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Prozentformel und Zinsformel

Zinsen zu berechnen ist eigentlich nur Prozentrechnung - mit etwas anderem Namen. Die Formel aus der Prozentrechnung kennst du ja schon:

$W = G \cdot \frac{p}{100}$.

Dabei ist $W$ der Prozentwert, $G$ der Grundwert und $p$ der Prozentsatz. Möchtest du zum Beispiel wissen, was Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 3%} von $250$ g Mehl sind, rechnest du das mit genau dieser Formel aus:

$W = 250\text{ g}\cdot \frac{3}{100} = 7{,}5 \text{ g}$.

In der Zinsrechnung berechnen wir nun ebenfalls den Prozentwert von einem bestimmten Geldbetrag. Statt Prozentsatz sagen wir also Zinssatz und anstelle von Grundwert sprechen wir nun von Kapital. Zuletzt sind die Zinsen dann der Prozentwert. Statt mit aufwändigen Worten zu rechnen, kürzen wir diese Begriffe nun (wie in der Mathematik üblich) mit einem Buchstaben ab:

Dabei sind $Z$ die Zinsen, $K$ das Kapital und $p$ der Zinssatz. Als Formel ergibt sich somit:

Formel um Zinsen zu berechnen

$Z = K\cdot \frac{p}{100}$.

Beispielaufgabe zur Zinsformel mit Lösung

Probieren wir die Zinsformel doch mal zusammen anhand eines Beispiels aus:

Katharinas Geburtstag

Katharina hat zum Geburtstag ein Sparkonto bekommen. Dort bekommt sie in einem Jahr Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 1%} Zinsen gezahlt. Sie zahlt direkt all ihr Geburtstagsgeld von $100$ € auf das Sparkonto. Wie viel Geld hat sie an ihrem nächsten Geburtstag auf diesem Konto?

Lösung:

Gegeben: $K = 100$ €, Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle p = 1%} .

Gesucht: Kapital nach einem Jahr.

Rechnung: Um das Kapital nach einem Jahr zu bestimmen, berechnen wir zunächst die Zinsen:$Z = 100\text{ €} \cdot \frac{1}{100} = 1\text{ €}$. Nach einem Jahr hat sie demnach das Kapital von ihrem Geburtstag plus die Zinsen, $100\text{ €} + 1\text{ €} = 101\text{ €}$, auf dem Konto.

Antwort: Katharina hat an ihrem nächsten Geburtstag $101$ € auf dem Konto.

$K$ berechnen geht sogar noch schneller

In der Beispielaufgabe haben wir am Ende das Kapital noch mit den Zinsen verrechnet. Das können wir auch direkt in einer einzelnen Rechnung machen:

$100\text{ €} + 1\text{ €} = 101\text{ € } | \text{ Da die 100 € das Kapital sind ersetzen wir sie durch ein K.}$.

$K + 1\text{ €} = 101\text{ € } | \text{ Die 1 € sind die Zinsen, also ersetzen wir sie durch ein Z.}$.

$K + Z = 101\text{ € } | \text{ Das Z ersetzen wir durch die Zinsformel}$.

$K + K\cdot \frac{p}{100} = 101\text{ € } | \text{ Beachte: Vor dem K ist eine 1 Multipliziert.}$.

$1 \cdot K + 1 \cdot K \cdot \frac{p}{100} = 101\text{ € } | \text{ Das K können wir nun ausklammern}$.

$K\cdot(1 + 1\cdot \frac{p}{100}) = 101\text{ € } | \text{ Da wir eine allgemein Formel suchen geben wir den 101 € auch noch einen Namen: }K_t$.

Zinsformel

$K\cdot(1 + 1\cdot \frac{p}{100}) = K_t$

In eurem Buch wird $1+\frac{p}{100}$ als $q$ abgekürzt. Es ist allerdings euch überlassen, ob ihr das lieber ausschreiben möchtet oder eben abkürzen wollt.

Probieren wir diese Formel doch direkt mal aus mit $K = 100$ € und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle p=1%} aus der Beispielaufgabe "Katharinas Geburtstag" aus.

$100\cdot(1 + 1\cdot \frac{1}{100}) = 101$.

Damit können wir mit dieser Formel also das berechnen der Zinsen, sowie das addieren der Zinsen zu dem bestehenden Kapital überspringen. Wie in der Lösung kommen wir also auch auf $101$ € kommen.

Aufgaben

Aufgabe 1: Rechnen mit Zinsen

Katharina hat nun $100$ € auf ihrem Konto. Sie bekommt zwei Angebote von Banken. Bank A bietet ihr 2% Zinsen in einem Jahr, Bank B bietet ihr 1% Zinsen in einem halben Jahr.

a) Wieviel Geld hat Katharina bei Bank A nach einem Jahr auf dem Konto?

Benutze die Zinsformel, welche du gerade gelernt hast.

Überleg dir zuerst, was $K$ und $p$ ist.

Es ist $K = 100$ € und $p = 2$.

Benutze die Formel von oben: $K\cdot(1 + 1\cdot \frac{p}{100}) = K_t$. Eingesetzt ergibt sich

$100\cdot(1 + 1\cdot \frac{2}{100}) = 102$ €. Damit befinden sich also $102$ € nach einem Jahr auf ihrem Konto.

b) Wieviel Geld hätte Katharina nach einem halben Jahr bei Bank B auf dem Konto?

Das geht genau so wie in Aufgage a). Lass dich von dem Zeitraum nicht verwirren, da sich die angegeben Zinsen schon auf ein halbes Jahr beziehen.

Rechne mit $K = 100$ € und $p = 1$.

Rechne wie in Aufgabe 1 a). $100\cdot(1 + 1\cdot \frac{1}{100}) = 101$ €. Damit hat sie ein Kapital von $101$ € auf ihrem Konto.

c) Nach einem halben Jahr hat Katharina nun $101$ € auf ihrem Konto. Wieviel Geld hat sie ein weiteres halbes Jahr später?

Verfahre genauso wie in b).

Bedenke, dass sich im Unterschied zu b) nun $K$ verändert hat.

Rechne wie in Aufgabe 1 a). $101\cdot(1 + 1\cdot \frac{1}{100}) = 102{,}01$ €. Sie hat also $102{,}01$ € auf ihrem Konto.

d) Was fällt dir im Vergleich der beiden Angebote auf?

Ist ein Angebot besser?

Überlege, ob sich die Zinsen mit der Zeit verändern oder immer gleich bleiben.

Das Angebot von Bank B ist besser. Es klingt zwar so, als seien beide Angebote gleich, aber da sich nach jedem Auszahlen der Zinsen auch $K$ vergrößert, werden die Zinsen auch größer. Nachdem zweimal ausgezahlt wurde, hat Katharina daher etwas mehr Geld auf ihrem Konto.

Aufgabe 2: Vergleich Zinsen mit proportionalem Wachstum

Sipan besitzt ein Sparschwein. Er legt jedes Jahr immer 5 € in dieses Sparschwein. Seine Schwester Esma legt ihr Geld bei einer Bank an, bei welcher sie 2% Zinsen im Jahr bekommt.

a) Beide starten mit $250$ € Erspartem. Berechne wieviel Geld sie jeweils nach zwei Jahren auf ihrem Konto beziehungsweise Sparschwein haben.

Gehe Schrittweise vor. Berechne bei beiden zuerst das Geld nach einem Jahr und dann nach zwei Jahren.

Sipan wird in zwei Jahren $10$ € zu seinem Ersparten legen. Er besitzt dann also $260$ €. Esma bekommt im ersten Jahr $250 \text{ €}\cdot \frac{2}{100}=5\text{ €}$ Zinsen und im zweiten Jahr $255 \text{ €}\cdot \frac{2}{100}=5{,}10\text{ €}$ Zinsen. Also hat sie nach zwei Jahren $250\text{ €}+5\text{ €}+5{,}10\text{ €}=260,10$ € auf ihrem Konto.

b) Fallen dir Vorteile der beiden Sparmethoden von Sipan und Esma ein?

Hier musst du nicht rechnen. Überlege dir zum Beispiel was auf kurze oder lange Sicht passiert und was der Unterschied zwischen einem Sparschwein und einem Konto ist.

Ein Sparschwein ist immer verfügbar. Wenn Sipan dringend Geld braucht, kann er sein Sparschwein schnell plündern. Auf lange Sicht ist das Sparkonto von Esma aber die klügere Wahl, da sie nicht nur den gleichen Betrag bekommt, sondern die Zinsen zunehmen und sie so immer mehr Kapital ansammelt. Das rechnet sich auf lange Sicht.

Aufgabe 3: Zinsen nur bei Geld?

Manchmal beobachtet man in der Natur Vorgänge, die man nicht mit Linearem Wachstum erklären kann. Wasserlinsen sind kleine Pflanzen, welche an der Wasseroberfläche treiben. Enten und Glaskarpfen fressen diese gerne. Sie können sich an nur einem Tag verdoppeln.

a) Stell dir vor, dass unbemerkt zwei Wasserlinsen in ein Aquarium kommen. Wieviele Wasserlinsen sind dann am nächsten Tag in dem Aquarium? Wieviele sind es nächste Woche?

Gehe Schrittweise vor. Du brauchst hier keine Formel anwenden.

Verdoppelt bedeutet immer doppelt so viele. Also einen Tag später sind es vier Wasserlinsen, nach zwei Tagen acht Wasserlinsen, nach drei Tagen $16$ Wasserlinsen, nach vier Tagen $32$, nach fünf Tagen $64$, nach sechs Tagen $128$ und nach sieben Tagen, also einer Woche $256$ Wasserlinsen.

b) Wie könntest du verdoppeln als Zinssatz darstellen. Probiere deine Ideen mit der Zinsformel aus!

Ausprobieren ist vollkommen in Ordnung. Schau bei welchem Zinssatz sich hinterher doppelt soviel Kapital ergibt.

Verdoppeln bedeutet ein Wachstum von Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 100%} . Damit ist die Rechnung $2\cdot(1 + 1\cdot \frac{100}{100}) = 4$. Die Zinsformel funktioniert also nicht nur im Kontext Kapital. Natürlich nennt sich das Wachstum von Wasserlinsen nicht Zinsen. Mathematisch ist das jedoch das Gleiche.

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