Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt: Unterschied zwischen den Versionen
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==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit== | ==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit== | ||
{{Box|Aufgabe | |||
|Der Boden eines 2km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1m in der Wirklichkeit. | |||
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]] | |||
* a) Erstelle eine Funktion f, die den Verlauf des Kanalgrundes angibt. | |||
* b) Berechne den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals [in <math>m^2</math>]. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)=1/4*x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt. | |||
* c) Wie viel Wasser [in m^3] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist? | |||
* d) Schwer: Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist? | |||
{{Lösung versteckt | |||
|1=Eine Parabel hat die Form <math>f(x)=a*x^2+b*x+c</math> Es gibt 3 unbekannte Variablen, also benötigst du 3 Punkte des Graphen z.B. P1(-4,4),P2(0,0) und P3(4,4). Damit stellst du 3 Gleichungen auf und kannst diese nach den einzelnen Variablen auflösen. | |||
|2=Tipp für a) anzeigen | |||
|3=Tipp verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt | |||
|1=Es gibt 2 Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. | |||
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen -4 und 4. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (<span style="color: red">Rot</span>) von der des Rechtecks. | |||
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Anschließend berechnest du das Integral von g-f mit den Grenzen -4 und 4. | |||
[[Datei: Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in <span style="color: red"> Rot </span>]] | |||
|2=Hilfe anzeigen | |||
|3=Hilfe verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt | |||
|1= | |||
* zu a) <math>f(x)=(1/4)*x^2</math> | |||
* zu b) <math>A= \int_{-4}^{4} f(x)-g(x) = 21,33</math> A: Die Querschnittsfläche des Kanals <math>21.33 m^2</math> | |||
* zu c) <math>21.33*2000=42660</math> A: Es befinden sich <math>42660 m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist. | |||
* zu d) <math>7.54*2000=15080</math> <math>15080/42660 \approx 0.35349</math> A: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal. | |||
|2=Lösung anzeigen | |||
|3=Lösung verbergen}} | |||
|Üben}} | |||
{{Box|Aufgabe | {{Box|Aufgabe | ||
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: | * |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: |
Version vom 25. April 2020, 09:15 Uhr
Herleitung des Integrals
Rechenregeln und Stammfunktionen bilden
Gelerntes Wiederholen und Vertiefen
Aufgaben mittlerer Schwierigkeit
Knobelaufgaben
Integral: Rekonstruieren von Größen
Satz: Stammfunktionen bestimmen (Buch S. 68)
Beispiel: Stammfunktion bestimmen
Aufgabe:
Aufgabe: Bestimme eine Stammfunktion folgender Funktionen:
- a)
- b)
2 Textaufgaben: