Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

Einführung: Optimierungsprobleme

Was sind Optimierungsprobleme?

Optimierungsprobleme , oder auch Extremwertprobleme, beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem optimalen Wert einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein Extremwert, also ein Maximum oder ein Minimum.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.

Vorgehen beim Lösen von Extremwertproblemen

So löst du Optimierungsprobleme

Schritt 1: Erfasse das Problem

1. Suche zunächst zur Größe, die optimiert, die passende Funktion. Überlege dir dazu genau:
   • Welche Größen kommen vor?
   • Welche Größe soll optimiert, also maximiert oder minimiert werden?

Du kannst ebenfalls eine Skizze zum Problem erstellen.

Schritt 2: Stelle einen funktionalen Zusammenhang her

1. Du musst nun das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken. Stelle dazu erst einmal die Formel für die Größe auf, die du optimieren möchtest. Das ist dann deine Hauptbedingung.
2. Betrachte jetzt deinen beiden Größen. Wie hängen sie zusammen? Stelle eine Formel mit beiden Größen auf. Diese ist deine Nebenbedingung.
3. Setze jetzt deine Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein. So erhältst du eine Zielfunktion mit nur einer Größe.
4. Lege jetzt den Bereich für deine verbleibende Größe fest:
   • Wie groß darf sie maximal sein?
   • Wie klein darf sie maximal sein?

Schritt 3: Bestimme den Extremwert

Rechne nun deinen Extremwert aus. Dazu musst du nun wie folgt vorgehen:

1. Bilde die Ableitung der Zielfunktion.
2. Berechne den Extremwert über die notwendige und hinreichende Bedingung.
3. Überprüfe, ob dein Extremwert in deinem gewählten Bereich liegt.

Da es bei Optimierungsaufgaben um Anwendungssituationen geht, wird kein exakter Wert benötigt. Es reicht also ein guter Näherungswert.

Beispiel

Aufgabe:

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist. Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

a) Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

b) Wie groß ist das Fussballfeld?

Schritt 1:

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt $A$ innerhalb des Sportplatzes.

Erstelle eine Skizze dazu.

Schritt 2:

Die Formel zum Flächeninhalt ist $A=2=a \cdot b$. Dies ist deine Hauptbedingung.

Deine Nebenbedingung findest du im Umfang wieder: $U=2 \cdot a+\pi\cdot b$. Diese kannst du nach a umstellen und erhälst: $a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}$

Setze nun deine Nebenbedingung in deine Hauptbedigung ein und erhalte die Zielfunktion:

$A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b$.

Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also $0<b<200$

Schritt 3:

Berechne nun deinen Extremwert. Bilde dazu die Ableitungen:

1. $A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b$
2. $A''(b) = - \pi$

Mit der notwendigen Bedingung $A'(b)=0$ erhälst du dann $b=\frac{200}{pi} = 63,66$. Mit der hinreichenden Bedindung folgt $A''(b)=-\pi \neq 0$, somit erfüllt $b$ alle Bedingungen.

Berechne nun $a$ und den Flächeninhalt:

1. $a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100$ und
2. $A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m$

Der Flächeninhalt des Fussballfeldes kann also mit einer Breite von $63,66m$ und einer Höhe von $100m$ auf $6366 m$ maximiert werden.

Aufgabe

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:

• Die Länge soll nicht größer als $200cm$ sein.
• Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll $360cm$ groß sein.

a) Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

b) Gebe das maximale Volumen an.

Aufgabe

Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius $s=10cm$ soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt.

Beachte, dass der Radius des Stücks Papier $s=10cm$ der Mantellinie $s$ des Kegels entspricht.

Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel $V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h$.

Überlege dir, wie du die Länge s ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras

Globales Extremum und Randextremum

Merke

Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt globales Maximum. Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt globales Minimum.

Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt Randextremum.

Übung

Aufgabe

Gegeben ist der Graph einer Funktion $f$ mit $f(x)=(x-3)^2+2,5$ im Intervall $[0,3]$. Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.

Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?

Optimierungsprobleme & Funktionenscharen

Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar

In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable x abhängt, sondern außerdem von einem Parameter a.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.

Aufgabe

Gegeben ist die Funktionenschar $f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t$.

Für welchen Wert von $t$ liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t.

Ableiten der Funktion ergibt:

$f'(x)=2x-4$ $f''(x)= 2$

Für ein Minimum muss gelten: $f'(x)=0$ und $f''(x)>0$.

$f'(x)=0$

$<=> 2x-4=0$

$<=> 2x=4$

$<=> x=2$

$f''(2) = 2 > 0 =>$ Minimum

Setze nun $x=2$ in $f(x)$ ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

$f(2)=2^2-4*2-t^2-2t$

$<=> f(2)=4-8-t^2-2t$

$<=> f(2)=-4-t^2-2t$

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung $g$, so ergibt sich also:

$g(t)=-4-t^2-2t$.

Gesucht ist das $t$, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion $g(t)$.

Prüfe die hinreichende Bedingung: $g'(t)=0$ und $g''(t)<0$.

Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t:

Ableiten der Funktion ergibt:

$f'(x)=2x-4$ $f''(x)= 2$

Für ein Minimum muss gelten: $f'(x)=0$ und $f''(x)>0$.

$f'(x)=0$

$<=> 2x-4=0$

$<=> 2x=4$

$<=> x=2$

$f''(2) = 2 > 0 =>$ Minimum

Setze nun $x=2$ in $f(x)$ ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

$f(2)=2^2-4*2-t^2-2t$

$<=> f(2)=4-8-t^2-2t$

$<=> f(2)=-4-t^2-2t$

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung $g$, so ergibt sich also:

$g(t)=-4-t^2-2t$.

Gesucht ist das $t$, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion $g(t)$.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen $g'(t)$ und $g''(t)$:

$g'(t)=-2t-2$

$g''(t)=-2$

Bei einem Maximum muss gelten: $g'(t)=0$ und $g''(t)<0$.

$g'(t)=0$

$<=>-2t-2=0$

$<=>-2t=2$

$<=>t=-1$

$g''(-1)=-2<0 =>$ Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für $t=-1$ maximal.