Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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'''Der erste Teil des Hauptsatzes''' | '''Der erste Teil des Hauptsatzes''' | ||
Wenn | Wenn <math> h </math> eine stetige Funktion auf dem Intervall <math>[a, b]</math> ist, so gilt für jede Stammfunktion H auf dem Intervall <math>[a, b]</math> die Formel: | ||
<math>\int_{a}^{b} | <math>\int_{a}^{b} h(x)\, dx = H(b) - H(a) </math>, wobei <math> H'(x) = h(x) </math> ist. | ||
Mit dieser Variante lässt sich auch die Stammfunktion F (re-)konstruieren, wenn du deren Ableitung und einen Anfangswert a kennst. Dies kannst du mit dieser Formel machen: | Mit dieser Variante lässt sich auch die Stammfunktion F (re-)konstruieren, wenn du deren Ableitung und einen Anfangswert a kennst. Dies kannst du mit dieser Formel machen: | ||
<math> | <math> H(x) = H(a) + H(x) - H(a) = H(a) + \int_{a}^{x} h(t)\, dt </math> | ||
{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt| | ||
Du hast die Funktion <math> h(x) = x^3 - 6 \cdot x + 11\frac{3}{4} \cdot x - 5\frac{1}{2} </math> auf dem Intervall <math>[1, 3]</math> | |||
1 Schritt: Ermittle das unbestimmte Integral, also die Stammfunktion | 1 Schritt: Ermittle das unbestimmte Integral, also die Stammfunktion H: | ||
<math> | <math> H(x) = \int x^3 - 6x^2 +11\frac{3}{4}x - 5\frac{1}{2} = \frac{1}{4}x^4 - 2x^3 + 5\frac{7}{8}x^2 - 5\frac{1}{2}x + C </math> | ||
2 Schritt: Berechne | 2 Schritt: Berechne H(a) und H(b) durch Einsetzen der unteren bzw. oberen Intervallgrenzen in H(x): | ||
<math> | <math> H(1) = \frac{1}{4} \cdot 1^4 - 2 \cdot 1^3 + 5\frac{7}{8} \cdot 1^2 - 5\frac{1}{2} \cdot 1 + C = - 1\frac{3}{8} + C </math> | ||
<math> F(3) = 2\frac{5}{8} + C </math> | <math> F(3) = 2\frac{5}{8} + C </math> | ||
3 Schritt: Bilde die Differenz <math> | 3 Schritt: Bilde die Differenz <math>H(b)-H(a)</math>: | ||
<math> | <math> H(3) - H(1) = 2 \frac{5}{8} + C - (- 1\frac{3}{8} + C) = 4 </math> | Beispiel anzeigen | Beispiel verbergen}} | ||
'''Der zweite Teil des Hauptsatzes''' | '''Der zweite Teil des Hauptsatzes''' | ||
Die zweite Variante des Hauptsatzes ist sozusagen die Umkehrung der ersten Variante. Nun gehen wir vom Integral, also der Stammfunktion <math> | Die zweite Variante des Hauptsatzes ist sozusagen die Umkehrung der ersten Variante. Nun gehen wir vom Integral, also der Stammfunktion <math> H </math> aus und bestimmen <math> H(x)</math> . Hierbei gilt: | ||
<math> | <math> h(x) = H'(x) = H'(H(a) + \int_{a}^{x} h(t)\, dt = H'(a) + H'(\int_{a}^{x} h(t)\, dt) = H'(\int_{a}^{x} h(t)\, dt) = H'( H(x) - H(a)) </math>|Merksatz}} | ||
==Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen== | ==Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen== |
Version vom 19. Mai 2020, 12:25 Uhr
Einführung: Integral
Rechnen mit Integralen
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Aufgaben zu den verschiedenen Integrationsverfahren
Flächeninhalte von Integralen
Rotationskörper (Zusatz: nur für LK's)