Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme: Unterschied zwischen den Versionen

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'''Optimierungsprobleme'''
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==== Vorgehen beim Lösen von Extremwertproblemen ====
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme|'''Schritt 1: Erfasse das Problem'''


==== Globales Extremum und Randextremum ====
# Suche zunächst zur Größe, die optimiert, die passende Funktion. Überlege dir dazu genau:
#* Welche Größen kommen vor?
#* Welche Größe soll optimiert, also maximiert oder minimiert werden?
 
'''Schritt 2:''' '''Stelle einen funktionalen Zusammenhang her'''
 
# Du musst nun das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken. Stelle dazu erst einmal die Formel für die Größe auf, die du optimieren möchtest.  Das ist dann deine '''Hauptbedingung'''.
# Betrachte jetzt deinen beiden Größen. Wie hängen sie zusammen? Stelle eine Formel mit beiden Größen auf. Diese ist deine '''Nebenbedingung'''.
# Setze jetzt deine Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein. So erhältst du eine '''Zielfunktion''' mit nur einer Größe.
# Lege jetzt den Bereich für deine verbleibende Größe fest:
#* Wie groß darf sie maximal sein?
#* Wie klein darf sie maximal sein?
 
'''Schritt 3: Bestimme den Extremwert'''
 
Rechne nun deinen Extremwert aus. Dazu musst du nun wie folgt vorgehen:
 
# Bilde die Ableitung der Zielfunktion.
# Berechne den Extremwert über die notwendige und hinreichende Bedingung.
# Überprüfe, ob dein Extremwert in deinem gewählten Bereich liegt. 
 
Da es bei Optimierungsaufgaben um Anwendungssituationen geht, wird kein exakter Wert benötigt. Es reicht also ein guter Näherungswert.|Merke
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{{Box
| Typ = Arbeitsmethode|Aufgabe|<nowiki>Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius s=10cm soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt. </nowiki>|Arbeitsmethode
}}{{Lösung versteckt|Text zum Verstecken|Bezeichnung fürs Anzeigen}}<br />
 
 
 
====Globales Extremum und Randextremum====
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
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Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]
| 3 = Arbeitsmethode
| 3 = Arbeitsmethode
}}{{Box
}}
| Typ = Arbeitsmethode|Aufgabe|<nowiki>Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius s=10cm soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt. </nowiki>|Arbeitsmethode
}}{{Lösung versteckt|Text zum Verstecken|Bezeichnung fürs Anzeigen}}<br />

Version vom 17. April 2020, 07:43 Uhr

Optimierungsprobleme

Vorgehen beim Lösen von Extremwertproblemen

So löst du Optimierungsprobleme

Schritt 1: Erfasse das Problem

  1. Suche zunächst zur Größe, die optimiert, die passende Funktion. Überlege dir dazu genau:
    • Welche Größen kommen vor?
    • Welche Größe soll optimiert, also maximiert oder minimiert werden?

Schritt 2: Stelle einen funktionalen Zusammenhang her

  1. Du musst nun das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken. Stelle dazu erst einmal die Formel für die Größe auf, die du optimieren möchtest. Das ist dann deine Hauptbedingung.
  2. Betrachte jetzt deinen beiden Größen. Wie hängen sie zusammen? Stelle eine Formel mit beiden Größen auf. Diese ist deine Nebenbedingung.
  3. Setze jetzt deine Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein. So erhältst du eine Zielfunktion mit nur einer Größe.
  4. Lege jetzt den Bereich für deine verbleibende Größe fest:
    • Wie groß darf sie maximal sein?
    • Wie klein darf sie maximal sein?

Schritt 3: Bestimme den Extremwert

Rechne nun deinen Extremwert aus. Dazu musst du nun wie folgt vorgehen:

  1. Bilde die Ableitung der Zielfunktion.
  2. Berechne den Extremwert über die notwendige und hinreichende Bedingung.
  3. Überprüfe, ob dein Extremwert in deinem gewählten Bereich liegt.
Da es bei Optimierungsaufgaben um Anwendungssituationen geht, wird kein exakter Wert benötigt. Es reicht also ein guter Näherungswert.



Aufgabe
Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius s=10cm soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt.
Text zum Verstecken



Globales Extremum und Randextremum

Merke

Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt globales Maximum. Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt globales Minimum.

Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt Randextremum.
Aufgabe



Aufgabe

Gegeben ist der Graph einer Funktion f mit f(x)=(x-3)²+2,5 im Intervall [0,3]. Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.

Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?
Aufgabe Ranextrema beachten.png
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