Diese Seite des Lernpfades wurde teilweise übernommen von der Seite projekte.zum.de. Der Autor ist Buss-Haskert.
Diese Seite des Lernpfades wurde teilweise übernommen von der Seite Herta-Lebenstein-Realschule https://projekte.zum.de/wiki/Benutzer:Buss-Haskert/Potenzen. Der Autor ist Buss-Haskert. Diese Seite wurde veröffentlich unter der Lizens CC BY SA.
{{Lösung versteckt|1=Ziehe die Wurzel jeweils aus den einzelnen Faktoren, wenn die Faktoren Quadratzahlen sind. <br>
Wenn die einzelnen Faktoren keine Quadratzahlen sind, schreibe das Produkt unter ein Wurzelzeichen und berechne zunächst das Produkt. Dieses Produkt ist dann in der Regel eine Quadratzahl. <br>
Beispiel:<br>
2d) <math>\sqrt{400\cdot0,64}</math> Hier sind beide Faktoren jeweils Quadratzahlen, ziehe also die Wurzel und multipliziere dann die Ergebnisse.<br>
2c) <math>= \sqrt{400}\cdot\sqrt{0,64}
= 20 \cdot0,8
=16</math><br><math>\sqrt{2,5}\cdot\sqrt{0,9}</math> Hier sind die Zahlen unter der Wurzel (Radikanden) KEINE Quadratzahlen, schreibe also zunächst das Produkt unter eine Wurzel:<br>
<math>= \sqrt{2,5\cdot0,9}
= \sqrt{2,25}
</math> Das Produkt 2,25 ist eine Quadratzahl, hier kannst du wieder im Kopf die Wurzel berechnen.<br>
= 1,5
<br>|2=Entscheidungshilfe: Zuerst Wurzel ziehen oder unter ein Wurzelzeichen schreiben?|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=4a)<br>
<math>\sqrt{...} \cdot \sqrt{289}</math> = 34 |Hier siehst du, dass 289 eine Quadratzahl ist, also <br>
<math>\sqrt{...} \cdot</math> 17 = 34 <br>
Welche Zahl musst du mit 17 multiplizieren, damit das Produkt 34 beträgt? 2! <br>
Überlege, welche Zahl unter der Wurzel stehen muss, damit die Wurzel 2 beträgt? 2² = 4! Also:<br>
<math>\sqrt{4} \cdot \sqrt{289}</math> = 34<br>
4b)<br>
<math>\sqrt{14..} \cdot \sqrt{3}</math> = 21 |Hier siehst du, dass 3 KEINE Quadratzahl ist, also schreibe das Produkt unter ein Wurzelzeichen:<br>
Idee: Zerlege den Radikanden in ein Produkt, wobei ein Faktor eine QUADRATZAHL ist. Ziehe dann getrennt die Wurzel aus den beiden Faktoren|2=Beispielrechnung zu Nr. 7|3=Verbergen}}
{{Box|Übung 4(***)|Schreibe die Aufgaben aus dem Buch in dein Heft und löse.
* S. 81 Nr. 10
* S. 81 Nr. 11
* S. 81 Nr. 12|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Beispiel:<br>
10a) <math>\sqrt{9x}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{x}=3\sqrt{x}</math> 9 ist eine QUADRATZAHL, hier kannst du die Wurzel ziehen.<br>
b) <math>\sqrt{5a^2}=\sqrt{5}\cdot\sqrt{a^2}=\sqrt{5}\cdot a</math> a² ist eine QUADRATZAHL, hier kannst du die Wurzel ziehen.<br>|2=Beispiel zu Nr. 10|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=und nun wird es schwieriger<br>
f)<math>\sqrt{27s^2t^3} = \sqrt{9\cdot3s^2t^2t} = 3st\sqrt{3t}</math><br>Zerlege die Faktoren in Quadratzahlen und ziehe dann die Wurzel aus den einzelnen Faktoren.|2=Tipp zu 10f|3=Verbergen}}
Auch hier ist die Idee, die Zahlen unter der Wurzel in Produkte aus Quadratzahlen zu zerlegen und dann einzeln die Wurzel zu ziehen.|2=Tipp zu 10h|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Beispiel:<br>
11a)<math>\sqrt{\tfrac{2y^2}{18}}=\sqrt{\tfrac{1y^2}{9}}=\tfrac{\sqrt{1}\cdot\sqrt{y^2}}{\sqrt{9}}=\tfrac{y}{3}</math> Kürze zuerst, dann ziehe so weit wie möglich die Wurzel.<br>
11d) <math>\sqrt{\tfrac{24a}{8a^3}}=\sqrt{\tfrac{3}{a^2}}=\tfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{a^2}}=\tfrac{\sqrt{3}}{a}</math> Hier ist nur a² die Quadratzahl, du musst also teilweise die Wurzel ziehen.|2=Beispiele zu Nr. 11|3=Verbergen}}
<br>
<br>
===5.3 Addition und Subtraktion (Vorsicht!)===
Berechne die Terme und vergleiche. Was fällt dir auf?<br>
Bei der Addition und Subtraktion lassen sich die Radikanden '''NICHT!!!''' unter einer Wurzel zusammenfassen!
__INHALTSVERZEICHNIS_ERZWINGEN__
Version vom 29. November 2021, 15:04 Uhr
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Ziehe den Schieberegler im nachfolgenden GeoGebra-Applet und bearbeite die folgenden Aufgaben im Heft:
a) Gib die jeweilige Seitenlänge und den Flächeninhalt der Quadrate an bis zum Flächeninhalt 100 Kästchen.
b) Ein Quadrat hat den Flächeninhalt 169 Kästchen. Wie lang ist eine Seite?
c) Kannst du Quadrate mit dem Flächeninhalt von 2 Kästchen (3 Kästchen) zeichnen?
4.2 (Quadrat)wurzel - Definition
(Quadrat)wurzel - Definition
Die Quadratwurzel aus einer positiven Zahl b ist die positive Zahl a, die mit sich selbst multipliziert b ergibt:
Die Oberfläche eines Würfels besteht aus 6 Quadraten:
O = 6a²
24 = 6a² |:6
4 = a² |
...
Die Oberfläche der zusammengesetzten Würfel besteht aus nur 10 Quadraten, denn zwei Flächen innen berühren sich. Rechne dann wie in Aufgabe a)
Die Oberfläche der zusammengesetzten Würfel besteht aus 26 Quadraten, da nur die außen liegenden Quadrate gezählt werden.
Wenn 100 Quader in eine Reihe gelegt werden, entstehen 4∙100 + 2 = 402 quadratische Flächen mit dem Flächeninhalt a². Es gilt also O = 402a².
Bestimme nun die Kantenlänge a und berechne damit das Volumen.
Zähle die Quadratflächen, die zur Oberfläche gehören.
Lösung zu a) 22 Quadrate
b) 50 Quadrate
4.3 Irrationale Zahlen - Bestimmen von Quadratwurzeln
Quadratwurzeln von Zahlen, die keine Quadratzahl sind, lassen sich nur annähern.
So liegt z.B. der Wert von im Intervall [1;2], also zwischen und 1 und 2, denn 1² < 2 < 2².
Dieses Intervall kannst du verkleinern, um den Wert von auf mehrere Nachkommastellen anzunähern. Das nachfolgende Applet verdeutlicht dieses Vorgehen, die sogenannte Intervallschachtelung:
(Applet von W. Wengler)
hat unendlich viele Nachkommaziffern, die nie periodisch werden. Man kann diese Zahl also nicht als Bruch darstellen.
Irrationale Zahlen
Irrationale Zahlen sind Zahlen, die unendlich viele Nachkommastellen haben, die nicht periodisch werden. Quadratwurzeln aus Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, sind irrational.
Den meisten ist es zwar egal, doch ist irrational...
Du kannst durch Annäherung feststellen, zwischen welchen natürlichen Zahlen die Quadratwurzel einer Zahl liegt: liegt zwischen den Zahlen 5 und 6, denn
Wenn du die Kantenlänge eines Würfels mit einem Volumen von 8cm³ bestimmen möchtest, muss du die Zahl finden, die dreimal mit sich selbst multipliziert 8 ergibt:
222 = 23 = 8, die Kubikwurzel ist dann wie folgt definiert: =2
Die 3. Wurzel aus 8 ist 2. Die 3. Wurzel heißt auch Kubikwurzel (von engl. "cube" = Würfel).
Kubikwurzel - 3. Wurzel
Die 3. Wurzel einer Zahl a ist die Zahl b, die dreimal mit sich selbst malgenommen die Zahl a ergibt: bbb = a, also gilt =b.
Übung 8 - Kopfrechnen
Löse aus dem Buch
S. 79 Nr. 11
Übung 9 - Löse mit dem Taschenrechner
Löse aus dem Buch
S. 79 Nr. 12
S. 79 Nr. 13
S. 79 Nr. 15 (mit Taschenrechner)
Übung 10 - Anwendungen
Löse aus dem Buch
S. 79 Nr. 14
Beachte Schreibweisen:
geg: V = 512 cm³; ges: Kantenlänge a
a3 = 512 |
a =
a = 8 [cm]
Beachte, dass du zwei Würfel gegeben hast, also gilt:
2a3 = 843,75 |:2
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