Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Abstände von Objekten im Raum: Unterschied zwischen den Versionen
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==Einstieg== | ==Einstieg== | ||
{{Box | Aufgabe 1 | | |||
Zu welcher Sachsituation passen die Rechenschritte jeweils? Ordne zu. | |||
1. Zwei Kinder befinden sich im Klettergarten auf zwei verschiedenen Seilen. Wo auf ihrem Seil müssen sie sein, damit sie sich am nächsten sind? Wie nah sind sie sich dann? | 1. Zwei Kinder befinden sich im Klettergarten auf zwei verschiedenen Seilen. Wo auf ihrem Seil müssen sie sein, damit sie sich am nächsten sind? Wie nah sind sie sich dann? | ||
A.<math>G(4|-10|19)</math> ist der Lotfußpunkt auf <math>g</math> und <math>H(-2|-12|22)</math> ist der Lotfußpunkt auf <math> | 2. Bei einem alten Haus soll bei der Renovierung ein Stützbalken vom Boden im Dachgeschoss zur oberen Dachkante gebaut werden. Er soll senkrecht auf dem Fußboden stehen. Wie lang muss er sein? | ||
3.Luke Skywalker fliegt in seinem Raumschiff zum Auskundschaften am Todesstern vorbei. Dieser befindet sich im Verhältnis zur geradlinigen Bewegung des Raumschiffs in Ruhe. Der Sensor auf dem Todesstern hat eine Reichweite von <math>10km</math>. Wird Luke mit seinem Raumschiff entdeckt? | |||
A. <math>h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 15 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}</math> ist die zu <math>E: x_3=10</math> orthogonale Gerade durch einen Punkt von <math>g</math>. Wegen <math>15-3s=10</math>, also <math>s=\frac{5}{3}</math>, erhält man den Lotfußpunkt <math>(2|0|10)</math>. | |||
B. | |||
C.<math>G(4|-10|19)</math> ist der Lotfußpunkt auf <math>g</math> und <math>H(-2|-12|22)</math> ist der Lotfußpunkt auf <math>h</math>. Der Abstand ist dann <math>d(g;h)=d(G;H)=\sqrt{(4-(-2))^2+(-10-(-12))^2+(22-19)^2}=\sqrt{36+4+9}=7</math>. | |||
3.Luke Skywalker fliegt in seinem Raumschiff zum Auskundschaften am Todesstern vorbei. Dieser befindet sich im Verhältnis zur geradlinigen Bewegung des Raumschiffs in Ruhe. Der Sensor auf dem Todesstern hat eine Reichweite von <math>10km</math>. Wird Luke mit seinem Raumschiff entdeckt? | 3.Luke Skywalker fliegt in seinem Raumschiff zum Auskundschaften am Todesstern vorbei. Dieser befindet sich im Verhältnis zur geradlinigen Bewegung des Raumschiffs in Ruhe. Der Sensor auf dem Todesstern hat eine Reichweite von <math>10km</math>. Wird Luke mit seinem Raumschiff entdeckt? | ||
| Farbe={{Farbe|orange}} }} | |||
==Abstand eines Punktes von einer Ebene== | ==Abstand eines Punktes von einer Ebene== | ||
===Das Lotfußpunktverfahren=== | ===Das Lotfußpunktverfahren=== | ||
{{Box | Aufgabe | {{Box | Aufgabe 2: Überblick: Abstand Punkt Ebene | | ||
[[Datei:Abstand Punkt Ebene.png|mini|height=50%| Abstand Punkt Ebene]] | [[Datei:Abstand Punkt Ebene.png|mini|height=50%| Abstand Punkt Ebene]] | ||
Bei dieser Aufgabe kannst du einen Überblick über die Bestimmung des Abstandes zwischen einem Punkt und einer Ebene mit dem Lotfußpunktverfahren bekommen. Es geht auch um wichtige Begriffe in diesem Zusammenhang. | Bei dieser Aufgabe kannst du einen Überblick über die Bestimmung des Abstandes zwischen einem Punkt und einer Ebene mit dem Lotfußpunktverfahren bekommen. Es geht auch um wichtige Begriffe in diesem Zusammenhang. | ||
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{{Box | 1=Merke: Abstand eines Punktes P zu einer Ebene E - Lotfußpunktverfahren | 2= Das Vorgehen aus Aufgabe | {{Box | 1=Merke: Abstand eines Punktes P zu einer Ebene E - Lotfußpunktverfahren | 2= Das Vorgehen aus Aufgabe 2 hier nochmal detalliert erklärt: | ||
# Stelle die Gleichung für die zu <math>E</math> orthogonale Gerade <math>g</math> (also die Lotgerade) durch <math>P</math> auf. Dabei kannst du als Stützvektor <math>\vec{p} </math> und als Richtungsvektor den Normalenvektor <math> \vec{n} </math> von <math>E</math> nutzen: <math>g:\vec{x}=\vec{p}+\vec{t}\cdot\vec{n}</math>. | # Stelle die Gleichung für die zu <math>E</math> orthogonale Gerade <math>g</math> (also die Lotgerade) durch <math>P</math> auf. Dabei kannst du als Stützvektor <math>\vec{p} </math> und als Richtungsvektor den Normalenvektor <math> \vec{n} </math> von <math>E</math> nutzen: <math>g:\vec{x}=\vec{p}+\vec{t}\cdot\vec{n}</math>. | ||
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{{Box | Aufgabe | {{Box | Aufgabe 3: Abstände von Punkt-Ebene zuordnen | | ||
Berechne die Abstände der verschiedenen Ebenen <math>E, F, G</math> zum Punkt <math>P(3|4|-2)</math>. | Berechne die Abstände der verschiedenen Ebenen <math>E, F, G</math> zum Punkt <math>P(3|4|-2)</math>. | ||
Ordne dann den Ebenen dem jeweiligen Abstand <math>d</math> zu. | Ordne dann den Ebenen dem jeweiligen Abstand <math>d</math> zu. | ||
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|Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }} | |Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }} | ||
{{Box | Aufgabe | {{Box | Aufgabe 4: Glaspyramide | | ||
[[Datei:Louvre-Bannenhaff-mat-Pyramid--w.jpg| rechts | rahmenlos | Glaspyramide des Louvre ]] | [[Datei:Louvre-Bannenhaff-mat-Pyramid--w.jpg| rechts | rahmenlos | Glaspyramide des Louvre ]] | ||
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|Arbeitsmethode}} | |Arbeitsmethode}} | ||
{{Box | Aufgabe | {{Box | Aufgabe 4: Glaspyramide | | ||
[[Datei:Louvre Museum Inverted pyramid 01.JPG| rechts | rahmenlos | ''Spitze der invertierten Glaspyramide'' ]] | [[Datei:Louvre Museum Inverted pyramid 01.JPG| rechts | rahmenlos | ''Spitze der invertierten Glaspyramide'' ]] | ||
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{{Box | Aufgabe | {{Box | Aufgabe 5: | | ||
Über dem Schuldach schwebt eine Drohne an der Stelle <math>A(3|4|-1)</math> und ein Falke schwebt auf der Stelle <math>B(1|7|4)</math>. Finde heraus, wer den geringeren Abstand zum Schuldach hat. Das Schuldach lässt sich durch folgende Gleichung beschreiben: <math>E: 8x_1-4x_2-x_3=5</math>. | Über dem Schuldach schwebt eine Drohne an der Stelle <math>A(3|4|-1)</math> und ein Falke schwebt auf der Stelle <math>B(1|7|4)</math>. Finde heraus, wer den geringeren Abstand zum Schuldach hat. Das Schuldach lässt sich durch folgende Gleichung beschreiben: <math>E: 8x_1-4x_2-x_3=5</math>. | ||
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{{Box | 1=Aufgabe | {{Box | 1=Aufgabe 6: Abstand paralleler Ebenen | 2= Gegeben ist die Ebene <math>E: 2x_1-3x_2+6x_3=13</math>. Bestimme zur Ebene <math>E</math> zwei parallele Ebenen, die von <math>E</math> den Abstand <math>5</math> haben. | ||
{{Lösung versteckt|1= Überlege dir, welchen Normalenvektor die Ebenen haben müssen, damit sie parallel zu <math>E</math> sind |2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}} | {{Lösung versteckt|1= Überlege dir, welchen Normalenvektor die Ebenen haben müssen, damit sie parallel zu <math>E</math> sind |2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}} | ||
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==Abstand eines Punktes von einer Geraden== | ==Abstand eines Punktes von einer Geraden== | ||
{{Box | 1=Aufgabe | {{Box | 1=Aufgabe 8: Grafische Darstellung: Abstand eines Punktes von einer Geraden | 2= | ||
Bewege den Punkt <math>Q</math> auf der Geraden <math>g</math>, um dir den jeweiligen Abstand zwischen den Punkten <math>P</math> und <math>Q</math> anzeigen zu lassen. Rechts neben der Geraden siehst du, wie groß der Abstand jeweils ist. | Bewege den Punkt <math>Q</math> auf der Geraden <math>g</math>, um dir den jeweiligen Abstand zwischen den Punkten <math>P</math> und <math>Q</math> anzeigen zu lassen. Rechts neben der Geraden siehst du, wie groß der Abstand jeweils ist. | ||
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| 3=Arbeitsmethode}} | | 3=Arbeitsmethode}} | ||
{{Box | 1=Aufgabe | {{Box | 1=Aufgabe 9: Lichterkette | 2= | ||
[[Datei:Crystal-ball-fairy-lights1.jpg|rechts | rahmenlos]] | [[Datei:Crystal-ball-fairy-lights1.jpg|rechts | rahmenlos]] | ||
Für ein Stadtfest soll von der Spitze <math>P(-2|3|10) </math> eines Restaurants eine Lichterkette auf kürzestem Weg zur nahen Uferlinie des Kanals <math>g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> eine Lichterkette gespannt werden. | Für ein Stadtfest soll von der Spitze <math>P(-2|3|10) </math> eines Restaurants eine Lichterkette auf kürzestem Weg zur nahen Uferlinie des Kanals <math>g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> eine Lichterkette gespannt werden. | ||
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{{Box | 1=Aufgabe | {{Box | 1=Aufgabe 10: Dreieck | 2= | ||
Es sind die Punkte <math>B(2|8|1) </math> und <math>C(0,5|3,5|7) </math> gegeben, durch sie verläuft die Gerade <math> g </math>. Die Strecke <math> \vec{BC} </math> bildet die Grundseite eines Dreiecks mit dem dritten Punkt <math>A</math>. <math>A</math> liegt auf der zu <math> g </math> parallelen Geraden <math> j:\vec{x}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} </math>. | Es sind die Punkte <math>B(2|8|1) </math> und <math>C(0,5|3,5|7) </math> gegeben, durch sie verläuft die Gerade <math> g </math>. Die Strecke <math> \vec{BC} </math> bildet die Grundseite eines Dreiecks mit dem dritten Punkt <math>A</math>. <math>A</math> liegt auf der zu <math> g </math> parallelen Geraden <math> j:\vec{x}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} </math>. | ||
'''a)''' Stimmt die Behauptung "Der Flächeninhalt des Dreiecks <math>ABC</math> ändert sich, je nachdem wo <math>A</math> auf der Geraden <math>h</math> liegt"? Wenn ja, warum? Wenn nein, warum nicht? | '''a)''' Stimmt die Behauptung "Der Flächeninhalt des Dreiecks <math>ABC</math> ändert sich, je nachdem wo <math>A</math> auf der Geraden <math>h</math> liegt"? Wenn ja, warum? Wenn nein, warum nicht? | ||
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|3=Merksatz}} | |3=Merksatz}} | ||
{{Box | 1=Aufgabe | {{Box | 1=Aufgabe 11 | 2= | ||
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=phfs89s8321}} | {{LearningApp|width=100%|height=500px|app=phfs89s8321}} | ||
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{{Box | 1=Aufgabe | {{Box | 1=Aufgabe 12: Maulwurfstunnel | 2= | ||
[[Datei:Mr Mole.jpg| links| rahmenlos|Maulwurf]] | [[Datei:Mr Mole.jpg| links| rahmenlos|Maulwurf]] |
Version vom 6. Mai 2021, 20:11 Uhr
Einstieg
Abstand eines Punktes von einer Ebene
Das Lotfußpunktverfahren
Die Hesse´sche Normalenform
Um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene zu bestimmen, gibt es neben dem Lotverfahren auch die Möglichkeit, dies mit der Hesse´schen Normalenform zu berechnen. In diesem Abschnitt lernst du, wie du die Normalenform aufstellst und sie zur Abstandsberechnung anwendest.
Falls du noch nicht genug hast, kannst du auch versuchen, die Aufgaben vom Lotfußpunktverfahren mit der Hesse´schen Normalenform zu lösen.
Abstand eines Punktes von einer Geraden
Abstand zweier windschiefer Geraden
Verschiebe die Punkte und so, dass die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen den windschiefen Geraden und ist. Du kannst die Grafik mit deiner Maus drehen, um die Geraden aus anderen Perspektiven zu betrachten.
Gemischte Aufgaben
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- 3 Aufgaben