Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken

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1) Sinus, Kosinus, Tangens
2) Strecken- und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken

3) Berechnungen in allgemeinen Dreiecken

3 Strecken- und Winkelberechnungen in allgemeinen Dreiecken

Die Seitenverhältnisse Sinus, Kosinus und Tanges gelten nur für rechtwinklige Dreiecke.

Um in allgemeinen Dreiecken Strecken und Winkel berechnen zu können, zerlege das Dreieck mithilfe einer Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke.

Strecken- und Winkelberechnungen in allgemeinen Dreiecken

Zerlege das allgemeine Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Zeichne dazu eine geeignete Höhe h ein.
Berechne dann mithilfe von Sinus, Kosinus und Tagens die fehlenden Strecken in den rechtwinkligen Teildreiecken.

Übertrage die Beispiele in dein Heft (Skizze und Rechnungen)

3.1 Beispiel 1: Eine Seite und zwei Winkel sind gegeben

1. Möglichkeit: Zerlege das Dreieck durch die Höhe h_a ein zwei rechtwinklige Dreiecke.

① Bestimme γ:
Winkelsummensatz
γ = 180° - α - β
   = 180° - 42° - 62°
   = 76°

② Berechne h_a:
sin β = $\tfrac{h_a}{c}$   | ·c
c · sin β = h_a
8,5 · sin(42°) = h_a
5,7 (cm) $\approx$ h_a

③ Berechne b:
sin γ = $\tfrac{h_a}{b}$   | ·b
b · sin γ = h_a   | : sin γ
b = $\tfrac{h_a}{sin\gamma}$
b = $\tfrac{\text{5,7}}{\text{sin(76°)}}$
b $\approx$ 5,9 (cm)

④ Berechne a:

Berechne a₁:

cos β = $\tfrac{a_1}{c}$   | ·c
c · cos β = a₁
8,5 · cos (42°) = a₁

6,3 (cm) $\approx$a₁

Berechne a₂:

cos γ = $\tfrac{a_2}{b}$   | ·c
b · cos γ = a₂
5,9 · cos (76°) = a₂

1,4 (cm) $\approx$ a₂

a = a₁ + a₂

   = 6,3 + 1,4

   = 7,7 (cm)

2. Möglichkeit: Zerlege das Dreieck durch die Höhe h_b ein zwei rechtwinklige Dreiecke.

① Bestimme γ:
Winkelsummensatz
γ = 180° - α - β
   = 180° - 42° - 62°
   = 76°

② Berechne h_b:
sin α = $\tfrac{h_b}{c}$   | ·c
c · sin α = h_b
8,5 · sin(62°) = h_b
7,5 (cm) $\approx$ h_b

③ Berechne a:
sin γ = $\tfrac{h_b}{a}$   | ·a
a · sin γ = h_b   | : sin γ
a = $\tfrac{h_b}{sin\gamma}$
a = $\tfrac{\text{7,5}}{\text{sin(76°)}}$
a $\approx$ 7,7 (cm)

④ Berechne b:

Berechne b₁:

cos α = $\tfrac{b_1}{c}$   | ·c
c · cos α = b₁
8,5 · cos (62°) = b₁

4,0 (cm) $\approx$a₁

Berechne b₂:

cos γ = $\tfrac{b_2}{a}$   | ·c
a · cos γ = b₂
7,7 · cos (76°) = b₂

1,9 (cm) $\approx$ b₂

b = b₁ + b₂

   = 4,0 + 1,9

   = 5,9 (cm)

3.2 Beispiel 2: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben

1. Möglichkeit: Zerlege das Dreieck durch die Höhe h_a ein zwei rechtwinklige Dreiecke.

① Bestimme h_a:
sin γ = $\tfrac{h_a}{b}$   |·b
b · sin γ = h_a
5,8 · sin(65°) = h_a
5,2 (cm) $\approx$ h_a

② Bestimme a₂
cos γ = $\tfrac{a_2}{b}$   |·b
b · cos γ = a₂
5,8 · cos(65°) = a₂
2,5 (cm) $\approx$ a₂

③ Bestimme a₁
a – a₂= a₁
8,2 - 3,8 = a₁
5,7 (cm) = a₁
     

④  Bestimme β
tan β = $\tfrac{h_a}{a_1}$
tan β = $\tfrac{5,2}{5,7}$   |tan^-1
β $\approx$ 42,4°

⑤ Bestimme c

sin β = $\tfrac{h_a}{c}$   |·c
c · sin β = h_a   |: sin β
c = $\tfrac{h_a}{sin\beta}$
c = $\tfrac{\text{5,2}}{\text{sin (42,4°)}}$

c $\approx$ 7,7 (cm)

c² = $h_a^2 + a_1^2$   |$\surd$

c= $\sqrt{h_a^2 + a_1^2}$
c = $\sqrt{5,2^2 + 5,7^2}$
c $\approx$ 7,7 (cm)

⑥ Bestimme den letzten Winkel α 
Winkelsumme
α + β + γ  = 180°     |- β; -γ
α = 180° - β - γ
α = 180° - 42,4° - 65°
α = 72,6°

2. Möglichkeit: Zerlege das Dreieck durch die Höhe h_b ein zwei rechtwinklige Dreiecke.

① Bestimme h_b:
sin γ = $\tfrac{h_b}{a}$   |·a
a · sin γ = h_b
8,2 · sin(65°) = h_b
7,4 (cm) $\approx$ h_b

② Bestimme b₂
cos γ = $\tfrac{b_2}{a}$   |·a
a · cos γ = b₂
8,2 · cos(65°) = b₂
3,5 (cm) $\approx$ b₂

③ Bestimme b₁
b – b₂= b₁
5,8 - 3,5 = b₁
2,3 (cm) = b₁
     

④  Bestimme α
tan α = $\tfrac{h_b}{b_1}$
tan α = $\tfrac{7,4}{2,3}$   |tan^-1
α $\approx$ 72,7°

⑤ Bestimme c

sin α = $\tfrac{h_b}{c}$   |·c
c · sin α = h_b   |: sin α
c = $\tfrac{h_b}{sin\alpha}$
c = $\tfrac{\text{7,4}}{\text{sin (72,7°)}}$

c $\approx$ 7,8 (cm)

c² = $h_b^2 + b_1^2$   |$\surd$

c= $\sqrt{h_b^2 + b_1^2}$
c = $\sqrt{7,4^2 + 2,3^2}$
c $\approx$ 7,7 (cm)

⑥ Bestimme den letzten Winkel β 
Winkelsumme
α + β + γ  = 180°     |- α; -γ
β = 180° - α - γ
β= 180° - 72,7° - 65°
β = 42,3°

Du merkst, es kommt zu Rundungsungenauigkeiten.

3.3 Beispiel 3: Zwei Seiten und ein anliegender Winkel sind gegeben

NOCH ERGÄNZEN (nur eine Höhe ist möglich)

Übung 1 (online und im Heft)

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.

• 61
• 62
• 63

Übung 2

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne die Skizze in dein Heft und zerlege das allgemeine Dreieck durch eine geeignete Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke. Bestimme dann die fehlenden Größen.

• S. 99 Nr. 1
• S. 99 Nr. 2
• S. 99 Nr. 4
• S. 100 Nr. 6

Löse wie im 2. Beispiel, es sind zwei Seiten und ein Winkel gegeben.

Löse wie im 1. Beispiel, es sind eine Seite und zwei Winkel gegeben.

Löse wie im 3. Beispiel, es sind zwei Seiten und ein anliegender Winkel gegeben

3.4 Anwendungsaufgaben

Übung 3 (online und im Heft)

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.

• 63
• 64

Übung 4

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne die Skizzen in dein Heft und löse schrittweise. Notiere vollständig und übersichtlich.

• S. 99 Nr. 5
• S. 100 Nr. 7
• S. 100 Nr. 8

3.5 Formel für den Flächeninhalt beliebiger Dreiecke

Flächeninhaltsformel Dreieck (mit Sinus)

Der Flächeninhalt von Dreiecken kann mit dem Sinus eines Winkels und zweier Seitenlängen bestimmt werden. Die Herleitung der Formel ist auf der Seite realmath dargestellt. Öffne die Seite und leite die Flächeninhaltsformel für ein Dreieck her. Notiere im Heft.

• Link zur Herleitung (realmath)

4 Berechnungen in beliebigen Figuren