Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Abstände von Objekten im Raum: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box | 1=Merke: Abstand eines Punktes P zu einer Ebene E - Lotfußpunktverfahren | 2= Das Vorgehen aus Aufgabe 1 hier nochmal detalliert erklärt: | {{Box | 1=Merke: Abstand eines Punktes P zu einer Ebene E - Lotfußpunktverfahren | 2= Das Vorgehen aus Aufgabe 1 hier nochmal detalliert erklärt: | ||
# | # Stelle die Gleichung für die zu <math>E</math> orthogonale Gerade <math>g</math> (also die Lotgerade) durch <math>P</math> auf. Dabei kannst du als Stützvektor <math>\vec{p} </math> und als Richtungsvektor den Normalenvektor <math> \vec{n} </math> von <math>E</math> nutzen: <math>g:\vec{x}=\vec{p}+\vec{t}\cdot\vec{n}</math>. | ||
# | # Bestimme den Schnittpunkt <math>L</math> von der Lotgeraden <math>g</math> und der Ebene <math>E</math>. <math>L</math> ist der Lotfußpunkt. | ||
# | # Bestimme den Abstand zwischen den Punkten <math>P</math> und <math>L</math>, indem du den Betrag des Vektors <math>\vec{PL} </math> berechnest. | 3=Merksatz}} | ||
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===Die Hesse´sche Normalenform=== | ===Die Hesse´sche Normalenform=== | ||
Um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene zu bestimmen, gibt es neben dem Lotverfahren auch die Möglichkeit, dies mit der Hesse´schen Normalenform zu berechnen. In diesem | Um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene zu bestimmen, gibt es neben dem Lotverfahren auch die Möglichkeit, dies mit der Hesse´schen Normalenform zu berechnen. In diesem Abschnitt lernst du, wie du die Normalenform aufstellst und sie zur Abstandsberechnung anwendest. | ||
{{Box | Merke: Die Hesse´sche Normalenform| | {{Box | Merke: Die Hesse´sche Normalenform| | ||
Den Abstand von einem Punkt <math>P</math> zu einer Ebene <math>E</math> kann mit einer Formel berechnet werden, der sogenannten Hesse´schen Normalenform (kurz:HNF). | Den Abstand von einem Punkt <math>P</math> zu einer Ebene <math>E</math> kann mit einer Formel berechnet werden, der sogenannten Hesse´schen Normalenform (kurz:HNF). | ||
Gegeben ist eine Ebene <math>E</math> durch die Koordinatengleichung <math>a\cdot x_1+b\cdot x_2+c\cdot x_3=d </math> bzw. durch die Normalenform <math>\vec{n}\cdot\vec{OX}</math> mit <math>\vec{n}= \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} </math> und ein Punkt <math>P(p_1|p_2|p_3)</math>. | Gegeben ist eine Ebene <math>E</math> durch die Koordinatengleichung <math>a\cdot x_1+b\cdot x_2+c\cdot x_3=d </math> bzw. durch die Normalenform <math>\vec{n}\cdot\vec{OX}</math> mit <math>\vec{n}= \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} </math> und ein Punkt <math>P(p_1|p_2|p_3)</math>. | ||
Stelle nun die HNF der Ebene auf: | # Stelle nun die HNF der Ebene auf: | ||
Lies dazu aus der Koordinatengleichung der Ebene den Normalenvektor <math>\vec{n}= \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} </math> ab. | Lies dazu aus der Koordinatengleichung der Ebene den Normalenvektor <math>\vec{n}= \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} </math> ab. | ||
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Die HNF lautet nun: <math>\frac {|a\cdot x_1+b\cdot x_2+c\cdot x_3-d|}{|\vec{n}|}</math>. | Die HNF lautet nun: <math>\frac {|a\cdot x_1+b\cdot x_2+c\cdot x_3-d|}{|\vec{n}|}</math>. | ||
# Berechne den Abstand, indem du die Koordinaten des Punktes <math>P(p_1|p_2|p_3)</math> in die HNF einsetzt: | |||
<math>\frac {|a\cdot p_1+b\cdot p_2+c\cdot p_3-d|}{|\vec{n}|}</math>| Merksatz}} | <math>\frac {|a\cdot p_1+b\cdot p_2+c\cdot p_3-d|}{|\vec{n}|}</math>| Merksatz}} | ||
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Für die Bestimmung des Abstandes <math>d(P,g)=d(P,G)</math> gibt es zwei verschiedene Verfahren: | Für die Bestimmung des Abstandes <math>d(P,g)=d(P,G)</math> gibt es zwei verschiedene Verfahren: | ||
'''Verfahren Hilfsebene''' | |||
Stelle eine Hilfsebene <math>H</math> (in Koordinatenform) auf, die den Punkt <math>P</math> enthält und orthogonal zu zu <math>g</math> ist. Dafür kannst du als Stützvektor <math>\vec{p} </math> und als Normalenvektor den Richtungsvektor von <math>g</math> nehmen. | # Stelle eine Hilfsebene <math>H</math> (in Koordinatenform) auf, die den Punkt <math>P</math> enthält und orthogonal zu zu <math>g</math> ist. Dafür kannst du als Stützvektor <math>\vec{p} </math> und als Normalenvektor den Richtungsvektor von <math>g</math> nehmen. | ||
Bestimme den Schnittpunkt <math>L</math> von <math>g</math> und <math>H</math> durch Einsetzen. | # Bestimme den Schnittpunkt <math>L</math> von <math>g</math> und <math>H</math> durch Einsetzen. | ||
# Berechne den Abstand <math>d(P,g)=d(P,L)</math>. | |||
'''Verfahren Orthogonalität''' | |||
Bestimme einen allgmeinen Verbindungsvektor von <math>P</math> zu einem beliebigen Geradenpunkt <math>L</math> in Abhängigkeit vom Geradenparameter <math>r</math>. | # Bestimme einen allgmeinen Verbindungsvektor von <math>P</math> zu einem beliebigen Geradenpunkt <math>L</math> in Abhängigkeit vom Geradenparameter <math>r</math>. | ||
Wähle <math>r</math> so, dass der Verbindungsvektor orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden <math>g</math> ist. | # Wähle <math>r</math> so, dass der Verbindungsvektor orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden <math>g</math> ist. | ||
Berechne nun den Abstand <math>d(P,g)=d(P,L)</math>. | # Berechne nun den Abstand <math>d(P,g)=d(P,L)</math>. | ||
| 3=Merksatz}} | | 3=Merksatz}} | ||
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==Abstand zweier windschiefer Geraden== | ==Abstand zweier windschiefer Geraden== | ||
Verschiebe die Punkte <math>G</math> und <math>H</math> so, dass <math>\overline{GH}</math> die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen den windschiefen Geraden <math>g</math> und <math>h</math> ist. Du kannst die Grafik mit deiner Maus drehen, um die Geraden aus anderen Perspektiven zu betrachten. | Verschiebe die Punkte <math>G</math> und <math>H</math> so, dass <math>\overline{GH}</math> die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen den windschiefen Geraden <math>g</math> und <math>h</math> ist. Du kannst die Grafik mit deiner Maus drehen, um die Geraden aus anderen Perspektiven zu betrachten. | ||
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Seien <math>g: \vec{x}=\vec{p}+s\cdot \vec{u}</math> und <math>h: \vec{x}=\vec{q}+t\cdot \vec{v}</math> die windschiefen Geraden. | Seien <math>g: \vec{x}=\vec{p}+s\cdot \vec{u}</math> und <math>h: \vec{x}=\vec{q}+t\cdot \vec{v}</math> die windschiefen Geraden. | ||
'''Verfahren Gemeinsames Lot''' | |||
# Bestimme die Geradenpunkte <math>G</math> und <math>H</math> in Abhängigkeit von dem jeweiligen Geradenparameter. | |||
# Stelle den Verbindungsvektor <math>\vec{G_s H_t}</math> in Abhängigkeit von den Geradenparametern auf. | |||
# Bestimme nun die Parameter <math>s</math> und <math>t</math> so, dass der Verbindungsvektor <math>\vec{G_s H_t}</math> orthogonal zu den Richtungsvektoren von <math>g</math> und <math>h</math> ist. Du löst also das lineare Gleichungssystem mit den beiden Gleichungen <math>\vec{G_s H_t}\cdot \vec{u} =0</math> und <math>\vec{G_s H_t}\cdot \vec{v} =0</math>. | |||
# Mit diesen Parametern erhältst du die Lotfußpunkte <math>G</math> und <math>H</math> und kannst den Abstand <math>d(g,h)=d(G,H)</math> bestimmen. | |||
'''Verfahren Hilfsebene''' | |||
Es gibt eine Ebene <math>E</math>, sodass <math>g</math> in <math>E</math> liegt und <math>h</math> parallel zu <math>E</math> ist. Für diese Ebene <math>E</math> ist dann der Abstand zwischen den Geraden <math>d(g,h)</math> gleich dem Abstand zwischen <math>E</math> und einem beliebigen Punkt <math>H</math> auf <math>h</math>. Jeder Normalenvektor von dieser Ebene <math>E</math> ist orthogonal zu den Richtungsvektoren von <math>g</math> und <math>h</math>. | |||
# Bestimme aus den Gleichungen <math>\vec{u}\cdot\vec{n}=0</math> und <math>\vec{v}\cdot\vec{n}=0</math> einen Normalenvektor. | |||
# Stelle die Normalengleichung <math>(\vec{x}-\vec{p})\cdot\vec{n}=0</math> der Ebene <math>E</math> auf. | |||
# Bestimme mit der Hesse´schen Normalenform oder dem Lotfußpunktverfahren (siehe Abschnitt Abstand Punkt Ebene) den Abstand <math>d(E,H)=d(g,h)</math>. | |||
Version vom 6. Mai 2021, 16:49 Uhr
Einstieg
- ganz am Anfang, zur Motivation: 3 Situationen, zuordnen lassen, welche Punkt-Ebene, Punkt-Gerade usw. ist (mit Learning App), mit Bild
Abstand eines Punktes von einer Ebene
Das Lotfußpunktverfahren
Die Hesse´sche Normalenform
Um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene zu bestimmen, gibt es neben dem Lotverfahren auch die Möglichkeit, dies mit der Hesse´schen Normalenform zu berechnen. In diesem Abschnitt lernst du, wie du die Normalenform aufstellst und sie zur Abstandsberechnung anwendest.
Falls du noch nicht genug hast, kannst du auch versuchen, die Aufgaben vom Lotfußpunktverfahren mit der Hesse´schen Normalenform zu lösen.
Abstand eines Punktes von einer Geraden
Abstand zweier windschiefer Geraden
Verschiebe die Punkte und so, dass die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen den windschiefen Geraden und ist. Du kannst die Grafik mit deiner Maus drehen, um die Geraden aus anderen Perspektiven zu betrachten.
Gemischte Aufgaben
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- 3 Aufgaben