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| {{Box | Beispielaufgabe: Untersuchung der Lagebeziehung von Gerade und Ebene | | | {{Box | Beispielaufgabe: Untersuchung der Lagebeziehung von Gerade und Ebene | |
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| Gegeben sind eine Ebene <math>E: \vec(x)=\left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 0\\ 1 \end{matrix} \right) </math> und eine Gerade <math>\left( \begin{matrix} 2\\ 2\\ 2 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ -4\\ 0 \end{matrix} \right) </math><math>E: \vec{x} = \begin{vmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{vmatrix} + s \cdot \begin{vmatrix} -1\\ 1\\ 0 \end{vmatrix} + t \cdot \begin{vmatrix} -1\\ 0\\ 1 \end{vmatrix}, s,t \in \mathbb{R}</math> und eine Gerade <math>g: \vec{x} = \begin{vmatrix} 2\\ 2\\ 2 \end{vmatrix} + r \cdot \begin{vmatrix} -1\\ -4\\ 0 \end{vmatrix}, r \in \mathbb{R}</math>. Untersuche die Lagebeziehung der Gerade und der Ebene und bestimme gegebenenfalls den Schnittpunkt. | | Gegeben sind eine Ebene <math>E: \vec(x)=\left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 0\\ 1 \end{matrix} \right) </math> und eine Gerade <math>g: \vec(x)=\left( \begin{matrix} 2\\ 2\\ 2 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ -4\\ 0 \end{matrix} \right) </math><math>E: \vec{x} = \begin{vmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{vmatrix} + s \cdot \begin{vmatrix} -1\\ 1\\ 0 \end{vmatrix} + t \cdot \begin{vmatrix} -1\\ 0\\ 1 \end{vmatrix}, s,t \in \mathbb{R}</math> und eine Gerade <math>g: \vec{x} = \begin{vmatrix} 2\\ 2\\ 2 \end{vmatrix} + r \cdot \begin{vmatrix} -1\\ -4\\ 0 \end{vmatrix}, r \in \mathbb{R}</math>. Untersuche die Lagebeziehung der Gerade und der Ebene und bestimme gegebenenfalls den Schnittpunkt. |
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Version vom 4. Mai 2021, 18:00 Uhr
dHier entsteht das Lernpfadkapitel "Lagebeziehungen und Winkel (Gerade und Ebene, 2 Ebenen)".
Info
In diesem Lernpfadkapitel <Kurzbeschreibung des Kapitelziels>
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
- In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
- Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
- Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
- Aufgaben und Kapitel, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.
Viel Erfolg!
Lagebeziehung Gerade-Ebene
Mögliche Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene
Aufgabe: Lückentext zur Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene
Beispielaufgabe: Untersuchung der Lagebeziehung von Gerade und Ebene
Gegeben sind eine Ebene
und eine Gerade ![{\displaystyle g: \vec(x)=\left( \begin{matrix} 2\\ 2\\ 2 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ -4\\ 0 \end{matrix} \right) }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8968170e32a482c3f19bf490126a5c95&mode=mathml)
und eine Gerade
. Untersuche die Lagebeziehung der Gerade und der Ebene und bestimme gegebenenfalls den Schnittpunkt.
1. Schritt: Setze die Geraden- und Ebenengleichung gleich.
![{\displaystyle \left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 0\\ 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2\\ 2\\ 2 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ -4\\ 0 \end{matrix} \right) }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=43ec2387813a2bec95619bf6bc9da246&mode=mathml)
2. Schritt: Stelle das zugehörige lineare Gleichungssystem auf.
![{\displaystyle \begin{vmatrix} 1-s-t=2-r \\ s=2-4r \\ t=2 \end{vmatrix} }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=9b4c4b8935e04f593d8312d1826f8667&mode=mathml)
3. Schritt: Löse das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren oder dem Taschenrechner.
![{\displaystyle s=-1, t=2, r=1 }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c183dc18b7d7d962651b6d297f309910&mode=mathml)
4. Schritt: Interpretiere die Lösung des Gleichungssystems anhand der Anzahl der Lösungen.
Da das Gleichungssystem nur eine Lösung hat, besitzen die Ebene
![{\displaystyle E}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da&mode=mathml)
und die Gerade
![{\displaystyle g}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d&mode=mathml)
nur einen gemeinsamen Punkt. Also schneidet die Gerade die Ebene.
5. Schritt: Da sich die Ebene
und die Gerade
schneiden, kannst du den Schnittpunkt der beiden berechnen. Setze dafür den Parameter
in die Geradengleichung ein.
![{\displaystyle g: \left( \begin{matrix} 2\\ 2\\ 2 \end{matrix} \right) + 1 \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ -4\\ 0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1\\ -2\\ 2 \end{matrix} \right) }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=4a527f4197fb1d0524584d6e3fdf4148&mode=mathml)
Für die Lage einer Gerade g zu einer Ebene E sind 3 Fälle möglich:
- Die Gerade g liegt in der Ebene E.
![Lagebeziehung Gerade Ebene LiegtIn2.png](/images/thumb/2/22/Lagebeziehung_Gerade_Ebene_LiegtIn2.png/300px-Lagebeziehung_Gerade_Ebene_LiegtIn2.png)
- Die Gerade g liegt parallel zur Ebene E.
Die Gerade g und die Ebene E schneiden sich.
Untersuchung der Lagebeziehung
Vorgehen
Beispiel (Ebene in Parameterform)
Übungsaufgaben (Learning App)
Beispiel (Ebene in Koordinatenform)
Übungsaufgaben
⭐Berechnung des Winkels zwischen Gerade und Ebene
Merke: Winkel berechnen zwischen Gerade und Ebene
Merksatz: Winkel berechnen zwischen Gerade und Ebene
Sei
![{\displaystyle E}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da&mode=mathml)
eine Ebene mit dem Normalenvektor
![{\displaystyle n}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1&mode=mathml)
und
![{\displaystyle g}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d&mode=mathml)
eine Gerade mit dem Richtungsvektor
![{\displaystyle u}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7b774effe4a349c6dd82ad4f4f21d34c&mode=mathml)
. Der Schnittwinkel
![{\displaystyle \alpha}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7b7f9dbfea05c83784f8b85149852f08&mode=mathml)
zwischen
![{\displaystyle E}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da&mode=mathml)
und
![{\displaystyle g}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d&mode=mathml)
kann mit folgender Formel berechnet werden:
Beispiel: Winkel berechnen zwischen Gerade und Ebene
Inhalt
Aufgabe <Nummer>: <Name>
Inhalt
Aufgabe <Nummer>: Winkel gesucht
Inhalt
Lagebeziehung Ebene-Ebene
Basiswissen
Aufgabe: Lückentext zur Lagebeziehung zwischen Ebene und Ebene
Untersuchung der Lagebeziehung zwischen zwei Ebenen
Seien E und F zwei Ebenen im Raum. Um die Lagebeziehung dieser Ebenen zu untersuchen, müssen eine Reihe bestimmter Rechenschritte durchgeführt werden:
Schritt 1: Die beiden Ebenengleichungen gleichsetzen
Schritt 2: LGS interpretieren
Schritt 3: Schnittgerade bestimmen
Aufgabe: Ergebnisse interpretieren
Interpretiere die jeweilige Situation geometrisch.
a)
b)
c)
Aufgabe: Lagebeziehungen berechnen
Untersuche die Lagebeziehung der jeweiligen Ebenen.
a)
b)
c)
Aufgabe: Schnitt von zwei Zeltflächen
Die beiden Seitenflächen eines Zeltes liegen in den Ebenen
und
. Berechne die Geradengleichung der oberen Zeltkante.
⭐Berechnung des Winkels zwischen Ebene und Ebene
Merke: Winkel berechnen zwischen zwei Ebenen
Wenn sich zwei Ebenen schneiden, kann der Schnittwinkel bestimmt werden, den sie einschließen. Wie in Abbildung ... zu sehen ist, kannst du dazu die Normalenvektoren betrachten. Sie schließen denselben Winkel ein, wie die beiden Ebenen. Betrachten wir die Normalenvektoren, so können wir ähnlich vorgehen, wie beim Berechnen des Winkels zwischen zwei Geraden.
Um den Schnittwinkel zu berechnen, musst du zunächst die Normalenvektoren der Ebenen bestimmen. Wenn du nicht mehr genau weißt, wie das geht, schaue nochmal in Kapitel
Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum
Merksatz: <Name>
Seien
![{\displaystyle E}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da&mode=mathml)
und
![{\displaystyle F}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=800618943025315f869e4e1f09471012&mode=mathml)
zwei sich schneidende Ebenen mit den Normalenvektoren
![{\displaystyle n}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1&mode=mathml)
und
![{\displaystyle m}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=6f8f57715090da2632453988d9a1501b&mode=mathml)
. Der Schnittwinkel
![{\displaystyle \alpha}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7b7f9dbfea05c83784f8b85149852f08&mode=mathml)
zwischen
![{\displaystyle E}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da&mode=mathml)
und
![{\displaystyle F}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=800618943025315f869e4e1f09471012&mode=mathml)
kann mit folgender Formel berechnet werden:
![{\displaystyle cos(\alpha)=\frac{ n \ast m}{|n| \cdot |m|}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=08ba55f37ee905f72fed583e4f3d5cbb&mode=mathml)
Beispiel: Winkel berechnen zwischen zwei Ebenen
Inhalt
Aufgabe <Nummer>: Fehlerbeschreibung
Inhalt
Aufgabe <Nummer>: Zeltwände
Wir betrachten noch einmal die Situation aus Aufgabe ...: Die beiden Seitenflächen eines Zeltes liegen in den Ebenen
und
.
a) Berechne den Winkel, unter dem sich die Seitenflächen treffen.
b) Berechne den Außenwinkel der Zeltwand zum Boden, wenn diese durch die
-Ebene dargestellt wird.