Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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<math> H(x) = \int x^3 - 6x^2 + \frac{47}{4}\cdot x - \frac{11}{2} = \frac{1}{4} \cdot x^4 - 2\cdot x^3 + \frac{47}{8}\cdot x^2 - \frac{11}{2} \cdot x + C </math> | <math> H(x) = \int x^3 - 6x^2 + \frac{47}{4}\cdot x - \frac{11}{2} = \frac{1}{4} \cdot x^4 - 2\cdot x^3 + \frac{47}{8}\cdot x^2 - \frac{11}{2} \cdot x + C </math> | ||
2. Schritt: Berechne H(a) und H(b) durch Einsetzen der unteren bzw. oberen Intervallgrenzen in H(x): | 2. Schritt: Berechne <math> H(a)</math> und <math> H(b)</math> durch Einsetzen der unteren bzw. oberen Intervallgrenzen in H(x): | ||
<math> H(1) = \frac{1}{4} \cdot 1^4 - 2 \cdot 1^3 + \frac{47}{8} \cdot 1^2 - \frac{11}{2} \cdot 1 + C = - \frac{11}{8} + C </math> | <math> H(1) = \frac{1}{4} \cdot 1^4 - 2 \cdot 1^3 + \frac{47}{8} \cdot 1^2 - \frac{11}{2} \cdot 1 + C = - \frac{11}{8} + C </math> | ||
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{{Box|Aufgabe 2: Der Goldpreis|'''Hierfür benötigst du einen Zettel und einen Stift.''' | {{Box|Aufgabe 2: Der Goldpreis|'''Hierfür benötigst du einen Zettel und einen Stift.''' | ||
Der Goldpreis wird innerhalb von 4 Tagen durch die Funktion <math> f(x)= 2 \cdot x^3 - 12 \cdot x^2 + 20 \cdot x + 30 </math> dargestellt, <math> x </math> in Tagen,<math> f(x)</math> in <math> \frac{Euro}{g} </math> . | Der Goldpreis wird innerhalb von 4 Tagen durch die Funktion <math> f(x)= 2 \cdot x^3 - 12 \cdot x^2 + 20 \cdot x + 30 </math> dargestellt, <math> x </math> in Tagen,<math> f(x)</math> in <math> \frac{Euro}{g} </math> (Preis in Euro pro Gramm). | ||
Berechne den Durchschnittspreis in den ersten 4 Tagen. | Berechne den Durchschnittspreis in den ersten 4 Tagen. | ||
[[Datei:Zwei Goldbarren.JPG|mini|Goldbarren]] | [[Datei:Zwei Goldbarren.JPG|mini|Goldbarren]] | ||
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In einem Labor werden Bakterien gezüchtet. Die Anzahl der Bakterien innerhalb von 10 Tagen ist durch die Funktion | In einem Labor werden Bakterien gezüchtet. Die Anzahl der Bakterien innerhalb von 10 Tagen ist durch die Funktion | ||
<math> p(x) = - x^4 + 40 \cdot x^3 - 500 \cdot x^2 + 2000 \cdot x + 1 </math> gegeben , wobei <math> x </math> | <math> p(x) = - x^4 + 40 \cdot x^3 - 500 \cdot x^2 + 2000 \cdot x + 1 </math> gegeben , wobei <math> x </math> für die Anzahl der Tage mit <math> 0 \leq\ x \leq 10 </math> steht. | ||
[[Datei:Sterione bild2.png|mini|240px|rechts| Bakterien in einer Petrischale]] | [[Datei:Sterione bild2.png|mini|240px|rechts| Bakterien in einer Petrischale]] | ||
a) Wie viele Bakterien gibt es am 8. Tag? | a) Wie viele Bakterien gibt es am 8. Tag? | ||
{{Lösung versteckt| Überlege, was du für <math> x</math> einsetzen musst. | Tipp | Tipp }} | {{Lösung versteckt|Überlege, was du für <math> x</math> einsetzen musst. |Tipp |Tipp }} | ||
{{Lösung versteckt| <math> p(8) = 358 </math> | {{Lösung versteckt|<math> p(8) = 358 </math> Antwortsatz: Am achten Tag gibt es 358 Bakterien|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | ||
Antwortsatz: Am achten Tag gibt es 358 Bakterien|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | |||
b) Wie viele Bakterien gibt es in den ersten 8 Tagen im Durchschnitt? | b) Wie viele Bakterien gibt es in den ersten 8 Tagen im Durchschnitt? | ||
{{Lösung versteckt| Welche der Formeln, die du kennengelernt hast, brauchst du? | Tipp | Tipp }} | {{Lösung versteckt|Welche der Formeln, die du kennengelernt hast, brauchst du? | Tipp | Tipp }} | ||
{{Lösung versteckt|<math> M = \frac{1}{8 - 0} \cdot \int_{8}^{0} - x^4 + 40 \cdot x^3 - 500 \cdot x^2 + 2000 \cdot x + 1 \,dx = \frac{1}{8} \cdot ( - \frac{1}{5} \cdot 8^5 + 10 \cdot 8^4 - \frac{500}{3} \cdot 8^3 + 1000 \cdot 8^2 + 8 - 0) = 1635,13</math> | {{Lösung versteckt|<math> M = \frac{1}{8 - 0} \cdot \int_{8}^{0} - x^4 + 40 \cdot x^3 - 500 \cdot x^2 + 2000 \cdot x + 1 \,dx = \frac{1}{8} \cdot ( - \frac{1}{5} \cdot 8^5 + 10 \cdot 8^4 - \frac{500}{3} \cdot 8^3 + 1000 \cdot 8^2 + 8 - 0) = 1635,13</math> | ||
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c) Wie viele Bakterien werden durchschnittlich zwischen dem 2. und 4. Tag gezüchtet? | c) Wie viele Bakterien werden durchschnittlich zwischen dem 2. und 4. Tag gezüchtet? | ||
{{Lösung versteckt| Überlege, wie sich c) und b) unterscheiden. | Tipp | Tipp }} | {{Lösung versteckt|Überlege, wie sich c) und b) unterscheiden. | Tipp | Tipp }} | ||
{{Lösung versteckt|<math>M = \frac{1}{4 - 2} \int_{4}^{2} - x^4 + 40 \cdot x^3 - 500 \cdot x^2 + 2000 \cdot x + 1 \,dx = \frac{1}{2} \cdot ( - \frac{1}{5} \cdot 4^5 + 10 \cdot 4^4 - \frac{500}{3} \cdot 4^3 + 1000 \cdot 4^2 + 4 - ( - \frac{1}{5} \cdot 2^5 + 10 \cdot 2^4 - \frac{500}{3} \cdot 2^3 + 1000 \cdot 2^2 + 2 )) \approx 2435,13 </math> | {{Lösung versteckt|<math>M = \frac{1}{4 - 2} \int_{4}^{2} - x^4 + 40 \cdot x^3 - 500 \cdot x^2 + 2000 \cdot x + 1 \,dx = \frac{1}{2} \cdot ( - \frac{1}{5} \cdot 4^5 + 10 \cdot 4^4 - \frac{500}{3} \cdot 4^3 + 1000 \cdot 4^2 + 4 - ( - \frac{1}{5} \cdot 2^5 + 10 \cdot 2^4 - \frac{500}{3} \cdot 2^3 + 1000 \cdot 2^2 + 2 )) \approx 2435,13 </math> | ||
Antwortsatz: Zwischen dem 2. und 4. Tag werden durchschnittlich ungefähr 2435 Bakterien gezüchtet. | Antwortsatz: Zwischen dem 2. und 4. Tag werden durchschnittlich ungefähr 2435 Bakterien gezüchtet. | ||
|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }} | |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }} | ||
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a) Welchen Wert erhältst du für das Integral im Intervall <math>[-1, 3]</math>? | a) Welchen Wert erhältst du für das Integral im Intervall <math>[-1, 3]</math>? | ||
{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt|Wie lautet die Stammfunktion?| Tipp | Tipp }} | ||
{{Lösung versteckt|<math>\int_{-1}^{3} \frac{3}{4}x^3 - 2x^2 + 2x + 1 \,dx = 4\frac{1}{8} - \frac{19}{24} = \frac{25}{3} </math> | {{Lösung versteckt|<math>\int_{-1}^{3} \frac{3}{4}x^3 - 2x^2 + 2x + 1 \,dx = 4\frac{1}{8} - \frac{19}{24} = \frac{25}{3} </math> | ||
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b) Wie lautet der Mittelwert? | b) Wie lautet der Mittelwert? | ||
{{Lösung versteckt| Überlege, was du aus der vorherigen Aufgabe brauchen könntest.| Tipp | Tipp }} | {{Lösung versteckt|Überlege, was du aus der vorherigen Aufgabe brauchen könntest.| Tipp | Tipp }} | ||
{{Lösung versteckt| <math> M =\frac{1}{3 + 1}\int_{-1}^{3} \frac{3}{4}x^3 - 2x^2 + 2x + 1 \,dx = \frac{1}{4} (\frac{147}{16}- \frac{41}{48}) = \frac{2}{3} </math> | {{Lösung versteckt|<math> M =\frac{1}{3 + 1}\int_{-1}^{3} \frac{3}{4}x^3 - 2x^2 + 2x + 1 \,dx = \frac{1}{4} (\frac{147}{16}- \frac{41}{48}) = \frac{2}{3} </math> | ||
Antwortsatz: Der Mittelwert der Funktion <math> h</math> lautet <math>\frac{2}{3} </math>. Damit du dir besser vorstellen kannst, was dieser Wert nun anzeigt, haben wir den Mittelwert in das Schaubild eingezeichnet. | Antwortsatz: Der Mittelwert der Funktion <math> h</math> lautet <math>\frac{2}{3} </math>. Damit du dir besser vorstellen kannst, was dieser Wert nun anzeigt, haben wir den Mittelwert in das Schaubild eingezeichnet. | ||
[[Datei:Mittelwert der Funktion h(x).jpg|mini|Mittelwert der Funktion <math>h(x)</math>]] |Lösungs anzeigen | Lösungsweg verbergen}}| Arbeitsmethode | Farbe=#0000CD }} | [[Datei:Mittelwert der Funktion h(x).jpg|mini|Mittelwert der Funktion <math>h(x)</math>]] |Lösungs anzeigen | Lösungsweg verbergen}}| Arbeitsmethode | Farbe=#0000CD }} | ||
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Ein Kirchenfenster wird oben durch die Funktion <math> k(x) = - x^2 + 10 \cdot x - 17 </math> im Intervall <math>[3, 7]</math> begrenzt, <math> x </math> und <math> k(x)</math> in Metern. Wie viel <math> m^2 </math> Glas wurde benötigt? | Ein Kirchenfenster wird oben durch die Funktion <math> k(x) = - x^2 + 10 \cdot x - 17 </math> im Intervall <math>[3, 7]</math> begrenzt, <math> x </math> und <math> k(x)</math> in Metern. Wie viel <math> m^2 </math> Glas wurde benötigt? | ||
{{Lösung versteckt| Mache dir eine Skizze, ähnlich wie auf dem Foto. Wie stellt der Graph der Funktion das Kirchenfenster dar? | Tipp | Tipp }} | {{Lösung versteckt|Mache dir eine Skizze, ähnlich wie auf dem Foto. Wie stellt der Graph der Funktion das Kirchenfenster dar? | Tipp | Tipp }} | ||
{{Lösung versteckt| <math>\int_{7}^{3} - x^2 + 10 \cdot x - 17 \,dx = \left[ - \frac{7^3}{3} + 5 \cdot 7^2 - 17 \cdot 7 \right]- \left[ - \frac{3^3}{3} + 5 \cdot 3^2 - 17 \cdot 3 \right]= \frac{80}{3} </math> | {{Lösung versteckt|<math>\int_{7}^{3} - x^2 + 10 \cdot x - 17 \,dx = \left[ - \frac{7^3}{3} + 5 \cdot 7^2 - 17 \cdot 7 \right]- \left[ - \frac{3^3}{3} + 5 \cdot 3^2 - 17 \cdot 3 \right]= \frac{80}{3} </math> | ||
Antwortsatz: Für das Kirchenfenster wurden ungefähr <math> 26,67 m^2 </math> Glas benötigt. |Lösung anzeigen | Lösungsweg verbergen}}| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }} | Antwortsatz: Für das Kirchenfenster wurden ungefähr <math> 26,67 m^2 </math> Glas benötigt. |Lösung anzeigen |Lösungsweg verbergen}}| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }} | ||
==Partielle Integration== | ==Partielle Integration== | ||
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b) <math> h(x)= (x + 2)^2 </math> im Intervall <math>[1, 6]</math> | b) <math> h(x)= (x + 2)^2 </math> im Intervall <math>[1, 6]</math> | ||
{{Lösung versteckt| Überlege, welche der Formeln, die du auf dieser Seite gelernt hast, brauchst du. | Tipp 1| Tipp 1}} | {{Lösung versteckt|Überlege, welche der Formeln, die du auf dieser Seite gelernt hast, brauchst du. | Tipp 1| Tipp 1}} | ||
{{Lösung versteckt| Bilde die Stammfunktion von h(x). Betrachte die Grenzen zunächst einzeln und denke an die binomischen Formeln. | Tipp 2| Tipp 2}} | {{Lösung versteckt|Bilde die Stammfunktion von h(x). Betrachte die Grenzen zunächst einzeln und denke an die binomischen Formeln. | Tipp 2| Tipp 2}} | ||
{{Lösung versteckt | <math> H(x)= \frac{x^3}{3} + 2 \cdot x^2 + 4 \cdot x </math> daraus folgt: | {{Lösung versteckt |<math> H(x)= \frac{x^3}{3} + 2 \cdot x^2 + 4 \cdot x </math> daraus folgt: | ||
<math> H(6) - H(1) = (\frac{6^3}{3} + 2 \cdot 6^2 + 4 \cdot 6) - (\frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1) = \frac{216}{3} - \frac{19}{3} = \frac{485}{3} </math> |Lösung anzeigen| Lösung verbergen}} | <math> H(6) - H(1) = (\frac{6^3}{3} + 2 \cdot 6^2 + 4 \cdot 6) - (\frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1) = \frac{216}{3} - \frac{19}{3} = \frac{485}{3} </math> |Lösung anzeigen| Lösung verbergen}} | ||
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e) <math> f(x)= (4 - x) </math> im Intervall <math>[1, 4]</math> | e) <math> f(x)= (4 - x) </math> im Intervall <math>[1, 4]</math> | ||
{{Lösung versteckt| Überlege, welche der Formeln, die du auf dieser Seite gelernt hast, brauchst du. | Tipp 1| Tipp 1}} | {{Lösung versteckt|Überlege, welche der Formeln, die du auf dieser Seite gelernt hast, brauchst du. | Tipp 1| Tipp 1}} | ||
{{Lösung versteckt| Bilde die Stammfunktion von f(x) und betrachte die Grenzen zunächst einzeln. | Tipp 2| Tipp 2}} | {{Lösung versteckt| Bilde die Stammfunktion von f(x) und betrachte die Grenzen zunächst einzeln. |Tipp 2| Tipp 2}} | ||
{{Lösung versteckt| <math> F(x)= 4 \cdot x - \frac{x^2}{2} </math> daraus folgt: | {{Lösung versteckt|<math> F(x)= 4 \cdot x - \frac{x^2}{2} </math> daraus folgt: | ||
<math> F(4) - F(1) = (4 \cdot 4 - \frac{4^2}{2} ) - (4 \cdot 1 - \frac{1^2}{2}) = 8 - \frac{7}{2} = \frac{9}{2} </math> | <math> F(4) - F(1) = (4 \cdot 4 - \frac{4^2}{2} ) - (4 \cdot 1 - \frac{1^2}{2}) = 8 - \frac{7}{2} = \frac{9}{2} </math> |
Version vom 19. Mai 2020, 19:22 Uhr
Einführung: Integral
Rechnen mit Integralen
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Aufgaben zu den verschiedenen Integrationsverfahren
Flächeninhalte von Integralen
Rotationskörper (Zusatz: nur für LK's)