Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Zinsrechnung/Zinsformel

Info

In diesem Kapitel geht es um die Zinsformel. Die Zinsformel hilft dir die einmaligen Zinsen ohne weitere Komplikationen zu berechnen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende

Kompetenzen wiederholen und vertiefen.

• Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
• Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

Viel Erfolg!

Prozentformel und Zinsformel

Zinsen zu berechnen ist eigentlich einfach nur Prozentrechnung - mit etwas anderen Namen. Die Formel aus der Prozentrechnung kennst du ja schon:

$W = G \cdot \frac{p}{100}$.

Dabei ist $W$ der Prozentwert, $G$ der Grundwert und $p$ die Prozentzahl. Möchtest du zum Beispiel wissen, was Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 3%} von 250g Mehl sind, rechnest du das mit genau dieser Formel aus:

$W = 250\cdot \frac{3}{100} = 7{,}5 \text{ g}$.

In der Zinsrechnung berechnen wir nun ebenfalls die Prozente von einem bestimmten Geldbetrag. Statt Prozent sagen wir also Zinssatz und anstelle von Grundwert sprechen wir nun von Kapital. Zuletzt sind die Zinsen dann der Prozentwert. Statt die aufwändigen Worte kürzen wir diese Begriffe nun wie in der Mathematik üblich mit eine, Buchstaben ab:

Dabei sind $Z$ die Zinsen, $K$ das Kapital und $z$ der Zinssatz. Als Formel ergibt sich somit:

$Z = K\cdot \frac{z}{100}$.

Beispielaufgabe mit Lösung

Probieren wir die doch mal zusammen aus anhand einem Beispiel:

Beispiel

Katharina hat zum Geburtstag ein Sparkonto bekommen. Dort bekommt sie in einem Jahr Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 1%} Zinsen gezahlt. Sie zahlt direkt all ihr Geburtstagsgeld von $100$ Euro auf das Sparkonto. Wieviel Geld hat sie an ihrem nächsten Geburtstag auf diesem Konto?

Lösung:

Gegeben: K = $100$ Euro, z = Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 1%} .

Gesucht: Z und Kapital nach einem Jahr.

Rechnung: $Z = 100\text{ Euro} \cdot \frac{1}{100} = 1\text{ Euro}$. Nach einem Jahr hat sie demnach $100\text{ Euro} + 1\text{ Euro} = 101\text{ Euro}$ auf dem Konto.

Antwort: Katharina hat an ihrem nächsten Geburtstag $101$ Euro auf dem Konto.

Das geht sogar noch schneller

In der Beispielaufgabe haben wir am Ende das Kapital noch mit den Zinsen verrechnet. Das können wir auch direkt in einer einzelnen Rechnung machen:

$100\text{ Euro} + 1\text{ Euro} = 101\text{ Euro } | \text{ Die 100 ersetzen wir durch ein K}$.

$K + 1\text{ Euro} = 101\text{ Euro } | \text{ Die 1 Euro ersetzen wir durch Z}$.

$K + Z = 101\text{ Euro } | \text{ Das Z ersetzen wir durch die Zinsformel}$.

$K + K\cdot \frac{z}{100} = 101\text{ Euro } | \text{ Vor dem K ist eine 1 Multipliziert}$.

$1 \cdot K + 1 \cdot K \cdot \frac{z}{100} = 101\text{ Euro } | \text{ Das K können wir nun ausklammern}$.

$K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = 101\text{ Euro } | \text{ Der 101 geben wir auch noch einen Namen}$.

$K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = K_t$.

Probieren wir diese Formel doch direkt mal aus mit $K = 100$ und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle z=1%} aus der Beispielaufgabe aus.

$100\cdot(1 + 1\cdot \frac{1}{100}) = 101$. Es geht auf!

Aufgaben

Aufgabe 1: Rechnen mit Zinsen

Katharina hat nun $100 \euro$ auf ihrem Konto. Sie bekommt zwei Angebote von Banken. Bank A bietet ihr 2% Zinsen in einem Jahr, Bank B bietet ihr 1% Zinsen in einem halben Jahr.

a) Wieviel Geld hat Katharina bei Bank A nach einem Jahr auf dem Konto?

Benutze die Zinsformel, welche du gerade gelernt hast.

Überleg dir zuerst, was $G$ und $z$ ist.

Es ist $G = 100 \euro$ und $z = 2$. Nun benutze die Formel von oben

Katharina bekommt bei Bank A in einem Jahr $2$ Euro Zinsen. Also hat sie dann ein Kapital von $102$ Euro auf ihrem Konto.

b) Wieviel Geld hätte Katharina nach einem halben Jahr bei Bank B auf dem Konto?

Das geht genau so wie in Aufgage a).

Rechne mit $G = 100 \euro$ und $z = 1$.

Katharina bekommt in einem halben Jahr bei Bank B $1$ Euro Zinsen. Damit hat sie ein Kapital von $101$ Euro auf ihrem Konto.

c) Nach eine halben Jahr hat Katharina nun $101$ Euro auf ihrem Konto. Wieviel Geld hat sie ein weiteres halbes Jahr später?

Verfahre genauso wie in b).

Bedenke, dass sich im Unterschied zu b) nun $G$ verändert hat.

Katharina bekommt für ein weiteres halbes Jahr insgesamt $1{,}01$ Euro Zinsen. Sie hat also $101{,}01$ Euro auf ihrem Konto.

d) Was fällt dir im Vergleich der beiden Agebote auf?

Ist ein Angebot besser?

Überlege, ob sich die Zinsen mit der Zeit verändern oder immer gleich bleiben.

Das Angebot von Bank B ist besser. Es klingt zwar so, als seien beide Angebote gleich, aber da sich nach jedem auszahlen der Zinsen auch $G$ vergrößert, werden die Zinsen auch größer. Nach zweimal auszahlen hat Katharina daher etwas mehr Geld auf ihrem Konto.

Aufgabe 2: Vergleich Zinsen mit Linearem Wachstum

Sipan hat ein Sparschwein. Er legt jedes Jahr immer 5 Euro in dieses Sparschwein. Seine Schwester Esma legt ihr Geld bei einer Bank an, wo sie 2% Zinsen im Jahr bekommt.

a) Beide starten mit $250$ Euro Erspartem. Berechne wieviel Geld sie jeweils nach zwei Jaren auf ihrem Konto haben.

Gehe Schrittweise vor. Berechne bei beiden zuerst das Geld nach einem Jahr und dann nach zwei Jahren.

Sipan wird in zwei Jahren $10$ Euro zu seinem Ersparten legen. Er besitzt dann also $260$ Euro. Esma bekommt im ersten Jahr $5$ Euro Zinsen und im zweiten Jahr $5{,}10$ Euro Zinsen. Also hat sie nach zwei Jahren $260,10$ Euro auf ihrem Konto.

b) Fallen dir Vorteile der beiden Sparmethoden von Sipan und Esma ein?

Hier musst du nicht rechnen. Überlege dir zum Beispiel was auf kurze oder lange Sicht passiert und was der Unterschied zwischen einem Sparschwein und einem Konto ist.

Ein Sparschwein ist immer verfügbar. Wenn Sipan dringend Geld braucht, kann er sein Sparschwein schnell plündern. Auf lange Sicht ist das Sparkonto von Esma aber die klügere Wahl, da sie nicht nur den gleichen Betrag bekommt, sondern immer mehr Geld. Das rechnet sich auf lange Sicht.

Aufgabe 3: Zinsen nur bei Geld?

Manchmal beobachtet man in der Natur Vorgänge, die man nicht mit Linearem Wachstum erklären kann. Wasserlinsen können sich an nur einem Tag verdoppeln.

a) Stell dir vor, dass unbemerkt zwei Wasserlinsen in ein Aquarium kommen. Wieviele Wasserlinsen sind dann am nächsten Tag in dem Aquarium? Wieviele sind es nächste Woche?

Gehe Schrittweise vor. Du brauchst hier keine Formel anwenden.

Verdoppelt bedeutet immer doppelt so viele. Also einen Tag später sind es vier Wasserlinsen, nach zwei Tagen acht Wasserlinsen, nach drei Tagen $16$ Wasserlinsen, nach vier Tagen $32$, nach fünf Tagen $64$, nach sechs Tagen $128$ und nach sieben Tagen, also einer Woche $256$ Wasserlinsen.

b) Wie könntest du verdoppeln als Prozent darstellen. Probiere deine Ideen mit der Formel aus!

Ausprobieren ist vollkommen in Ordnung.

Verdoppeln bedeutet ein Wachstum von Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 100%} . Die Zinsformel funktioniert also nicht nur bei Geld.