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Das '''Verhalten einer Funktion f im Unendlichen''' beschreibt, wie sich der Funktionswert f(x) verhält, wenn x gegen <math>\pm\infty</math> geht, also für sehr große Werte von x. Bei ganzrationalen Funktionen der Form <math>f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0</math> kann man das Verhalten im Unendlichen untersuchen, indem man sich den Summanden des Funktionsterms mit dem größten Exponenten von x anschaut. Betrachte also <math>g(x)=a_n x^n</math>. Im Unendlichen verhalten sich f und g gleich, du musst also nur das Verhalten im Unendlichen von g untersuchen. Es gibt vier Fälle, die du dabei unterscheiden musst:
Das '''Verhalten einer Funktion <math>f</math> im Unendlichen''' beschreibt, wie sich der Funktionswert <math>f(x)</math> verhält, wenn <math>x</math> gegen <math>\pm\infty</math> geht, also für sehr große Werte von <math>x</math>. Bei ganzrationalen Funktionen der Form <math>f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0</math> kann man das Verhalten im Unendlichen untersuchen, indem man sich den Summanden des Funktionsterms mit dem größten Exponenten von <math>x</math> anschaut. Betrachte also <math>g(x)=a_n x^n</math>. Im Unendlichen verhalten sich <math>f</math> und <math>g</math> gleich, du musst also nur das Verhalten im Unendlichen von <math>g</math> untersuchen. Es gibt vier Fälle, die du dabei unterscheiden musst:
| Merksatz}}
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{| class="wikitable center"
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!n gerade
!<math>n</math> gerade
!n ungerade
!<math>n</math> ungerade
|-
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|n gerade und <math>a_n>0</math>:
|<math>n</math> gerade und <math>a_n>0</math>:


f verläuft "von links oben nach rechts oben",
<math>f</math> verläuft "von links oben nach rechts oben",


<math>f(x)\rightarrow \infty</math> für <math>x\rightarrow\pm\infty</math>
<math>f(x)\rightarrow \infty</math> für <math>x\rightarrow\pm\infty</math>
|n ungerade und <math>a_n>0</math>:
|<math>n</math> ungerade und <math>a_n>0</math>:


f verläuft "von links unten nach rechts oben",
<math>f</math> verläuft "von links unten nach rechts oben",


<math>f(x)\rightarrow -\infty</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math>,
<math>f(x)\rightarrow -\infty</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math>,
<math>f(x)\rightarrow \infty</math> für <math>x\rightarrow\infty</math>
<math>f(x)\rightarrow \infty</math> für <math>x\rightarrow\infty</math>
|-
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|n gerade und <math>a_n<0</math>:
|<math>n</math> gerade und <math>a_n<0</math>:


f verläuft "von links unten nach rechts unten",
<math>f</math> verläuft "von links unten nach rechts unten",


<math>f(x)\rightarrow -\infty</math> für <math>x\rightarrow\pm\infty</math>
<math>f(x)\rightarrow -\infty</math> für <math>x\rightarrow\pm\infty</math>
|n ungerade und <math>a_n<0</math>:
|<math>n</math> ungerade und <math>a_n<0</math>:


f verläuft "von links oben nach rechts unten",
<math>f</math> verläuft "von links oben nach rechts unten",


<math>f(x)\rightarrow \infty</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math>,
<math>f(x)\rightarrow \infty</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math>,
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Das '''Verhalten einer Funktion f nahe Null''' beschreibt, wie sich der Funktionswert f(x) verhält, wenn x gegen Null geht, also für sehr kleine Werte von x. Eine ganzrationale Funktion der Form <math>f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0</math> verhält sich nahe Null wie die Summe des absoluten Glied <math>a_0</math> und dem Term mit der geringsten Potenz von x, die im Funktionsterm.
Das '''Verhalten einer Funktion <math>f</math> nahe Null''' beschreibt, wie sich der Funktionswert <math>f(x)</math> verhält, wenn <math>x</math> gegen Null geht, also für sehr kleine Werte von <math>x</math>. Eine ganzrationale Funktion der Form <math>f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0</math> verhält sich nahe Null wie die Summe aus dem absoluten Glied <math>a_0</math> und dem Summanden mit der geringsten Potenz von x, die im Funktionsterm auftaucht.
(Beachte: <math>a_0</math> kann auch 0 sein.)
| Merksatz}}
| Merksatz}}


{{Box| Beispiel 1|
{{Box| Beispiel 1|
<math>f(x)=5x^2-3x+4</math> verhält sich im Unendlichen wie <math>g(x)=5x^2</math>. Für <math>x\rightarrow -\infty</math> geht daher <math>f(x)\rightarrow\infty</math> und für <math>x\rightarrow \infty</math> geht <math>f(x)\rightarrow\infty</math>, da <math>5>0</math> und 2 eine gerade Zahl ist. Nahe Null verhält sich f wie <math>h(x)=-3x+4</math>. Wenn man sich ein kleines Intervall um <math>x=0</math> anschaut, sieht der Graph von f dort lokal also aus wie eine Gerade mit der Steigung -3 und dem y-Achsenabschnitt 4. Der y-Achsenabschnitt von f ist daher auch 4.
<math>f(x)=5x^2-3x+4</math> verhält sich im Unendlichen wie <math>g(x)=5x^2</math>. Für <math>x\rightarrow -\infty</math> geht <math>f(x)\rightarrow\infty</math> und für <math>x\rightarrow \infty</math> geht <math>f(x)\rightarrow\infty</math>, da <math>n=2</math> eine gerade Zahl ist und <math>a_n=5>0</math>. Nahe Null verhält sich <math>f</math> wie <math>h(x)=-3x+4</math>. Wenn man sich ein kleines Intervall um <math>x=0</math> anschaut, sieht der Graph von <math>f</math> dort lokal also aus wie eine Gerade mit der Steigung -3 und dem y-Achsenabschnitt 4. Der y-Achsenabschnitt von <math>f</math> ist daher auch 4.
| Beispiel}}
| Beispiel}}


{{Box| Beispiel 2|
{{Box| Beispiel 2|
<math>f(x)=x^5+4x^2-7</math> verhält sich im Unendlichen wie  <math>g(x)=x^5</math>. Für <math>x\rightarrow -\infty</math> geht daher <math>f(x)\rightarrow -\infty</math> und für <math>x\rightarrow \infty</math> geht <math>f(x)\rightarrow\infty</math>, da 1>0 und 5 eine ungerade Zahl ist. Nahe Null verhält sich f wie <math>h(x)=4x^2-7</math>, also wie eine um den Faktor 4 gestreckte, nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt (und y-Achsenabschnitt) bei <math>(0,-7)</math>.
<math>f(x)=x^5+4x^2-7</math> verhält sich im Unendlichen wie  <math>g(x)=x^5</math>. Für <math>x\rightarrow -\infty</math> geht <math>f(x)\rightarrow -\infty</math> und für <math>x\rightarrow \infty</math> geht <math>f(x)\rightarrow\infty</math>, da <math>n=5</math>  eine ungerade Zahl ist und <math>a_n=1>0</math> . Nahe Null verhält sich <math>f</math> wie <math>h(x)=4x^2-7</math>, also wie eine um den Faktor 4 gestreckte, nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt (und y-Achsenabschnitt) bei <math>(0,-7)</math>.
| Beispiel}}
| Beispiel}}

Version vom 10. April 2020, 09:14 Uhr


Verhalten im Unendlichen und nahe Null

Merke

Das Verhalten einer Funktion im Unendlichen beschreibt, wie sich der Funktionswert verhält, wenn gegen geht, also für sehr große Werte von . Bei ganzrationalen Funktionen der Form kann man das Verhalten im Unendlichen untersuchen, indem man sich den Summanden des Funktionsterms mit dem größten Exponenten von anschaut. Betrachte also . Im Unendlichen verhalten sich und gleich, du musst also nur das Verhalten im Unendlichen von untersuchen. Es gibt vier Fälle, die du dabei unterscheiden musst:

gerade ungerade
gerade und :

verläuft "von links oben nach rechts oben",

für

ungerade und :

verläuft "von links unten nach rechts oben",

für , für

gerade und :

verläuft "von links unten nach rechts unten",

für

ungerade und :

verläuft "von links oben nach rechts unten",

für , für


Merke

Das Verhalten einer Funktion nahe Null beschreibt, wie sich der Funktionswert verhält, wenn gegen Null geht, also für sehr kleine Werte von . Eine ganzrationale Funktion der Form verhält sich nahe Null wie die Summe aus dem absoluten Glied und dem Summanden mit der geringsten Potenz von x, die im Funktionsterm auftaucht.


Beispiel 1

verhält sich im Unendlichen wie . Für geht und für geht , da eine gerade Zahl ist und . Nahe Null verhält sich wie . Wenn man sich ein kleines Intervall um anschaut, sieht der Graph von dort lokal also aus wie eine Gerade mit der Steigung -3 und dem y-Achsenabschnitt 4. Der y-Achsenabschnitt von ist daher auch 4.


Beispiel 2

verhält sich im Unendlichen wie . Für geht und für geht , da eine ungerade Zahl ist und . Nahe Null verhält sich wie , also wie eine um den Faktor 4 gestreckte, nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt (und y-Achsenabschnitt) bei .