Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null: Unterschied zwischen den Versionen

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Das '''Verhalten einer Funktion <math>f</math> nahe Null''' beschreibt, wie sich der Funktionswert <math>f(x)</math> verhält, wenn <math>x</math> gegen Null geht, also für betragsmäßig kleine Werte von <math>x</math>. Eine ganzrationale Funktion der Form <math>f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0</math> verhält sich nahe Null wie die Summe aus dem '''absoluten Glied''' <math>a_0</math> und dem Summanden mit dem '''kleinsten Exponenten''' von <math>x</math>, die im Funktionsterm auftaucht.
Das '''Verhalten einer Funktion <math>f</math> nahe Null''' beschreibt, wie sich der Funktionswert <math>f(x)</math> verhält, wenn <math>x</math> gegen Null geht, also für betragsmäßig kleine Werte von <math>x</math>. Eine ganzrationale Funktion der Form <math>f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0</math> verhält sich nahe Null wie die Summe aus dem '''absoluten Glied''' <math>a_0</math> und dem Summanden mit dem '''kleinsten Exponenten''' von <math>x</math>, die im Funktionsterm auftaucht.
Wenn du dir unsicher bist, welche Summanden das genau sind, schau am besten einmal genau in das folgende Beispiel.
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Version vom 10. Mai 2020, 18:45 Uhr

Merke: Verhalten einer Funktion im Unendlichen

Das Verhalten einer Funktion im Unendlichen beschreibt, wie sich der Funktionswert verhält, wenn gegen plus oder minus unendlich geht, also wie f für sehr große positive und negative Werte von aussieht. Bei ganzrationalen Funktionen der Form kann man das Verhalten im Unendlichen untersuchen, indem man sich den Summanden des Funktionsterms mit dem größten Exponenten von anschaut. Betrachte also . Im Unendlichen verhalten sich und gleich, man kann also einfach das Verhalten im Unendlichen von untersuchen. Es gibt vier Fälle, die dabei unterschieden werden:

gerade ungerade
gerade und :

verläuft "von links oben nach rechts oben",

für

ungerade und :

verläuft "von links unten nach rechts oben",

für , für

gerade und :

verläuft "von links unten nach rechts unten",

für

ungerade und :

verläuft "von links oben nach rechts unten",

für , für


Merke: Verhalten nahe Null

Das Verhalten einer Funktion nahe Null beschreibt, wie sich der Funktionswert verhält, wenn gegen Null geht, also für betragsmäßig kleine Werte von . Eine ganzrationale Funktion der Form verhält sich nahe Null wie die Summe aus dem absoluten Glied und dem Summanden mit dem kleinsten Exponenten von , die im Funktionsterm auftaucht. Wenn du dir unsicher bist, welche Summanden das genau sind, schau am besten einmal genau in das folgende Beispiel.


Beispiel
  • verhält sich im Unendlichen wie .
  • Für geht und für geht , da eine gerade Zahl ist und .
  • Nahe Null verhält sich wie .
  • Wenn man sich ein kleines Intervall um anschaut, sieht der Graph von dort lokal also aus wie eine Gerade mit der Steigung -3 und dem y-Achsenabschnitt 4. Der y-Achsenabschnitt von ist daher auch 4.

Falls du ein weiteres Beispiel sehen möchtest, klappe es auf:

  • verhält sich im Unendlichen wie .
  • Für geht und für geht , da eine ungerade Zahl ist und .
  • Nahe Null verhält sich wie , also wie eine um den Faktor 4 gestreckte, nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt bei . Ihr y-Achsenabschnitt liegt daher bei .


Aufgabe 1 - Quiz zum Verhalten einer Funktion

Wähle die jeweils richtigen Antworten aus. Es können eine oder mehrere Antworten richtig sein. Achte darauf, ob das Verhalten im Unendlichen oder nahe Null gefragt ist. Es kann helfen, dir Notizen zu machen. Falls du einen Tipp benötigst, klicke links oben auf die Glühlampe.


Aufgabe 2 - Beschreibe das Verhalten

Beschreibe in deinem Heft das Verhalten der nachfolgenden Funktionen und Funktionenscharen im Unendlichen und nahe Null. Gehe dazu vor wie in den Merkboxen oben.

a)

verhält sich im Unendlichen wie . Da eine ungerade Zahl ist und , geht für und für . Der Graph von verläuft also von links unten nach rechts oben.
verhält sich nahe Null wie , also wie eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt im Ursprung, die um den Faktor zwei gestreckt ist.

b)

Beachte, dass du manchmal den Funktionsterm erst zusammenfassen musst.
Zusammengefasst ist . verhält sich daher im Unendlichen wie . Da eine gerade Zahl ist und , geht für . Der Graph von verläuft also von links unten nach rechts unten.
verhält sich nahe Null wie , also wie eine fallende Gerade mit Steigung und y-Achsenabschnitt .

c) mit

Gehe bei Funktionenscharen genau so vor wie bei normalen Funktionen.
verhält sich im Unendlichen wie . Da eine ungerade Zahl ist und , geht für und für . Der Graph von verläuft also von links oben nach rechts unten.
verhält sich nahe Null wie , also wie eine Funktion dritten Gerades, die von links unten nach rechts oben geht, da positiv ist. Der y-Achsenabschnitt ist , da das absolute Glied im Funktionsterm von nicht auftaucht und daher Null ist.

d) mit

Überlege dir zunächst, welches Vorzeichen hat, wenn negativ ist.
verhält sich im Unendlichen wie . Da eine ungerade Zahl ist und , da ist, geht für und für . Der Graph von verläuft also von links unten nach rechts oben.
verhält sich nahe Null wie , also wie eine nach oben geöffnete Parabel mit y-Achsenabschnitt .