Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinusfunktion

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Startseite (Vorwissen)

1) Sinus, Kosinus, Tangens
2) Strecken- und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken
3) Berechnungen in allgemeinen Dreiecken
4) Berechnungen in beliebigen Figuren

5) Sinusfunktion und Kosinusfunktion

5 Sinusfunktion und Kosinusfunktion

Die Zuordnung der Sinuswerte zu einem Winkel ist eindeutig, d.h. es handelt sich um eine Funktion, die Sinusfunktion.
Auf dieser Seite lernst du die verschiedenen Darstellungen (Text, Wertetabelle, Gleichung und Graph) zur Sinusfunktion kennen. Auch die Sinusfunktion enthält die Parameter a, b, c und d und du erforscht deren Bedeutung.
Erinnerst du dich an die Bedeutung der Parameter m und b bei den linearen Funktionen f(x) = mx + b bzw. an die Bedeutung von a, d und e bei den quadratischen Funktionen f(x) = a(x + d)² + e?
Ebenso erforscht du die Sinusfunktion.

5.1 Der Einheitskreis

Der Einheitskreis ist ein besonderer Kreis: Sein Mittelpunkt liegt im Ursprung M(0|0) und sein Radius beträgt r = 1 LE (Längeneinheit).
Auf den Kreisrand liegen also alle Punkte, die vom Ursprung den Abstand 1 haben.

Am Einheitskreis lassen sich die Streckenverhältnisse Sinus, Kosinus und Tangens gut verdeutlichen:

Sinus und Kosinus am Einheitskreis

Erkläre, wie Sinus und Kosinus am Einheitskreis dargestellt sind und welche Bedeutung sie für den Punkt P haben.

Es wird ein rechtwinkliges Dreieck eingezeichnet, wobei die Länge der Hypotenuse immer 1 beträgt (da der Punkt P auf dem Kreis mit dem Radius 1 liegt). Also lassen sich die folgenden Seitenverhältnisse aufstellen:
sinα=$\tfrac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$=$\tfrac{y_P}{1}$=$y_P$
cosα=$\tfrac{Ankathete}{Hypotenuse}$=$\tfrac{x_P}{1}$=$x_P$

Daher gilt P($x_P$|$y_P$), also P(cosα|sinα)

Originallink https://www.geogebra.org/m/p2hcjn3f

Applet von Buß-Haskert

5.2 Sinusfunktion und Kosinusfunktion

Sinus und Kosinus am Riesenrad

Die Gondel eines Riesenrades bewegt sich gegen den Uhrzeigersinn im Kreis.

• Starte im GeoGebra-Applet die Gondel.
  
• Beobachte die Bewegung der Gondel mit dem Buchstaben A. Wann bewegt sie sich aufwärts, wann abwärts, wann nach links und wann nach rechts? Beschreibe.
• Das Riesenrad in der Animation benötigt für eine Umdrehung ca. 10 Sekunden. Wo befindet sich die Gondel nach 2,5 Sekunden, wo nach 5 Sekunden usw.?
• Setze das Häkchen bei "Situation im Koordinatensystem betrachten" und starte das Riesenrad.
• Wie entsteht die gezeichnete Kurve? Diskutiere mit deinem Partner/deiner Partnerin.

Applet von Reinhard Schmidt Originallink https://www.geogebra.org/m/tjt2hhs2

Stellst du dir den Punkt P des Einheitskreises als eine Gondel an einem Riesenrad vor und trägst die Höhe der Gondel zu einem bestimmten Zeitpunkt dar, ergibt sich der Graph der Sinusfunktion.

Applet nach Matthias Heinitz Originallink https://www.geogebra.org/m/drb6q4ry

Aufgabe1

Erstelle eine Wertetabelle für die Funktion f(α) = sin α.

α	0°	30°	60°	90°	...
sin α	0	0,5	0,87	1	...

Zeichne die Sinusfunktion in dein Heft. Wähle als Einteilung für die x-Achse 1cm für 30° und auf der y-Achse 2 cm bis zur 1.

Kosinusfunktion

Betrachte das Applet unten und erkläre, wie der Graph der Kosinusfunktion entsteht. Setze dazu das Häkchen bei "Kosinusfunktion". Diskutiere mit deiner Partnerin/deinem Partner.

Zeichne anschließend den Graphen der Kosinusfunktion.

Applet von Buß-Haskert (nach chje) Originallink: https://www.geogebra.org/m/stgatxum

5.3 Die allgemeine Sinusfunktion: Bedeutung der Parameter für den Verlauf des Graphen

Dieses Kapitel orientiert sich am Lernpfad "Trigonometrische Funktionen" von Silvia Joachim, Karl Haberl und Franz Embacher. Er wurde erstellt unter der Lizenz CC BY SA (https://unterrichten.zum.de/wiki/Trigonometrische_Funktionen/Einfluss_der_Parameter). Herzlichen Dank!

Aufgabe 2

Untersuche den Einfluss der Parameter a, b, c und d auf den Verlauf des Graphen der Sinusfunktion. Erstelle dazu je ein Applet bei GeoGebra.

• Zeichne dazu die Sinusfunktion f(x) = sin x
• Erstelle einen Schieberegler für den entsprechenden Parameter.
• Gib im Algebrafeld die neue Funktionsgleichung unter Angabe des Parameters an.
• Untersuche die Bedeutung des Parameters auf den Verlauf des Funktionsgraphen im Vergleich zur Funktion f(x) = sin x

Einfluss von $a$

Untersuche den Einfluss von

$a$

auf die Graphen der Funktionen

f(x) = a·sin x

Einfluss von $b$

Untersuche den Einfluss von

$b$

auf die Graphen der Funktionen

f(x) = sin ( b · x )

Einfluss von $c$

Untersuche den Einfluss von

$c$

auf die Graphen der Funktionen

f(x) = sin ( x + c )

Einfluss von $d$

Untersuche den Einfluss von

$d$

auf die Graphen der Funktionen

f(x) = sin x + d

Alternativ kannst du den Lernpfad weiter durcharbeiten, dort sind jeweils die Applets gegeben und die Beobachtungen in den Lösungen notiert.

Die Bedeutung des Parameters a in f(x) = a·sin x

Wir betrachten nun den Einfluss von $a$ in

$x \rightarrow a\cdot \sin x$.

Die Bedeutung von a in f(x) = a · sin x

1. Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von $a$ ändern.
   
2. Stelle den Schieberegler auf $a = 2$ ein. Wie ändert sich der Graph?
   
3. Überlege dir, wie sich die Werte $a = 3$ und $a = -1$ sowie $a = 0,5$ auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung.
   
4. Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen.

Merke

Man erhält den Graph der Funktion

$x \rightarrow a\cdot \sin x$

aus dem Graph der Sinusfunktion durch Streckung oder Stauchung in Richtung der $y$-Achse. Genauer:

• Ist der Betrag von $a$ größer als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in $y$-Richtung mit dem Faktor Betrag von $a$ gestreckt.
• Ist der Betrag von $a$ kleiner als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in $y$-Richtung mit dem Faktor Betrag von $a$ gestaucht.
• Falls $a$ negativ ist, so wird der Graph zusätzlich an der $x$-Achse gespiegelt.

Der Betrag von $a$ wird auch als Amplitude bezeichnet.

BILDER ERGÄNZEN?

Die Bedeutung der Parameters b in f(x) = sin ( b · x )

Wir betrachten nun den Einfluss von $b$ in

$x \rightarrow \sin ( b \cdot x )$.

Der Parameter b in f(x) = sin (b·x)

1. Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von $b$ ändern.
   
2. Stelle den Schieberegler auf $b = 2$ ein. Wie ändert sich der Graph?
   
3. Überlege dir, wie sich die Werte $b = 3$ und $b = -1$ sowie $b = 0,5$ auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung.
   
4. Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen.
   

Merke

Man erhält den Graph der Funktion

$x \rightarrow \sin ( b\cdot x )$

aus dem Graph der Sinusfunktion durch Streckung oder Stauchung in Richtung der $x$-Achse. Genauer:

• Ist der Betrag von $b$ größer als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in $x$-Richtung mit dem Faktor Betrag von $\frac{1}{b}$ gestaucht.
• Ist der Betrag von $b$ kleiner als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in $x$-Richtung mit dem Faktor Betrag von $\frac{1}{b}$ gestreckt.
• Falls $b$ negativ ist, so wird der Graph zusätzlich an der $y$-Achse gespiegelt.

Die Periode der Funktion ist $\frac{2\pi}{|b|}$.

D.h., wenn man z.B. $b$ verdoppelt, so halbiert sich die Periode.

Die Bedeutung des Parameters c in f(x) = sin ( x + c )

Wir betrachten nun den Einfluss von $c$ in

$x \rightarrow \sin ( x + c )$.

Der Parameter c in f(x) = sin (x + c)

1. Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von $c$ ändern.
   
2. Stelle den Schieberegler auf $c = 1$ ein. Wie ändert sich der Graph?
   
3. Überlege dir, wie sich die Werte $c = 2$ und $c = -1$, sowie $c = 0,5$ und $c = \frac{\pi}{2}$ auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung.
   
4. Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen.
   

Merke

Man erhält den Graph der Funktion

$x \rightarrow \sin ( x + c )$

aus dem Graph der Sinusfunktion durch Verschiebung in Richtung der $x$-Achse. Genauer:

• Ist $c$ positiv, so wird der Graph der Sinusfunktion um den Betrag von $c$ nach links verschoben.
• Ist $c$ negativ, so wird der Graph der Sinusfunktion um den Betrag von $c$ nach rechts verschoben.

$c$ wird auch als Phasenverschiebung bezeichnet.

Die Bedeutung des Parameters d in f(x) = sin x + d

Wir betrachten nun den Einfluss von $d$ in

$x \rightarrow \sin x + d$.

Der Parameter d in f(x) = sin x + d

1. Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von $d$ ändern.
   
2. Stelle den Schieberegler auf $d = 1$ ein. Wie ändert sich der Graph?
   
3. Überlege dir, wie sich die Werte $d = 2$ und $d = -1$ sowie $d = 0,5$ auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung.
   
4. Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen.
   

Merek

Man erhält den Graph der Funktion

$x \rightarrow \sin x + d$

aus dem Graph der Sinusfunktion durch Verschiebung in Richtung der $y$-Achse. Genauer:

• Ist $d$ positiv, so wird der Graph der Sinusfunktion um den Betrag von $d$ nach oben verschoben.
• Ist $d$ negativ, so wird der Graph der Sinusfunktion um den Betrag von $d$ nach unten verschoben.

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Jetzt noch was zum Knobeln!!!

Zusatz 1

Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Sinus- und der Kosinusfunktion? Zeichne dazu die Graphen der Funktionen $\,\!x \rightarrow \sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$ und $\,\!x \rightarrow \cos(x)$ in dein Heft oder mit Hilfe von diesem Applet und betrachte sie! Was fällt dir auf?

Überlege dir zunächst die Lage der Nullstellen und die Größe der Amplitude!

Ja genau, die Graphen der beiden angegebenen Funktionen sind identisch. Genauer gesagt:

Merke

Man erhält den Graphen der Kosinusfunktion, indem man z.B. den Graphen der Sinusfunktion um $\frac{\pi}{2}$ nach links verschiebt.

Deshalb verhält sich die allgemeine Kosinusfunktion bei Variation ihrer Parameter genauso wie die allgemeine Sinusfunktion.

Du hast eine Menge über den Einfluss der einzelnen Parameter auf das Aussehen der Graphen herausgefunden. Natürlich können aber die Parameter nicht nur einzeln variiert werden, sondern auch mehrere oder alle gleichzeitig.

Merke

Die allgemeine Sinusfunktion lautet

 $x\rightarrow a\cdot\sin\Big(b\cdot (x+c)\Big)+d$ .

Entsprechend lautet die allgemeine Kosinusfunktion

 $x \rightarrow a\cdot \cos \Big( b\cdot (x + c) \Big) + d$ .

Dabei sind $\ a,b,c,d$ Parameter, die auf das Aussehen des Funktionsgraphen Einfluss nehmen. Es gilt  $\ a,b,c,d \in \R$  und  $a,b\neq 0$ .

Zusatz 2

Bringe den Smily zum Lachen! Variiere dazu die verschiedenen Parameter der allgemeinen Sinusfunktion und beobachte die Auswirkungen auf den Graphen.