Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box |⭐ Aufgabe 10: Rotationskörper und Raumintegrale0 | [[Datei:Aufgabe 1.png|mini|rechts|thumb|Funktionsgraph von <math>f(x)</math>]] Gegeben sei die Funktion <math> f </math> mit <math>f(x) = \frac{7}{1+x}, x \in\mathbb{R}_+</math>. Die Fläche von <math>f</math> rotiere um die <math>x</math>-Achse. | {{Box|⭐ Aufgabe 10: Rotationskörper und Raumintegrale0 | [[Datei:Aufgabe 1.png|mini|rechts|thumb|Funktionsgraph von <math>f(x)</math>]] Gegeben sei die Funktion <math> f </math> mit <math>f(x) = \frac{7}{1+x}, x \in\mathbb{R}_+</math>. Die Fläche von <math>f</math> rotiere um die <math>x</math>-Achse. | ||
Berechne den Inhalt des entstehenden Drehkörpers: | Berechne den Inhalt des entstehenden Drehkörpers: | ||
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{{Lösung versteckt| Nutze die Formel zur Inhaltsberechnung von Rotationskörpern <math>V_{rot} = \pi \int_{a}^{b} ( f(x) )^2 dx</math> und setze die Funktion <math>f(x)</math> sowie die Grenzen <math>0</math> und <math>6</math> ein. | Tipp | Tipp}} | {{Lösung versteckt| Nutze die Formel zur Inhaltsberechnung von Rotationskörpern <math>V_{rot} = \pi \int_{a}^{b} ( f(x) )^2 dx</math> und setze die Funktion <math>f(x)</math> sowie die Grenzen <math>0</math> und <math>6</math> ein. | Tipp | Tipp}} | ||
{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt| <math>V_{rot}= \pi \int_{a}^{b} ( f(x) )^2 dx = \pi \int_{0}^{a} ( \frac{7}{1+x} )^2 dx = \pi \int_{0}^{a} \frac{49}{(1+x)^2} dx = 49\pi \int_{0}^{a} (1+x)^{-2} dx = 49\pi \left[ -(1+x)^{-1} \right]_{0}^{a} = -\frac{49\pi}{1+a} + \frac{49\pi}{1} = 49\pi - \frac{49\pi}{1+a} = 49\pi - 7\pi = 42\pi</math> | Lösung anzeigen| Lösung verbergen}} | ||
<math>V_{rot}= \pi \int_{a}^{b} ( f(x) )^2 dx = \pi \int_{0}^{a} ( \frac{7}{1+x} )^2 dx = \pi \int_{0}^{a} \frac{49}{(1+x)^2} dx = 49\pi \int_{0}^{a} (1+x)^{-2} dx = 49\pi \left[ -(1+x)^{-1} \right]_{0}^{a} = -\frac{49\pi}{1+a} + \frac{49\pi}{1} = 49\pi - \frac{49\pi}{1+a} = 49\pi - 7\pi = 42\pi</math> | Lösung anzeigen| Lösung verbergen}} | | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|blau}} }} | ||
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|blau | |||
Version vom 13. Mai 2020, 12:46 Uhr
Einführung: Integral
Rechnen mit Integralen
Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Flächeninhalte von Integralen
Rotationskörper (Zusatz: nur für LK's)
Hier ein weiteres Beispiel einer Sinus-Funktion, das veranschaulicht, wie du dir Rotationskörper vorstellen kannst.