Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lagebeziehungen und Winkel (Gerade und Ebene, 2 Ebenen): Unterschied zwischen den Versionen
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{{Lösung versteckt|1= Damit die Gerade <math>g</math> in der Ebene <math>E</math> liegt, muss der Richtungsvektor von <math>g</math> und der Normalenvektor von <math>E</math> orthogonal zueinander sein. |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}} | {{Lösung versteckt|1= Damit die Gerade <math>g</math> in der Ebene <math>E</math> liegt, muss der Richtungsvektor von <math>g</math> und der Normalenvektor von <math>E</math> orthogonal zueinander sein. |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Wenn die Gerade <math>g</math> in der Ebene <math>E</math> liegt, liegt jeder Punkt auf der Gerade <math>g</math> auch in der Ebene <math>E</math>. Prüfe mit der Punktprobe, ob der Stützvektor von <math>g</math> in der Ebene <math>E</math> liegt.|2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}} | {{Lösung versteckt|1= Wenn die Gerade <math>g</math> in der Ebene <math>E</math> liegt, liegt jeder Punkt auf der Gerade <math>g</math> auch in der Ebene <math>E</math>. Prüfe mit der Punktprobe, ob der Stützvektor von <math>g</math> in der Ebene <math>E</math> liegt.|2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Finde zuerst m: <math> \vec{u} \circ \vec{n} = \left( \begin{matrix} 3\\ m\\ 3,6 \end{matrix} \right) \circ \left( \begin{matrix} -2\\ 3\\ -1 \end{matrix} \right) = 3m - 9,6 </math>. Damit die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind, muss das Skalarprodukt <math> 0 </math> sein: <math> 3m - 9,6 = 0 \Rightarrow m = 3,2 </math>. | {{Lösung versteckt|1= '''Finde zuerst m:''' <math> \vec{u} \circ \vec{n} = \left( \begin{matrix} 3\\ m\\ 3,6 \end{matrix} \right) \circ \left( \begin{matrix} -2\\ 3\\ -1 \end{matrix} \right) = 3m - 9,6 </math>. | ||
Finde danach l durch eine Punktprobe: Setze <math> \vec(a) = \left( \begin{matrix} l\\ 5,1\\ 0,4 \end{matrix} \right) </math> in die Ebenengleichung ein und löse nach l auf: <math> -2l + 3 \cdot 5,1 - 0,4 = 3 \Leftrightarrow l = 5,95</math>. |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Damit die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind, muss das Skalarprodukt <math> 0 </math> sein: <math> 3m - 9,6 = 0 \Rightarrow m = 3,2 </math>. | ||
'''Finde danach l durch eine Punktprobe:''' Setze <math> \vec(a) = \left( \begin{matrix} l\\ 5,1\\ 0,4 \end{matrix} \right) </math> in die Ebenengleichung ein und löse nach l auf: <math> -2l + 3 \cdot 5,1 - 0,4 = 3 \Leftrightarrow l = 5,95</math>. |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | |||
c) Die Gerade <math> i: \vec{x} = \left( \begin{matrix} 3\\ 0\\ 2 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -3\\ 5\\ -1 \end{matrix} \right) </math> soll die Ebene <math> E </math> schneiden. | c) Die Gerade <math> i: \vec{x} = \left( \begin{matrix} 3\\ 0\\ 2 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -3\\ 5\\ -1 \end{matrix} \right) </math> soll die Ebene <math> E </math> schneiden. | ||
|Arbeitsmethode}} | |Arbeitsmethode}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Es gibt keine eindeutige Lösung! Der Richtungsvektor <math> \vec{u} </math> von <math>g</math> darf nur nicht orthogonal zum Normalenvektor von <math>E</math> liegen. |2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Für <math> m = 3 </math> ist der Richtungsvektor von <math>g</math> orthogonal zum Normalenvektor von <math>E</math> und die Gerade <math>g</math> liegt parallel zur Ebene <math>E</math>. Jeder andere Wert für <math>m</math> ist eine richtige Lösung. |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | |||
===⭐Berechnung des Winkels zwischen Gerade und Ebene=== | ===⭐Berechnung des Winkels zwischen Gerade und Ebene=== |
Version vom 6. Mai 2021, 14:20 Uhr
Hier entsteht das Lernpfadkapitel "Lagebeziehungen und Winkel (Gerade und Ebene, 2 Ebenen)".
Lagebeziehung Gerade-Ebene
Mögliche Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene
Es gibt keine eindeutige Lösung! Der Richtungsvektor von darf nur nicht orthogonal zum Normalenvektor von liegen.
Für ist der Richtungsvektor von orthogonal zum Normalenvektor von und die Gerade liegt parallel zur Ebene . Jeder andere Wert für ist eine richtige Lösung.
⭐Berechnung des Winkels zwischen Gerade und Ebene
Lagebeziehung Ebene-Ebene
Basiswissen
⭐Berechnung des Winkels zwischen Ebene und Ebene