Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt: Unterschied zwischen den Versionen
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==Herleitung des Integrals== | ==Herleitung des Integrals== | ||
{{Box|Beispiel| | {{Box|Beispiel: Durchflussrate| | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
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{{Box|Merke| | {{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt| | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
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==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen== | ==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen== | ||
{{Box|Aufgabe 1| | {{Box|Aufgabe 1: Integral und Flächeninhalt| | ||
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{{Box|Aufgabe 2| | {{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm| | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
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{{Box|1=Beachte|2= | {{Box|1=Beachte: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2= | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
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{{Box|Aufgabe 3| | {{Box|Aufgabe 3: Stammfunktionen graphisch zuordnen| | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
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|3=Arbeitsmethode|Farbe=#0000FF}} | |3=Arbeitsmethode|Farbe=#0000FF}} | ||
{{Box|1=Aufgabe 4|2= | {{Box|1=Aufgabe 4: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2= | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Zeile 273: | Zeile 273: | ||
{{Box|1=Aufgabe 5|2= | {{Box|1=Aufgabe 5: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2= | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
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{{Box|1=Aufgabe 6|2= | {{Box|1=Aufgabe 6: Bakterienwachstum|2= | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
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{{Box|1=Aufgabe 7|2= | {{Box|1=Aufgabe 7: 100m-Sprint|2= | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
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* a) Geben sie die Funktionen an, die die zurückgelegte Strecke zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt. | * a) Geben sie die Funktionen an, die die zurückgelegte Strecke zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt. | ||
* b) Zeige, dass Läufer A ungefähr 9,8 Sekunden benötigt. | * b) Zeige, dass Läufer A ungefähr 9,8 Sekunden benötigt. | ||
* c) Bestimme den Wert von | * c) Bestimme den Wert von r so, dass der Läufer B nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt. | ||
* d) Wie viel Meter sind die beiden Läufer nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht? | * d) Wie viel Meter sind die beiden Läufer nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht? | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
* a) <math>V_a(t)= frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^-t)</math> ; <math>V_b(t)=12 \cdot (t+e^-t)+frac{ | * a) <math>V_a(t)= frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^-t)</math> ; <math>V_b(t)=12 \cdot (t+e^-t)+frac{r}{3} \cdot t^3</math> | ||
* b) <math>\int_{0}^{9,8} v_a(t) dt = 100 \Leftrightarrow V_a(9,8)-V_a(0)=frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^-9,8) - frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^-0) \approx 110,006-10 \approx 100</math> | * b) <math>\int_{0}^{9,8} v_a(t) dt = 100 \Leftrightarrow V_a(9,8)-V_a(0)=frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^-9,8) - frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^-0) \approx 110,006-10 \approx 100</math> | ||
* c) <math>\int_{0}^{9,69} v_b(t) dt=100 \Leftrightarrow V_b(9,69)-V_b(0)=12 \cdot (9,69+e^-9,69)+frac{ | * c) <math>\int_{0}^{9,69} v_b(t) dt=100 \Leftrightarrow V_b(9,69)-V_b(0)=12 \cdot (9,69+e^-9,69)+frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^-0)+frac{r}{3} \cdot 0^3 \approx 116,28+303,28r-12 = 100 \Leftrightarrow r\approx -0,0141</math> | ||
* d) <math> \int_{0}^{5} v_a(t) dt -\int_{0}^{5} v_b(t) dt = \int_{0}^{5} v_a(t)-v_b(t) dt = -4,3</math> | * d) <math> \int_{0}^{5} v_a(t) dt -\int_{0}^{5} v_b(t) dt = \int_{0}^{5} v_a(t)-v_b(t) dt = -4,3</math> Antwort: Die Läufer sind 4,3 m voneinander entfernt. | ||
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} |
Version vom 25. April 2020, 10:17 Uhr
Herleitung des Integrals
Rechenregeln und Stammfunktionen bilden
Gelerntes Wiederholen und Vertiefen
Aufgaben mittlerer Schwierigkeit
Knobelaufgaben