Benutzer:Carolin WWU-6

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Verhalten im Unendlichen und nahe Null

Merke

Das Verhalten einer Funktion f im Unendlichen beschreibt, wie sich der Funktionswert f(x) verhält, wenn x gegen $\pm\infty$ geht, also für sehr große Werte von x. Bei ganzrationalen Funktionen der Form $f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0$ kann man das Verhalten im Unendlichen untersuchen, indem man sich den Summanden des Funktionsterms mit dem größten Exponenten von x anschaut. Betrachte also $g(x)=a_n x^n$. Im Unendlichen verhalten sich f und g gleich, du musst also nur das Verhalten im Unendlichen von g untersuchen. Es gibt vier Fälle, die du dabei unterscheiden musst:

n gerade	n ungerade
n gerade und $a_n>0$: f verläuft "von links oben nach rechts oben", $f(x)\rightarrow \infty$ für $x\rightarrow\pm\infty$	n ungerade und $a_n>0$: f verläuft "von links unten nach rechts oben", $f(x)\rightarrow -\infty$ für $x\rightarrow -\infty$, $f(x)\rightarrow \infty$ für $x\rightarrow\infty$
n gerade und $a_n<0$: f verläuft "von links unten nach rechts unten", $f(x)\rightarrow -\infty$ für $x\rightarrow\pm\infty$	n ungerade und $a_n<0$: f verläuft "von links oben nach rechts unten", $f(x)\rightarrow \infty$ für $x\rightarrow -\infty$, $f(x)\rightarrow -\infty$ für $x\rightarrow\infty$

Merke

Das Verhalten einer Funktion f nahe Null beschreibt, wie sich der Funktionswert f(x) verhält, wenn x gegen Null geht, also für sehr kleine Werte von x. Eine ganzrationale Funktion der Form $f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0$ verhält sich nahe Null wie die Summe des absoluten Glied $a_0$ und dem Term mit der geringsten Potenz von x.

Ein Beispiel: $f(x)=5x^2-3x+4$ verhält sich im Unendlichen wie $g(x)=5x^2$. Für $x\rightarrow -\infty$ geht daher $f(x)\rightarrow\infty$ und für $x\rightarrow \infty$ geht $f(x)\rightarrow\infty$, da 5>0 und 2 eine gerade Zahl ist. Nahe Null verhält sich f wie $h(x)=-3x+4$. Wenn man sich ein kleines Intervall um x=0 anschaut, sieht der Graph von f dort lokal also aus wie eine Gerade mit der Steigung -3 und dem y-Achsenabschnitt 4. Der y-Achsenabschnitt von f ist daher auch 4.

Ein weiteres Beispiel: $f(x)=x^5+4x^2-7$ verhält sich im Unendlichen wie $g(x)=x^5$. Für $x\rightarrow -\infty$ geht daher $f(x)\rightarrow -\infty$ und für $x\rightarrow \infty$ geht $f(x)\rightarrow\infty$, da 1>0 und 5 eine ungerade Zahl ist. Nahe Null verhält sich f wie $h(x)=4x^2-7$, also wie eine um den Faktor 4 gestreckte, nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt (und y-Achsenabschnitt) bei $(0,-7)$.

1. n ist eine gerade Zahl und $a_n$ ist positiv. Dann verläuft f "von links oben nach rechts oben", das heißt $f(x)\rightarrow \infty$ für $x\rightarrow\pm\infty$.
2. n ist eine gerade Zahl und $a_n$ ist negativ. Dann verläuft f "von links unten nach rechts unten", das heißt $f(x)\rightarrow -\infty$ für $x\rightarrow\pm\infty$.
3. n ist eine ungerade Zahl und $a_n$ ist positiv. Dann verläuft f "von links unten nach rechts oben", das heißt $f(x)\rightarrow -\infty$ für $x\rightarrow -\infty$ und $f(x)\rightarrow \infty$ für $x\rightarrow\infty$.
4. n ist eine ungerade Zahl und $a_n$ ist negativ. Dann verläuft f "von links oben nach rechts unten", das heißt $f(x)\rightarrow \infty$ für $x\rightarrow -\infty$ und $f(x)\rightarrow -\infty$ für $x\rightarrow\infty$.

n gerade	n ungerade
n gerade und $a_n>0$: f verläuft "von links oben nach rechts oben", $f(x)\rightarrow \infty$ für $x\rightarrow\pm\infty$	n ungerade und $a_n>0$: f verläuft "von links unten nach rechts oben", $f(x)\rightarrow -\infty$ für $x\rightarrow -\infty$, $f(x)\rightarrow \infty$ für $x\rightarrow\infty$
n gerade und $a_n<0$: f verläuft "von links unten nach rechts unten", $f(x)\rightarrow -\infty$ für $x\rightarrow\pm\infty$	n ungerade und $a_n<0$: f verläuft "von links oben nach rechts unten", $f(x)\rightarrow \infty$ für $x\rightarrow -\infty$, $f(x)\rightarrow -\infty$ für $x\rightarrow\infty$