkligen Drieecken:
Dreieck ABC, Dreieck BCD und Dreieck ACD.

Im Dreieck ABC ist die Seite c die Hypotenuse, im Dreieck BCD ist die Seite a die Hypotenuse und im Dreieck ACD ist die Seite b die Hypotenuse.

Tipp zu Nr. 6

Diese Figur besteht aus drei rechtwinkligen Dreiecken:
Dreieck ABC, Dreieck ABD und Dreieck ADC.

Die Hypotenuse im Dreieck ABC ist die Seite a, die Hypotenuse im Dreieck ABD ist die Seite c und die Hypotenuse im Dreieck ADC ist die Seite b.

Lösungen zu Nr. 3

Die Lösungen zu den Aufgaben auf dieser Seite findest du hinten im Buch.

Übung 3 (online)

Löse die nachfolgenden Übungen der Seite dwu - Unterrichtsmaterialien:

• Übung 1
• Übung 2
• Übung 3
• Übung 4
• Übung 5
• Übung 6
• Übung 7
• Übung 8
• Übung 9

In den vorausgegangenen Übungen hast du jeweils die Seitenverhältnisse für Sinus, Kosinus und Tangens benannt. Wenn du die Länge der Seiten kennst, kannst du den Wert dieser Seitenverhältnisse berechnen.
Dieser hängt ab vom Winkel, wie oben erarbeitet.
Schau dazu das folgende Video an:

Sinus- und Kosinuswerte berechnen | Fundamente der Mathematik | Erklärvideo

Video laden

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Übung 4

Löse wie im Video aus dem Buch. Notiere die Seitenverhältnisse als Bruch und runde anschließend auf zwei Nachkommastellen.

• S. 91 Nr. 1
• S. 91 Nr. 2

Tipp zu Nr. 1

sin $\alpha$ = $\tfrac{8}{17}$ $\approx$ 0,47
cos$\alpha$ = $\tfrac{15}{17}$ $\approx$ 0,88

tan$\alpha$ = $\tfrac{8}{15}$ $\approx$ 0,53
usw.

Tipp zu Nr. 2

Es fällt auf, dass sin $\alpha$ = cos$\beta$ und sin $\beta$ = cos$\alpha$

Übung 5

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

• 5

Was fällt dir auf? Kannst du deine Beobachtung begründen?

Tipp

Es fällt auf, dass der Sinuswert eines Winkels zwischen 0° und 90° immer kleiner als 1 ist, denn

die Katheten immer kürzer als die Hypotenuse sind, daher ist der Quotient aus $\tfrac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$ immer kleiner als 1.

Die Werte der Seitenverhältnisse hängen ab vom Winkel. Ist in einem rechtwinkligen Dreieck (mit $\gamma$=90°) der Winkel $\alpha$ = 10°, so ist das Seitenverhältnis sin $\alpha$ = $\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$ immer gleich groß. Diesen Wert kannst du mit deinem Taschenrechner bestimmen. Die Bildreihenfolge zeigt dir, wie du z.B. den Sinuswert für den Winkel $\alpha$ =38° mit bestimmst.

Du hast also sin 38° $\approx$ 0,62 berechnet. Dies kannst du mit der Simulation auf der Seite Aufgabenfuchs oben oder mit der nachfolgenden überprüfen.

Ebenso berechnest du mit dem Taschenrechner die Werte für den Kosinus (mit der Taste "cos") und den Tangens (mit "tan").

Übung 6

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

• 7

Übung 7

Löse aus dem Buch

• S. 91 Nr. 3
• S. 91 Nr. 4

Tipp zu Nr. 3 und Nr. 4

Prüfe deine Lösungen zu den Sinuswerten mithilfe der Simulation über Übung 5.

Beobachtung zu Nr. 4

Die Sinuswerte und Kosinuswerte sind in umgekehrter Reihenfolge gleich. Es gilt sin α = cos (90° – α).

Die Werte für tan α werden immer größer, je näher α dem Wert 90° ist.

2) Strecken - und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken