Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.4 Anwendungen

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Vorwissen

1 Zuordnungen und Funktionen
2 Lineare Funktionen
2.1 Lineare Funktionen erkennen und darstellen
2.2 Funktionsgleichung und Funktionsgraph
2.3 Wertetabelle und Funktionsgleichung

2.4 Anwendungen

2.4 Lineare Funktionen im Aktivurlaub und andere Anwendungen

Es gibt Situationen in unserem Alltag, in denen sich Probleme oder Fragen mithilfe von linearen Funktionen beschreiben und lösen lassen. Solche Aufgaben nennen wir "Anwendungsaufgaben". Die Alltagssituation wird in ein mathematisches Modell übertragen, mit unserem Wissen zu den linearen Funktionen mathematisch gelöst und diese Lösung dann auf die Situation bezogen. Die nachfolgende Struktur hilft dir dabei:

Anwendungsaufgaben lösen

1. Notiere, was gegeben und was gesucht ist, also

geg:...

ges:...

2. Welche mathematischen Informationen habe ich?

- y-Achsenabschnitt

- Steigung

- Nullstelle

- einen beliebigen Punkt

3. Löse die Aufgabe mit deinem Wissen über lineare Funktionen.

- Funktionsgleichung aufstellen

- Schaubild/Graph zeichnen

- Koordinaten von Punkte berechnen

4. Beziehe deine mathematische Lösung auf die Alltagssituation und formuliere einen Antwortsatz.

Übung 1: Was ist mathematisch gesucht?

Bearbeite die folgende LearningApp.

Anwendungsaufgabe 1: Fahrradverleih

Du möchtest im Aktiv-Urlaub ein Fahrrad leihen.

a) Begründe, dass es sich um eine lineare Funktion handelt. Gib die Funktionsgleichung an und zeichne den Graphen.

b) Wie viel Euro musst du zahlen, wenn du das Fahrrad 3 Stunden ausleihst. Löse durch eine Rechnung und prüfe dein Ergebnis am Graphen.

c) Du hast 20 € zur Verfügung. Wie lange kannst du das Rad leihen? Löse durch eine Rechnung und prüfe dein Ergebnis am Graphen.

Tipp zu a)

Die Zuordnung lautet Zeit [Stunden] $\rightarrow$Kosten [€]

x gibt also die Zeit an, f(x) die Kosten.

Tipp zu b)

Du leihst das Fahrrad für 3 Stunden, also ist x=3. Setze in der Funktionsgleichung für x die Zahl 3 ein und berechne f(3).

Tipp zu c)

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Ideensammlung: mögliche Schulbuchaufgaben

• S. 133, Nr. 1

Tipps zu Nr. 1

Tipp zum Aufstellen des mathematischen Modells

Versuche aus dem Aufgabentext eine Funktionsgleichung nach dem Schema y = mx + b aufzustellen.

• Was stellt x und was y dar?
• 9:00 Uhr stellt die Startzeit (x=0) dar und gibt somit auch die Anfangslänge der Kerze an (=14cm).
• Versuche herauszufinden, wie viel cm die Kerze pro Stunde herunterbrennt. Du kannst damit starten die Differenz der angegebenen Kerzenlänge zwischen 9:00 und 12:00 Uhr zu berechnen. Dann weißt du schon einmal, wie viele cm sie in 3 Stunden heruntergebrannt ist. Wie viel ist es nun in einer Stunde? (Sie brennt gleichmäßig ab).

Tipp zu a)

• Wenn 9:00 Uhr die Startzeit und damit x=0 ist, welcher x-Wert entspricht dann 8:00 Uhr (1 Stunde vorher) bzw. 17:00 Uhr (8 Stunden später)?
• Setze die entsprechenden x-Werte in die Funktionsgleichung ein und berechne jeweils den fehlenden Wert.

Tipp zu b)

Gehe hier wie in a) vor. Welcher x-Wert entspricht 7:00 Uhr? Setze anschließend in die Gleichung ein und berechne.

Tipp zu c)

• Was bedeutet es in der Situation, wenn die Kerze abgebrannt ist? Sie ist 0cm hoch.
• Was bedeutet dieses mathematisch?
• Welche der beiden Variablen ist in dem Fall dann gleich 0?

Tipp zu d)

Die Funktionsgleichung muss sich bei einer anderen Kerze und einem anderen Abbrennverhalten auch verändern.

• Was bedeutet es mathematisch, wenn sie doppelt so schnell abbrennt? Welcher Wert (m= Steigung oder b=y-Achsenabschnitt) muss ebenfalls verdoppelt werden?
• Mathematisch kannst du aus der Sachsituationen einen Punkt erkennen, den du in die Gleichung einsetzen kannst. Um 10:00 Uhr (3 Stunden nach Anzünden der Kerze) war sie noch 10cm lang. Durch Einsetzen in die Gleichung kannst du einen fehlenden Wert berechnen.
• Nun kannst du bei der neuen Kerze berechnen, wie lange sie zum Abbrennen benötigt.

• S. 133, Nr. 2

Tipps zu Nr. 2

Tipp zum Aufstellen des mathematischen Modells

• Stelle zunächst fest, welche Preisspalte jeweils bei beiden Anbietern für Frau Aab überhaupt in Frage kommt.
• Versuche nun für jedes Fotoformat und jeden Anbieter eine Funktionsgleichung nach dem Schema y = mx aufzustellen. (Der y-Achsenabschnitt b entfällt, da z.B. keine Grundgebühr zu bezahlen ist.)
• Was stellt in dieser Situation x und was y dar?
• Was stellt in dieser Situation die Steigung m dar?

Tipp zum Lösen des mathematischen Modells

• Berechne nun mithilfe der aufgestellten Funktionsgleichung den Preis für die gewünschte Anzahl an Fotos, indem du den entsprechenden Wert in die Gleichung einsetzt und berechnest.

Tipp zum Interpretieren der mathematischen Ergebnisse

Vergleiche für jedes Fotoformat den Preis, den Frau Aab für die gewünschte Anzahl an Fotos bezahlen müsste. Welcher Anbieter ist jeweils günstiger?

andere Anwendungsaufgaben

Fahrt in den Urlaub
Janas Familie fährt mit dem neuen Auto in den Urlaub. Auf dem Tacho stehen schon 30km als sie losfahren. Laut Routenplaner benötigen sie bei einer festen Durchschnittsgeschwindigkeit 6 Stunden. Ihr Vater sagt: „Am Ankunftsort werden 540 km auf dem Tacho stehen.“ Jana fragt sich, mit welcher festen Durchschnittsgeschwindigkeit der Routenplaner rechnet.

Roaming-Gebühren
Seit Mitte 2017 gibt es keine Roaming-Gebühren in den EU-Ländern mehr. Da die Schweiz, in der Hannes und Paul Urlaub machen möchten, zu den Nicht-EU-Ländern gehört, müssen sie bei der Handynutzung aufpassen. Hannes findet im Internet drei verschiedene EU-Auslands-Sprach-Pakete für seinen Mobilfunkanbieter. Für welchen soll er sich entscheiden?

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