Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lagebeziehungen und Winkel (Gerade und Ebene, 2 Ebenen)

Hier entsteht das Lernpfadkapitel "Lagebeziehungen und Winkel (Gerade und Ebene, 2 Ebenen)".

Info

In diesem Lernpfadkapitel <Kurzbeschreibung des Kapitelziels>

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
• Aufgaben und Kapitel, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

Viel Erfolg!

Lagebeziehung Gerade-Ebene

Mögliche Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene

Aufgabe: Lückentext zur Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene

Merke: Lagebeziehung von Gerade und Ebene untersuchen mit Ebene in Parameterform.

Beispielaufgabe: Untersuchung der Lagebeziehung von Gerade und Ebene

Gegeben sind eine Ebene $E: \vec{x}=\left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 0\\ 1 \end{matrix} \right)$ und eine Gerade $g: \vec{x}=\left( \begin{matrix} 2\\ 2\\ 2 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ -4\\ 0 \end{matrix} \right)$. Untersuche die Lagebeziehung der Gerade und der Ebene und bestimme gegebenenfalls den Schnittpunkt.

1. Schritt: Setze die Geraden- und Ebenengleichung gleich. $\left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 0\\ 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2\\ 2\\ 2 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ -4\\ 0 \end{matrix} \right)$

2. Schritt: Stelle das zugehörige lineare Gleichungssystem auf. $\begin{vmatrix} 1-s-t=2-r \\ s=2-4r \\ t=2 \end{vmatrix}$

3. Schritt: Löse das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren oder dem Taschenrechner. $s=-1, t=2, r=1$

4. Schritt: Interpretiere die Lösung des Gleichungssystems anhand der Anzahl der Lösungen. Da das Gleichungssystem nur eine Lösung hat, besitzen die Ebene $E$ und die Gerade $g$ nur einen gemeinsamen Punkt. Also schneidet die Gerade die Ebene.

5. Schritt: Da sich die Ebene $E$ und die Gerade $g$ schneiden, kannst du den Schnittpunkt der beiden berechnen. Setze dafür den Parameter $r$ in die Geradengleichung ein. $g: \left( \begin{matrix} 2\\ 2\\ 2 \end{matrix} \right) + 1 \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ -4\\ 0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1\\ -2\\ 2 \end{matrix} \right)$

Aufgabe: Untersuchung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene

Gegeben ist eine Ebene $E: \vec{x}=\left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 0\\ 1 \end{matrix} \right)$.

1. Setze die Geradengleichung mit der Ebenengleichung gleich.

2. Stelle ein LGS auf.

3. Löse das LGS mit dem Gaußverfahren oder dem Taschenrechner.

4. Die Anzahl der Lösungen zeigt dir, wie viele gemeinsamen Punkte die Gerade und die Ebene haben. Daran kannst du die Lagebeziehung erkennen.

⭐Merke: Lagebeziehung von Gerade und Ebene untersuchen mit Ebene in Koordinatenform.

Beispiel: Lagebeziehung einer Gerade und einer Ebene in Koordinatenform

Gegeben sind eine Ebene $E: 2x_1 + x_2 - x_3 = 5$ und eine Gerade $g: \vec{x}=\left( \begin{matrix} 3\\ 0\\ 2 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} -3\\ 5\\ -1 \end{matrix} \right)$. Bestimme die Lagebeziehung von Gerade und Ebene.

1. Prüfe, ob der Richtungsvektor der Gerade orthogonal zum Normalenvektor der Ebene liegt: $\vec{n} \circ \vec{u} = \left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ -1 \end{matrix} \right) \circ \left( \begin{matrix} -3\\ 5\\ -1 \end{matrix} \right) = 2 \cdot (-3) + 1 \cdot 5 -1 \cdot (-1) = 0 \Rightarrow \vec{n} \perp \vec{u}$

2. Prüfe durch eine Punktprobe, ob der Stützvektor der Gerade in der Ebene liegt: $2 \cdot 3 -2 =5 \Rightarrow 4 = 5 \Rightarrow$ Der Stützvektor liegt nicht in der Ebene. Daher verlaufen die Gerade $g$ und die Ebene $E$ parallel zueinander.

Aufgabe: Bestimme den Parameter

Gegeben ist eine Ebene $E: \vec{x} = -2x_1 + 3x_2 - x_3 = 3$. Bestimme $l$ und $m$ in den folgenden Geraden so, dass die entsprechende Lagebeziehung erfüllt ist.

a) Die Gerade $g: \vec{x} = \left( \begin{matrix} 5\\ 3\\ 0 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 0,5\\ 3\\ m \end{matrix} \right)$ soll parallel zur Ebene $E$ verlaufen.

Damit die Gerade $g$ und die Ebene $E$ parallel zueinander sind, müssen der Richtungsvektor von $g$ und der Normalenvektor von $E$ orthogonal zueinander sein.

$\vec{u} \circ \vec{n} = \left( \begin{matrix} 0,5\\ 3\\ m \end{matrix} \right) \circ \left( \begin{matrix} -2\\ 3\\ -1 \end{matrix} \right) = 8-m$.

Damit die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind, muss das Skalarprodukt $0$ sein: $8-m = 0 \Rightarrow m = 8$.

b) Die Gerade $h: \vec{x} = \left( \begin{matrix} l\\ 5,1\\ 0,4 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} 3\\ m\\ 3,6 \end{matrix} \right)$ soll in der Ebene $E$ liegen.

Damit die Gerade $g$ in der Ebene $E$ liegt, muss der Richtungsvektor von $g$ und der Normalenvektor von $E$ orthogonal zueinander sein.

Wenn die Gerade $g$ in der Ebene $E$ liegt, liegt jeder Punkt auf der Gerade $g$ auch in der Ebene $E$. Prüfe mit der Punktprobe, ob der Stützvektor von $g$ in der Ebene $E$ liegt.

Finde zuerst m: $\vec{u} \circ \vec{n} = \left( \begin{matrix} 3\\ m\\ 3,6 \end{matrix} \right) \circ \left( \begin{matrix} -2\\ 3\\ -1 \end{matrix} \right) = 3m - 9,6$. Damit die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind, muss das Skalarprodukt $0$ sein: $3m - 9,6 = 0 \Rightarrow m = 3,2$.

Finde danach l durch eine Punktprobe: Setze $\vec(a) = \left( \begin{matrix} l\\ 5,1\\ 0,4 \end{matrix} \right)$ in die Ebenengleichung ein und löse nach l auf: $-2l + 3 \cdot 5,1 - 0,4 = 3 \Leftrightarrow l = 5,95$.

c) Die Gerade $i: \vec{x} = \left( \begin{matrix} 3\\ 0\\ 2 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -3\\ 5\\ -1 \end{matrix} \right)$ soll die Ebene $E$ schneiden.

Es gibt keine eindeutige Lösung! Der Richtungsvektor $\vec{u}$ von $g$ darf nur nicht orthogonal zum Normalenvektor von $E$ liegen.

Für $m = 3$ ist der Richtungsvektor von $g$ orthogonal zum Normalenvektor von $E$ und die Gerade $g$ liegt parallel zur Ebene $E$. Jeder andere Wert für $m$ ist eine richtige Lösung.

⭐Berechnung des Winkels zwischen Gerade und Ebene

Abbildung: Winkel zwischen Gerade und Ebene

Erläuterung: Winkel berechnen zwischen Gerade und Ebene

Wenn eine Gerade g eine Eben E schneidet, kannst du nicht nur den Schnittpunkt berechnen, sondern auch den Schnittwinkel. Dafür benötigen wir den Normalenvektor. Wenn du nicht mehr genau weißt, wie man diesen abliest oder berechnet, schau noch einmal in Kapitel...

Merksatz: Winkel berechnen zwischen Gerade und Ebene

Sei $E$ eine Ebene mit dem Normalenvektor $n$ und $g$ eine Gerade mit dem Richtungsvektor $u$. Der Schnittwinkel $\beta$ zwischen $E$ und $g$ kann mit folgender Formel berechnet werden: $sin(\beta)=\frac{ n \ast u}{|n| \cdot |u|}$

Wenn du wissen möchtest, warum du nicht wie beim Winkel zwischen zwei Geraden den Kosinus benutzt, kannst du das hier nachlesen:

Der Normalenvektor $\vec{n}$ einer Ebene steht in einem 90 Winkel zur Ebene $E$. Wenn wir den Winkel zwischen einer Gerade $g$ und einer $E$ berechnen wollen, können wir wie beim Winkel zwischen zwei Geraden mit der Kosinusfunktion den Winkel zwischen dem Richtungsvektor von $g$ und dem Normalenvektor von $E$ berechnen. In Abbildung ... ist dieser Winkel mit $\beta$ bezeichnet. Um nun den Winkel $\alpha$ zwischen $g$ und $E$ zu erhalten, müssen wir $\beta$ von $90 ^\circ$ abziehen. Dies entspricht der obigen Formel mit der Sinusfunktion.

Beispiel: Berechnen des Winkels zwischen Gerade und Ebene

Gegeben sind die Gerade $g: \vec{x}=\left( \begin{matrix} -1\\ 3\\ 6 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 8\\ 2\\ 0 \end{matrix} \right)$ und die Ebene $E: 2x_1 + x_2 + 4 x_3 = -27$. Bestimme den Winkel unter dem sich die Gerade $g$ und die Ebene $E$ schneiden.

1. Schritt: Notiere den Richtungvektor $\vec{u}$ der Gerade und den Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene.

$\vec{u}= \left( \begin{matrix} 8\\ 2\\ 0 \end{matrix} \right)$ und $\vec{n}= \left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ 4 \end{matrix} \right)$.

2. Schritt: Setze die Vektoren in die Formel $sin(\beta)=\frac{ \vec{n} \ast \vec{u}}{|\vec{n}| \cdot |\vec{u}|}$ ein. $sin(\beta)=\frac{ | \left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ 4 \end{matrix} \right) \ast \left( \begin{matrix} 8\\ 2\\ 0 \end{matrix} \right)|}{|\left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ 4 \end{matrix} \right)| \cdot | \left( \begin{matrix} 8\\ 2\\ 0 \end{matrix} \right)|} \Leftrightarrow sin(\beta)=\frac{18}{\sqrt{60} \cdot \sqrt{21}} \Leftrightarrow sin(\beta)=\frac{18}{\sqrt{1260}}$

3. Schritt: Umformen der Gleichung

$\beta = sin^{-1}(\frac{18}{\sqrt{1260}}) \Leftrightarrow \beta \approx 28,45 ^\circ$

Aufgabe <Nummer>: <Name>

Inhalt

Aufgabe <Nummer>: Gerade gesucht

Eine Gerade $g$ soll die $x_1-x_2-Ebene$ in einem Winkel von $45 ^\circ$ schneiden. Über die Gerade $g$ ist nur bekannt, dass sie im Punkt $P (1|2|3)$ beginnt und sie in Richtung des Vektors $\vec{x}=\left( \begin{matrix} 3\\ 6\\ z \end{matrix} \right)$ verläuft. Stelle die Gerade $g$ auf.

Inhalt

Inhalt

Inhalt

Lagebeziehung Ebene-Ebene

Basiswissen

Aufgabe: Lückentext zur Lagebeziehung zwischen Ebene und Ebene

Untersuchung der Lagebeziehung zwischen zwei Ebenen

Seien E und F zwei Ebenen im Raum. Um die Lagebeziehung dieser Ebenen zu untersuchen, müssen eine Reihe bestimmter Rechenschritte durchgeführt werden:

Schritt 1: Die beiden Ebenengleichungen gleichsetzen

Schritt 2: LGS interpretieren

Schritt 3: Schnittgerade bestimmen

Aufgabe: Ergebnisse interpretieren

Interpretiere die jeweilige Situation geometrisch.

a) $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & -0,5 & 0,5 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0,5 \\ 0 & 0 & 1 & 1,5 & 1 \end{vmatrix}$

b) $\begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

c) $\begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}$

Aufgabe: Lagebeziehungen berechnen

Untersuche die Lagebeziehung der jeweiligen Ebenen.

a) $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1{,}5 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R}$

b) $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1{,}5 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R}$

c) $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1{,}5 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R}$

Aufgabe: Schnitt von zwei Zeltflächen

Die beiden Seitenflächen eines Zeltes liegen in den Ebenen $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4\end{pmatrix}, r,s \in \mathbb{R}$ und $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ u \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}, t,u \in \mathbb{R}$. Berechne die Geradengleichung der oberen Zeltkante.

⭐Berechnung des Winkels zwischen Ebene und Ebene

Merke: Winkel berechnen zwischen zwei Ebenen

Wenn sich zwei Ebenen schneiden, kann der Schnittwinkel bestimmt werden, den sie einschließen. Wie in Abbildung ... zu sehen ist, kannst du dazu die Normalenvektoren betrachten. Sie schließen denselben Winkel ein, wie die beiden Ebenen. Betrachten wir die Normalenvektoren, so können wir ähnlich vorgehen, wie beim Berechnen des Winkels zwischen zwei Geraden.

Um den Schnittwinkel zu berechnen, musst du zunächst die Normalenvektoren der Ebenen bestimmen. Wenn du nicht mehr genau weißt, wie das geht, schaue nochmal in Kapitel Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum

Merksatz: <Name>

Seien $E$ und $F$ zwei sich schneidende Ebenen mit den Normalenvektoren $n$ und $m$. Der Schnittwinkel $\alpha$ zwischen $E$ und $F$ kann mit folgender Formel berechnet werden: $cos(\alpha)=\frac{ n \ast m}{|n| \cdot |m|}$

Beispiel: Winkel berechnen zwischen zwei Ebenen

Inhalt

Aufgabe <Nummer>: Fehlerbeschreibung

Inhalt

Aufgabe <Nummer>: Bank am Wanderweg

An einem Wanderweg soll eine Holzbank aufgestellt werden. Die Bank wird so ausgerichtet, dass die Sitzfläche durch die Ebene $S_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0,5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0,4 \\ 0\end{pmatrix}, r,s \in \mathbb{R}$ und die Rückenlehne durch die Ebene $R_1: -x_2 + 0,4 x_3 = -0,2$ beschrieben werden kann. 

a) Um eine bequeme Sitzposition zu ermöglichen, sollte der Winkel zwischen Rückenlehne und Sitzfläche zwischen 100 und 110 liegen. Überprüfe, ob die auf die neue Bank zutrifft.

Überlege genau, welchen Winkel du berechnet hast. Vielleicht kann dir eine Skizze helfen.

Als Normalenvektor der Ebene $S_1$ erhält man $\vec{n}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0,8 \end{pmatrix}$ und als Normalenvektor der Ebene $R_1 \vec{m}=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0,4 \end{pmatrix}$. Einsetzen in die Formel liefert:

$cos(\alpha)=\frac{ | \left( \begin{matrix} 0\\ 0\\ 0,8 \end{matrix} \right) \ast \left( \begin{matrix} 0\\ -1\\ 0,4 \end{matrix} \right)|}{|\left( \begin{matrix} 0\\ 0\\ 0,8 \end{matrix} \right)| \cdot | \left( \begin{matrix} 0\\ -1\\ 0,4 \end{matrix} \right)|} \Leftrightarrow cos(\alpha)=\frac{\frac{8}{25}}{\frac{4}{5} \cdot \sqrt{\frac{29}{25}}}$

Umstellen der Formel ergibt: $\alpha=cos^{-1} \left( \frac{\frac{8}{25}}{\frac{4}{5} \cdot \sqrt{\frac{29}{25}}} \right) \Leftrightarrow \alpha \approx 68,2 ^\circ$

Wie in Abbildung ... zu sehen wurde der Winkel $\alpha$ berechnet. Der Winkel zwischen der Sitzfläche und der Rückenlehne wird aber durch den Winkel $\beta$ beschrieben. $\beta$ erhält man, indem man $180 ^\circ - \alpha$ berechnet: $180 ^\circ - 68,2 ^\circ = 111,8 ^\circ$. Mit einem Wert von $111,8 ^\circ$ liegt der Winkel zwischen Rückenlehne und Sitzfläche etwas über dem optimalen Winkel.

b) Da der Wanderweg sehr beliebt ist, soll noch eine zweite Bank aufgestellt werden. Sie wird so ausgerichtet, dass beide Bänke mit den Rückenlehnen aneinander stehen. Auch bei der zweiten Bank können die Sitzfläche und die Rückenlehne durch Ebenen beschrieben werden. Die Sitzfläche entspricht der Ebene $S_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0,8 \\ 0,5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0,4 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}, r,s \in \mathbb{R}$ und die Rückenlehne der Ebene $R_2: -x_2 - 0,4 x_3 = -1$ Berechne den Winkel, unter dem die beiden Rückenlehnen der Bänke aufeinander treffen.

Gesucht ist der Winkel zwischen der Ebene $R_1$ und der Ebene $R_2$. Nutze zur Berechnung die Normalenvektoren der Ebenen.

Es soll der Winkel zwischen den beiden Rückenlehnen $R_1$ und $R_2$ berechnet werden. Die Normalenvektoren der Ebenen lauten $\vec{m}=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0,4 \end{pmatrix}$ und $\vec{l}=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -0,4 \end{pmatrix}$. Einsetzen in die Formel liefert:

$cos(\alpha)=\frac{ | \left( \begin{matrix} 0\\ -1\\ 0,4 \end{matrix} \right) \ast \left( \begin{matrix} 0\\ -1\\ -0,4 \end{matrix} \right)|}{|\left( \begin{matrix} 0\\ -1\\ 0,4 \end{matrix} \right)| \cdot | \left( \begin{matrix} 0\\ -1\\ -0,4 \end{matrix} \right)|} \Leftrightarrow cos(\alpha)=\frac{\frac{21}{25}}{\sqrt{\frac{29}{25}} \cdot \sqrt{\frac{29}{25}}} \Leftrightarrow cos(\alpha)=\frac{\frac{21}{25}}{\frac{29}{25}} \Leftrightarrow cos(\alpha)=\frac{21}{29}$

Umstellen der Formel ergibt: $\alpha=cos^{-1} \left( \frac{21}{29} \right) \Leftrightarrow \alpha \approx 43,6 ^\circ$. Der Winkel zwischen den beiden Rückenlehnen beträgt $43,6 ^\circ$.