Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisfläche: Unterschied zwischen den Versionen
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Berechne den Umfang des Halbkreises: u<sub>Halbkreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·u<sub>Kreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·2·π·r = π·r<br> | Berechne den Umfang des Halbkreises: u<sub>Halbkreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·u<sub>Kreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·2·π·r = π·r<br> | ||
Lösung: u = 9,1cm|2=Tipp zur Berechnung des Umfangs Nr. 6a|3=Verbergen}} | Lösung: u = 9,1cm|2=Tipp zur Berechnung des Umfangs Nr. 6a|3=Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Der Flächeninhalt der Figur setzt sich zusammen aus dem Flächeninhalt des Quadrates A <sub>1</sub>und dem Flächeninhalt des Halbreises A<sub>2</sub>.<br> | |||
Berechne den Flächeninhalt des Halbkreises A<sub>2</sub> = A<sub>Halbkreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·A<sub>Kreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·r².<br> | |||
Lösung: 5,57cm²|2=Tipp zur Berechnung des Flächeninhaltes Nr. 6a|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Musterlösung (Schreibweisen) zu Nr. 6a:<br> | |||
Umfang u:<br> | |||
u<sub>Halbkreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·u<sub>Kreis</sub> | |||
= <math>\tfrac{1}{2}</math>·2·π·r | |||
= π·r<br> | |||
= π·1<br> | |||
&nbso; = 3,14 (cm)<br> | |||
u<sub>gesamt</sub> = 2 + 2 + 2 + 3,14 = 9,14 (cm)<br> | |||
<br> | |||
Flächeninhalt A:<br> | |||
A<sub>1</sub> = A<sub>Quadrat</sub><br> | |||
= 2²<br> | |||
= 4 (cm²)<br> | |||
A<sub>2</sub> = A<sub>Halbkreis</sub> <br> | |||
= <math>\tfrac{1}{2}</math>·A<sub>Kreis</sub><br> | |||
= <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·r².<br> | |||
= <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·1²<br> | |||
= 1,57 (cm²)<br> | |||
A<sub>gesamt</sub> = A<sub>1</sub> + A<sub>2</sub><br> | |||
= 4 + 1,57<br> | |||
= 5,57 (cm²)|2=Musterlösung zu Nr. 6a (Schreibweisen)|3=Verbergen}} | |||
Version vom 8. April 2021, 12:20 Uhr
SEITE IM AUFBAU!!
Kreisfläche A
Du hast jeweils den Durchmesser der Pizzen gegeben, damit kannst du den Radius berechnen.
Um die Frage zu beantworten, musst du den Flächeninhalt der Pizzen berechnen können.
2.1 Kreisfläche - Herleitung der Formel
Applet von Anthony Or. Education Bureau
Das Applet ist einfacher dargestellt und gibt bei er neu entstandenen Figur die Längen an. Kannst du nun eine Formel für den Flächeninhalt herleiten?
Die Fläche, die durch das Einteilen des Kreises und das Umlegen entsteht, hat annähernd die Form eines Rechtecks mit den Seitenlängen a= (halber Umfang) und b = r (Radius)
Also gilt:
A = a·b | Setze für a den halben Umfang und für b den Radius ein.
= · r | Setze für u die Formel für den Umfang ein: u =2πr.
= · r | Kürze mit 2.
= πr · r | Fasse r·r zusammen.
Das Video fasst die Herleitung der Formel zusammen:
Eine weitere Möglichkeit, den Flächeninhalt eines Kreises abzuschätzen, zeigt das folgende Applet von Pöchtrager:
Beschreibe!
Merke dir die Formel mit dem Lied von Dorfuchs:
2.2 Kreisfläche - Berechnungen
Beispiele:
geg: r = 3,0 cm
ges: A
A = π · r² |Wert einsetzen
= π · 3,0²
geg: d = 5,0 cm
ges: A
r = = = 2,5 (cm)
A = π · r² |Wert einsetzen
= π · 2,5²
geg: A = 7,0 cm²
ges: r
A = π · r² |: π
= r2 |
= r &nbap; |Wert einsetzen
= r
1,5 (cm) ≈ r
geg: A = 18,10 cm²
ges: d
d = 2·r; Berechne zunächst r:
A = π · r² |: π
= r2 |
= r &nbap; |Wert einsetzen
= r
2,4 (cm) ≈ r
Radius r und Umfang u:
Wenn man den Radius r eines Kreises verdoppelt, verdreifacht, vervierfacht,... dannverdoppelt, verdreifacht, vervierfacht sich der Umfang u.
Radius r und Flächeninhalt A:
Wenn man den Radius r eines Kreises verdoppelt, verdreifacht, vervierfacht,... dannvervierfacht, verneunfacht, versechzehnfacht sich der Flächeninhalt A.
Prüfe deine Vermutung mit dem nachfolgenden GeoGebra-Applet:
2.3 Kreisfläche - Anwendungen
Jetzt kannst du die Einführungsaufgabe lösen: Bei welcher Pizza erhältst du mehr Pizza für dein Geld?
Geometrische Anwendungen
Umfang u: Die Ameise läuft außen um die Figur herum. Addiere die Teilstrecken.
Flächeninhalt A: Male die Fläche innen drin aus.
Der Radius der Halbkreise beträgt r = 1 cm, denn
Für den Umfang läuft die Ameise an drei Seiten des Quadrates und den Halbkreisbogen entlang.
Berechne den Umfang des Halbkreises: uHalbkreis = ·uKreis = ·2·π·r = π·r
Der Flächeninhalt der Figur setzt sich zusammen aus dem Flächeninhalt des Quadrates A 1und dem Flächeninhalt des Halbreises A2.
Berechne den Flächeninhalt des Halbkreises A2 = AHalbkreis = ·AKreis = ·π·r².
Musterlösung (Schreibweisen) zu Nr. 6a:
Umfang u:
uHalbkreis = ·uKreis
= ·2·π·r
= π·r
= π·1
&nbso; = 3,14 (cm)
ugesamt = 2 + 2 + 2 + 3,14 = 9,14 (cm)
Flächeninhalt A:
A1 = AQuadrat
= 2²
= 4 (cm²)
A2 = AHalbkreis
= ·AKreis
= ·π·r².
= ·π·1²
= 1,57 (cm²)
Agesamt = A1 + A2
= 4 + 1,57