Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen: Unterschied zwischen den Versionen
Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
||
Zeile 962: | Zeile 962: | ||
===Lineare Gleichungssysteme lösen=== | ===Lineare Gleichungssysteme lösen=== | ||
Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es | Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es mehrere Verfahren. Die folgenden Aufgaben können alle mithilfe von zwei Verfahren (Additionsverfahren und Einsetzungsverfahren) gelöst werden. | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
# Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst | # Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst. | ||
# Überlege, wie du die Gleichungen addieren musst, damit | # Überlege, wie du die Gleichungen addieren musst, damit diese Unbekannte wegfällt. | ||
# Berechne die Unbekannten | # Berechne die Unbekannten. | ||
Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/additionsverfahren|2=Additionsverfahren|3=schließen}} | Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/additionsverfahren|2=Additionsverfahren|3=schließen}} | ||
Zeile 973: | Zeile 973: | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
# | # Löse eine Gleichung nach einer Variablen auf. | ||
# | # Setze den Term für diese Variable in die andere Gleichung ein. | ||
# Gleichung nach der Variablen | # Löse die Gleichung nach der in ihr vorkommenden Variablen auf. | ||
# | # Setze die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 ein und berechne die andere Variable. | ||
Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/einsetzungsverfahren|2=Einsetzungsverfahren|3=schließen}} | Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/einsetzungsverfahren|2=Einsetzungsverfahren|3=schließen}} | ||
Zeile 983: | Zeile 983: | ||
{{Box|Aufgabe 18|Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft: | {{Box|Aufgabe 18|Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft bzw. Collegeblock: | ||
<math>I\quad 3x + 4y = 22</math> | <math>I\quad 3x + 4y = 22</math> | ||
Zeile 997: | Zeile 997: | ||
<math>II\quad 5x - 4y = -6</math> | <math>II\quad 5x - 4y = -6</math> | ||
Addiere Gleichung I zu Gleichung II | Addiere Gleichung I zu Gleichung II. | ||
<math>I\quad 3x + 4y = 22</math> | <math>I\quad 3x + 4y = 22</math> | ||
Zeile 1.003: | Zeile 1.003: | ||
<math>II\quad 8x + 0y = 16</math> | <math>II\quad 8x + 0y = 16</math> | ||
Berechne die Lösung für II | Berechne die Lösung für II. | ||
<math>8x + 0y = 16\quad|:8</math> | <math>8x + 0y = 16\quad|:8</math> | ||
Zeile 1.009: | Zeile 1.009: | ||
<math>x = 2</math> | <math>x = 2</math> | ||
Setze x = 2 in I ein | Setze x = 2 in I ein. | ||
<math>3x + 4y = 22</math> | <math>3x + 4y = 22</math> |
Version vom 13. Juni 2019, 16:23 Uhr
Wiederholung: Terme und Gleichungen
Lies dir die folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.
Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der Zahlen, Variablen, Symbole für mathematische Verknüpfungen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) und Klammern enthalten kann.
Beispiele:
.
Eine Gleichung ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.
Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6)
Beispiele:
.
Terme vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier ein paar Beispiele.
Addieren:
Subtrahieren:
Multiplizieren:
Ausmultiplizieren:
Ausklammern:
.Bei einer Gleichung mit einer Variable, z.B. , ist vor allem derjenige x -Wert von Interesse, für den die Gleichung erfüllt, das heißt wahr, ist.
Der x-Wert, für den die Gleichung erfüllt ist, heißt Lösung der Gleichung.
"Wozu brauche ich das alles überhaupt?!". Gute Frage! Vielleicht, um eine Million Euro zu gewinnen...?
Wiederholung: Bruchrechnung
Beim Rechnen mit Termen und Gleichungen stößt man regelmäßig auf Brüche. Falls Du Dich damit noch ein wenig unsicher fühlst, schau Dir die folgenden Erklärungen an:
1. Zwei Brüche mit gleichem Nenner (gleichnamige Brüche) werden addiert, indem man ihre Zähler addiert und den gemeinsamen Nenner beibehält.
2. Vorgehensweise für ungleichnamige Brüche:
Ungleichnamige Brüche oder nicht gleichnamige Brüche sind Brüche, die unterschiedliche Nenner haben.
Diese Brüche mit verschiedenen Nennern addiert man, indem man die Brüche auf denselben Nenner bringt. Hierzu muss mindestens einer der Brüche gekürzt oder erweitert werden. Oftmals müssen beide Brüche erweitert werden. Der neue, gemeinsame Nenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der alten Nenner. Anschließend kann wieder wie oben mit gleichen Nennern addiert werden.
Kürzen
Allgemein:
kürzen mit n:
Ein Beispiel:
kürzen mit 2:
Erweitern
Allgemein:
erweitern mit m:
Ein Beispiel:
erweitern mit 4:Brüche werden miteinander multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.
Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammenfassen
Nutze das Distributivgesetz! Klammere die Variable aus und fasse innerhalb der Klammer zusammen.
Beispiel: .Zu b) und c): Um die Brüche zu addieren oder subtrahieren, bringe sie auf denselben Nenner.
Beispiel: .a)
b)
c)
Nutze das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz, es gilt für die Addition) und sortiere nach Variablen!
Beispiel: .
Beachte Du kannst auch Subtraktionen als Additionen umschreiben und dann das Kommutativgesetz anwenden.
Beispiel:a)
b)
c)
Gleiche Variablen mit unterschiedlichem Exponenten (z.B. und ) dürfen bei der Addition nicht zusammengefasst werden!
Beispiel: .a)
b) , das fällt hier weg, da sind.
c)
Klammern in Termen auflösen
Terme durch Ausklammern in Produkte umformen
Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen
Lineare Gleichungen lösen
Quadratische Gleichungen lösen
Lineare Gleichungssysteme lösen
Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es mehrere Verfahren. Die folgenden Aufgaben können alle mithilfe von zwei Verfahren (Additionsverfahren und Einsetzungsverfahren) gelöst werden.
- Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst.
- Überlege, wie du die Gleichungen addieren musst, damit diese Unbekannte wegfällt.
- Berechne die Unbekannten.
- Löse eine Gleichung nach einer Variablen auf.
- Setze den Term für diese Variable in die andere Gleichung ein.
- Löse die Gleichung nach der in ihr vorkommenden Variablen auf.
- Setze die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 ein und berechne die andere Variable.
Lineare Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben nutzen
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.