In diesem Kapitel kannst du die Idee und die Anwendung des Integrals wiederholen und durch gezielte Aufgaben üben und verbessern. Die Grundlage hierfür ist, dass du die Eigenschaften von Funktionen erkennst und untersuchen sowie ableiten kannst.
Du sollst hier für dich verinnerlichen, was überhaupt hinter dem Begriff des Integrals steckt und kannst darüber hinaus Grundlagen für die Anwendung mit Integralen wiederholen aber auch vertiefen.
Zum Einstieg findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels Änderungsrate und Änderungseffekt erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral bei denen es besonders auf den Zusammenhang von Differential- und Integralrechnung ankommt. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.
In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du Gelerntes wiederholen und vertiefen.
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion f ( x ) = 3 {\displaystyle f(x) = 3} , wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt? Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen f(x) und der x-Achse in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m ( 3 m s ⋅ 10 m = 30 m {\displaystyle 3\frac{m}{s} \cdot 10m = 30m} ) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle [0,b] auf der x-Achse fortführen. Probiere das in der Darstellung aus indem du die obere Grenze b verschiebst und versuche den Zusammenhang zum Integral zu erkennen.
Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall [ 0 ; 9 ] {\displaystyle [0;9]} dargestellt.
Es stellt sich die Frage wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann? Dass bedeutet, wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?
Im Intervall [ 0 ; 3 ] {\displaystyle [0;3]} beträgt der Zufluss 2 l m i n {\displaystyle 2\frac{l}{min}} . In diesen 3 Minuten fließen 2 l m i n ⋅ 3 m i n = 6 l {\displaystyle 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l } in den Tank. 6 ist die Maßzahl des Flächeninhalts A1. Im Intervall [ 3 ; 5 ] {\displaystyle [3;5]} beträgt die mittlere Zuflussrate 1 l m i n {\displaystyle 1\frac{l}{min}} . In diesen 2 Minuten kommen 1 l m i n ⋅ 2 m i n = 2 l {\displaystyle 1 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l } dazu. 2 ist die Maßzahl des Flächeninhalts A2. Im Intevall [ 5 ; 9 ] {\displaystyle [5;9]} ist die Durchflussrate negativ. Es fließen 1 , 5 l m i n ⋅ 4 m i n = 6 l {\displaystyle 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l } ab. 6 ist die Maßzahl des Flächeninhalts A3. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall [ a ; b ] {\displaystyle [a;b]} mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser orientierte Flächeninhalt beträgt beim Wassertank:
A 1 + A 2 − A 3 = 2 ( F E ) {\displaystyle A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)}
Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den Änderungsbestand durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher? Um den Bestand bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die Untersumme. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das Integral aktivieren.
Die Funktion f {\displaystyle f} sei auf dem Intervall [ a ; b ] {\displaystyle [a;b]} stetig und A n = f ( z 1 ) ⋅ Δ x + f ( z 2 ) ⋅ Δ x + . . . + f ( z n ) ⋅ Δ x {\displaystyle A_n = f(z_1) \cdot \Delta x + f(z_2) \cdot \Delta x + ... + f(z_n) \cdot \Delta x} sei eine beliebige Rechtecksumme zu f {\displaystyle f} über dem Intervall [ a ; b ] {\displaystyle [a;b]} .
Dann heißt der Grenzwert lim n → ∞ A n {\displaystyle \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n } Integral der Funktion f {\displaystyle f} zwischen den Grenzen a {\displaystyle a} und b {\displaystyle b} .
Man schreibt dafür:
Die Funktion f {\displaystyle f} sei stetig auf dem Intervall [ a ; b ] {\displaystyle [a;b]} . Dann gilt:
Eine Funktion F {\displaystyle F} heißt Stammfunktion zu einer Funktion f {\displaystyle f} auf einem Intervall I {\displaystyle I} , wenn für alle x {\displaystyle x} in I {\displaystyle I} gilt: F ′ ( x ) = f ( x ) {\displaystyle F'(x) = f(x)} . Sind F {\displaystyle F} und G {\displaystyle G} Stammfunktionen von f {\displaystyle f} auf einem Intervall I {\displaystyle I} , dann gibt es eine Konstante c {\displaystyle c} , sodass für alle x {\displaystyle x} in I {\displaystyle I} gilt:
Zur Funktion f {\displaystyle f} mit f ( x ) = x r ( r ≠ − 1 ) {\displaystyle f(x)=x^r (r \neq -1)} ist F {\displaystyle F} mit F ( x ) = 1 r + 1 ⋅ x r + 1 {\displaystyle F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}} eine Stammfunktion. Zur Funktion f {\displaystyle f} mit f ( x ) = x − 1 = 1 x {\displaystyle f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}} ist F {\displaystyle F} mit F ( x ) = ln ( | x | ) {\displaystyle F(x)=\ln(|x|)} eine Stammfunktion. Sind G {\displaystyle G} und H {\displaystyle H} Stammfunktionen von g {\displaystyle g} und h {\displaystyle h} , so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
Du erkennst, dass der orientierte Flächeninhalt nicht mit dem Wert des Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse übereinstimmt. Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.
Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit verschiedener Körper. Ermittel jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst ein Zettel und ein Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.
Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.
Bearbeite die folgenden Aufgabe. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse festzuhalten
Der Boden eines 2km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1m in der Wirklichkeit.
Es gibt 2 Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen.
Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgenden Funktionen auf dem Intervall I = [ − 5 ; 5 ] {\displaystyle I=[-5;5]} . Zeichne zunächst die Funktion und dann die Stammfunktion auf einen Zettel. Beschreibe dein Vorgehen für charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.).
Ordne den Funktionen ihre passende Stammfunktion zu. Ermittel dabei die Stammfunktion auf einem Zettel und ordne anschließend richtig zu.
Die Funktion f ( t ) = − t 2 + 6 t {\displaystyle f(t)=-t^2+6t} gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, t {\displaystyle t} in Stunden, f ( t ) {\displaystyle f(t)} in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden.
a) g ( t ) = 2 + ∫ 0 t f ( t ) d t {\displaystyle g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt} F ( t ) = − 1 3 ⋅ x 3 + 3 x 2 {\displaystyle F(t)=-\frac{1}{3}\cdot x^3+3x^2}
b) g ( 4 ) = 86 3 ≈ 28 , 7 ; 28 , 7 ⋅ 100 = 28700 {\displaystyle g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7; 28,7 \cdot 100=28700 }
g ( 6 ) = 38 → 38 ⋅ 100 = 38000 {\displaystyle g(6) = 38 \rightarrow 38 \cdot 100=38000}
Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: f ( x ) = − x 3 + 4 , 5 ∗ x 2 + 34 x − 50 {\displaystyle f(x)=-x^3+4,5*x^2+34x-50}
Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben (solltest du natürlich nach jeder Aufgabe machen), und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (warum? plausible Begründung).
a)
b) ∫ 1 , 31 7 , 98 f ( x ) d x = 465 , 71 {\displaystyle \int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = 465,71}
Bei einem Sprint über 100m treten zwei Läufer gegeneinander an. Läufer A sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion v a ( t ) = 0 , 25 t + 10 ⋅ ( 1 − e − t ) {\displaystyle v_a(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})} . Läufer B sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion v b ( t ) = 12 ⋅ ( 1 − e − t ) + r ⋅ t 2 {\displaystyle v_b(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2} .
t {\displaystyle t} ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und v ( t ) {\displaystyle v(t)} die Geschwindigkeit der Läufer in Meter pro Sekunde.
a) V a ( t ) = 1 8 ⋅ t 2 + 10 ⋅ ( t + e − t ) {\displaystyle V_a(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})}
V b ( t ) = 12 ⋅ ( t + e − t ) + r 3 ⋅ t 3 {\displaystyle V_b(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3}
b) ∫ 0 9 , 8 v a ( t ) d t = 100 {\displaystyle \int_{0}^{9,8} v_a(t) dt = 100 }
⇔ V a ( 9 , 8 ) − V a ( 0 ) {\displaystyle \Leftrightarrow V_a(9,8)-V_a(0)}
= 1 8 ⋅ 9 , 8 2 + 10 ⋅ ( 9 , 8 + e − 9 , 8 ) − 1 8 ⋅ 0 2 + 10 ⋅ ( 0 + e − 0 ) {\displaystyle =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) }
≈ 110 , 006 − 10 ≈ 100 {\displaystyle \approx 110,006-10 \approx 100 }
c) ∫ 0 9 , 69 v b ( t ) d t = 100 {\displaystyle \int_{0}^{9,69} v_b(t) dt=100 }
⇔ V b ( 9 , 69 ) − V b ( 0 ) {\displaystyle \Leftrightarrow V_b(9,69)-V_b(0) }
= 12 ⋅ ( 9 , 69 + e − 9 , 69 ) + r 3 ⋅ 9 , 69 3 − 12 ⋅ ( 0 + e − 0 ) + r 3 ⋅ 0 3 {\displaystyle =12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 }
≈ 116 , 28 + 303 , 28 r − 12 = 100 {\displaystyle \approx 116,28+303,28r-12 = 100 }
⇔ r ≈ − 0 , 0141 {\displaystyle \Leftrightarrow r\approx -0,0141}
d) ∫ 0 5 v a ( t ) d t − ∫ 0 5 v b ( t ) d t = ∫ 0 5 v a ( t ) − v b ( t ) d t = − 4 , 3 {\displaystyle \int_{0}^{5} v_a(t) dt -\int_{0}^{5} v_b(t) dt = \int_{0}^{5} v_a(t)-v_b(t) dt = -4,3}
Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben nachts CO₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate z(t) über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben.
a) Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.
b) Berechne für jede der angegebenen Zeiten die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
c) Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?
d) Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?
a) Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
b)
c) Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 1,88 ME).
d)